Funciones logarítmicas
Las noticias dicen que un terremoto en una ciudad fue de magnitud 6 y otro, de magnitud 8. Dos puntos de diferencia en la escala no parecen mucho. ¿El segundo terremoto fue "un poco más fuerte" o mucho más? Para responder necesitas el logaritmo, la herramienta que deshace los exponentes. Al final de esta página sabrás exactamente cuánto más fuerte fue.
¿Qué es un logaritmo?
Ya sabes convertir un exponente en un número: $2^5 = 32$. Un logaritmo va en sentido contrario. Toma el número y te devuelve el exponente.
Dos bases son tan comunes que tienen su propia tecla en la calculadora:
-
$\log x$ significa $\log_{10} x$ (el logaritmo común).
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$\ln x$ significa $\log_e x$, donde $e \approx 2.718$ (el logaritmo natural).
Tres hechos se desprenden directamente de la definición, en cualquier base:
La misma definición te permite hallar una base o un número desconocido. Reescribe el logaritmo como una potencia y resuelve.
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora: a) $\log_2 32$ b) $\log_3 \frac{1}{9}$ c) $\log 10000$
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:
a) $\log_2 32$
b) $\log_3 \frac{1}{9}$
c) $\log 10000$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo: a) $\log_x 25 = 2$ b) $\log_5 x = 3$ c) $\log_2 64 = x$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:
a) $\log_x 25 = 2$
b) $\log_5 x = 3$
c) $\log_2 64 = x$
Propiedades de los logaritmos
Los logaritmos son exponentes, así que siguen las reglas de los exponentes. Recuerda que al multiplicar potencias se suman los exponentes: $10^2 \cdot 10^3 = 10^{5}$. En lenguaje de logaritmos, eso es exactamente la regla del producto de abajo.
Estas reglas te permiten calcular logaritmos nuevos a partir de otros que ya conoces.
A veces necesitas reescribir un número antes de poder usar una regla. Por ejemplo, $\log 8 = \log 2^3 = 3\log 2$, y $5 = \tfrac{10}{2}$ da $\log 5 = \log 10 - \log 2 = 1 - \log 2$.
Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la…
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).
Expandir y condensar
Las propiedades funcionan en ambos sentidos. Expandir separa un logaritmo en sumas y restas de logaritmos simples. Condensar hace lo contrario y junta todo en un solo logaritmo.
Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de…
Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:
$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$
Realiza el proceso inverso al ejercicio anterior. Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades correspondientes:…
Realiza el proceso inverso al ejercicio anterior. Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades correspondