Te conviene dominar: Concepto de función (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
Una taza de chocolate caliente está sobre la mesa de una cocina a $70\,^\circ\text{F}$. Se enfría rápido al principio, luego más y más despacio, pero nunca baja de $70\,^\circ\text{F}$. Mientras tanto, la rueda de la fortuna de Navy Pier en Chicago repite la misma vuelta en cada viaje. Son dos comportamientos a largo plazo muy distintos: una función puede estabilizarse o puede repetirse. En esta sección aprenderás a predecir ambos y a responder preguntas como "¿en qué temperatura terminará el chocolate?" y "¿dónde estará la persona en el minuto 50?"
Estabilizarse: asíntotas horizontales
¿Qué hace una función cuando $x$ se hace cada vez más grande? Algunas funciones crecen sin límite. Otras se acercan a un solo valor. A esto lo llamamos el comportamiento al extremo (end behavior) de la función.
La forma más fácil de hallar una asíntota horizontal a partir de una fórmula o una tabla es sustituir valores de $x$ cada vez más grandes y observar los resultados.
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Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál cree que es su tendencia cuando la variable independiente $x$…
Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál cree que es su tendencia cuando la variable independiente $x$ tiende a $+\infty$?
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo…
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo avanza indefinidamente? ¿Cómo se llama matemáticamente a la recta horizontal a la que se aproxima la curva?
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el tanque de riego de una granja depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten simultáneamente,…
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el tanque de riego de una granja depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten simultáneamente, según la función $t(n) = \frac{120}{n}$. ¿Hacia qué valor tiende el tiempo de vaciado si el número de bombas que utilizamos tiende a infinito?
Muchas situaciones reales dan una fracción con $x$ en el numerador y en el denominador: un costo promedio, una concentración, una tasa. Para saber dónde se estabiliza, pregúntate qué partes de la fracción importan cuando $x$ es enorme.
La misma idea sirve para cualquier fracción de polinomios. Compara las potencias más altas de $x$ en el numerador y en el denominador.
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Una pequeña fábrica de tenis deportivos tiene unos costos fijos diarios de $800\text{ \$}…
Una pequeña fábrica de tenis deportivos tiene unos costos fijos diarios de $800\text{ \$}$ (alquiler, luz, seguros) y fabricar cada par de tenis tiene un costo de materiales de $5\text{ \$}$. El costo promedio por par de tenis al fabricar $x$ pares al día viene dado por la función $C_m(x) = \frac{800 + 5x}{x}$. Calcule el costo promedio si se fabrican $10$, $100$ y $5000$ pares de tenis en un día. ¿A qué valor tiende el costo promedio si el volumen de producción tiende a infinito?
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión…
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcule la concentración a las $2\text{ horas}$, a las $10\text{ horas}$ y a las $100\text{ horas}$. A partir de estos resultados, ¿cuál es la tendencia de la concentración a largo plazo?
Las ganancias mensuales de una empresa emergente (en miles de dólares) desde su creación vienen dadas por la función racional $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, donde $x$…
Las ganancias mensuales de una empresa emergente (en miles de dólares) desde su creación vienen dadas por la función racional $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, donde $x$ es el número de meses transcurridos. Si sabemos que en el mes inicial ($x=0$) la ganancia fue de $25\text{ mil \$}$ y que, a largo plazo, los estudios de mercado indican que las ganancias tienden a estabilizarse en $120\text{ mil \$}$ mensuales, determina el valor exacto del parámetro $a$ y calcula la ganancia esperada para el mes $8$.
Una asíntota horizontal te dice el límite, pero muchas veces también quieres saber cuándo la función alcanza algún valor antes del límite. Para eso, iguala la fórmula al valor y resuelve.
A veces comparas dos funciones y quieres saber cuándo una es mayor. Escribe una desigualdad (también llamada inecuación) y resuélvela. Como $t + 1$ es positivo para $t \ge 0$, puedes multiplicar ambos lados por ese valor sin invertir el signo de la desigualdad.
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La temperatura interna de un motor industrial en funcionamiento (medida en $^\circ\text{C}$) sigue la ley matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, donde $t$ es el…
La temperatura interna de un motor industrial en funcionamiento (medida en $^\circ\text{C}$) sigue la ley matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde el encendido. ¿Cuál es la temperatura en el momento de arrancar el motor? ¿Hacia qué temperatura máxima tiende si el motor funciona de forma ininterrumpida durante semanas? ¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la temperatura interna alcance los $85^\circ\text{C}$?
Las ventas diarias estimadas de dos productos competidores, A y B, siguen las siguientes funciones de tendencia con el paso de los días $t$:…
Las ventas diarias estimadas de dos productos competidores, A y B, siguen las siguientes funciones de tendencia con el paso de los días $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ y $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. ¿Hacia qué valores límite tienden las ventas de cada producto a largo plazo? ¿A partir de qué día $t$ las ventas del producto B superan definitivamente a las del producto A?
¿Por qué el chocolate se estabiliza en la temperatura ambiente? Todo lo que se deja en un cuarto se calienta o se enfría hacia la temperatura del cuarto. El modelo es un decaimiento exponencial más una constante.
Algunos modelos de crecimiento también se estabilizan. El denominador puede contener una potencia decreciente.
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Sacamos una lata de refresco del refrigerador a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a…
Sacamos una lata de refresco del refrigerador a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a $23^\circ\text{C}$. ¿A qué temperatura tenderá el refresco si lo dejamos ahí durante varios días sin abrir?
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0.75^t}$, donde $t$ es el tiempo…
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0.75^t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde el inicio del estudio. ¿Cuál era la población inicial en el año $t=0$? ¿Hacia qué valor tiende la población a largo plazo cuando $t \to +\infty$? ¿Tiene sentido ecológico este límite?
Ahora el otro comportamiento: repetirse. La manecilla de los minutos de un reloj, las fases de la Luna y las estaciones siguen patrones que vuelven al inicio y dan otra vuelta.
Para hallar el resultado en un valor de entrada lejano, quita períodos completos hasta caer dentro de un ciclo que ya conoces. Divide $x$ entre $T$ y quédate con el residuo: si $x = nT + r$ con $0 \le r < T$, entonces $f(x) = f(r)$. El residuo te dice dónde estás dentro del ciclo. El cociente solo cuenta cuántos ciclos completos saltaste.
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Clasifique los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas: La estatura de una persona a lo largo de toda su…
Clasifique los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas:
La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.
El movimiento de la aguja de los minutos en un reloj de pared.
El saldo disponible en una cuenta bancaria a lo largo del año.
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo…
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo $T = 4$ para cualquier valor de $x \ge 0$, cumpliéndose que $f(x+4) = f(x)$. Basándote en estas propiedades, calcula paso a paso el valor exacto de $f(2019)$.
Para hallar un período a partir de una gráfica, elige un punto del patrón y busca el siguiente punto donde el patrón está en la misma posición y va en la misma dirección. La distancia horizontal entre ellos es $T$. Funciona de cresta a cresta y de valle a valle.
Si solo conoces medio ciclo, como de marea alta a marea baja, dóblalo.
Muchas veces también necesitas una tasa: cuántos ciclos ocurren en una unidad de tiempo. Como un ciclo dura $T$, el número de ciclos por unidad de tiempo es $\dfrac{1}{T}$.
Cuando la repetición se va apagando
Una persona salta en bungee y rebota hacia arriba y hacia abajo. Cada rebote es un poco más bajo que el anterior, y al final queda colgada, quieta.
El tiempo entre rebotes es más o menos el mismo, pero las alturas se reducen, así que la gráfica nunca se repite exactamente. Esta función no es estrictamente periódica. Con el tiempo, la altura tiende a la altura de reposo: la altura donde la fuerza de la cuerda equilibra el peso de la persona.
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Observe la gráfica de la siguiente función que describe la posición de un péndulo a lo largo del tiempo. Determine su periodo $T$ y, sabiendo que el patrón se repite…
Observe la gráfica de la siguiente función que describe la posición de un péndulo a lo largo del tiempo. Determine su periodo $T$ y, sabiendo que el patrón se repite indefinidamente, calcule el valor de la función en el instante $x = 22$.
El siguiente gráfico muestra un electrocardiograma (ECG) simplificado de un paciente en reposo. Determine el periodo de la función en segundos y, a partir de este dato,…
El siguiente gráfico muestra un electrocardiograma (ECG) simplificado de un paciente en reposo. Determine el periodo de la función en segundos y, a partir de este dato, calcule la frecuencia cardíaca del paciente expresada en pulsaciones por minuto (lpm).
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de bungee jumping* a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y…
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de bungee jumping a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde: ¿cuál es el "periodo" temporal aproximado entre los dos primeros rebotes? ¿Se puede considerar que es una función estrictamente periódica? ¿Hacia qué valor tiende la altura del saltador cuando el tiempo tiende a infinito y qué representa físicamente ese valor?
Un horario que se repite es una función periódica formada por partes: una parte "encendida" y una "apagada", o una fase de llenado y una de vaciado. El período es la duración total de un ciclo completo, y el residuo te dice dónde estás dentro de él.
Cuando dos cosas se repiten con horarios distintos, vuelven a coincidir en el mínimo común múltiplo (mcm) de sus períodos.
Para contar cuántas veces ocurre un evento repetido en un lapso, cuenta cuántos períodos completos caben y suma $1$ por el primer evento.
Para un ciclo con fases distintas, suma las fases para obtener el período y luego busca dónde estás dentro del ciclo.
Practica★★☆Sin empezar
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de…
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de $7\text{ segundos}$, repitiendo este ciclo de forma ininterrumpida. Si el faro se enciende por primera vez en la noche a las 22:00:00, ¿cuál es el periodo de esta función luminosa? ¿Estará la luz encendida o apagada a las 22:01:15?
En una planta industrial automatizada, la máquina A requiere una parada de mantenimiento cada $45\text{ minutos}$ y la máquina B requiere una parada cada…
En una planta industrial automatizada, la máquina A requiere una parada de mantenimiento cada $45\text{ minutos}$ y la máquina B requiere una parada cada $60\text{ minutos}$. Si ambas máquinas reciben mantenimiento simultáneo a las 08:00 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir exactamente en el mantenimiento? Si definimos una función matemática que vale $1$ cuando ambas máquinas están paradas a la vez y $0$ en el resto del tiempo, ¿cuál es el periodo de dicha función?
Un tanque de $500\text{ L}$ inicialmente vacío se llena con un grifo que aporta $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exactamente en ese momento, el grifo se…
Un tanque de $500\text{ L}$ inicialmente vacío se llena con un grifo que aporta $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exactamente en ese momento, el grifo se cierra y se abre una válvula de desagüe que vacía el tanque a un ritmo constante de $50\text{ L/min}$ hasta que queda completamente vacío, momento en el cual la válvula se cierra, el grifo se abre y el ciclo vuelve a empezar. Dibuja mentalmente la gráfica del volumen de agua frente al tiempo. ¿Cuál es el periodo completo de este proceso? ¿Qué volumen exacto de agua habrá en el tanque en el minuto $100$?
De vuelta al inicio: el chocolate sigue $T(t) = 90 \cdot 0.8^t + 70$, así que se estabiliza en la asíntota horizontal $y = 70$, la temperatura de la cocina. La altura en la rueda de la fortuna es periódica: después de cada período se repite exactamente, así que para hallar la posición de la persona en el minuto $50$ solo necesitas el residuo al dividir entre el período.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado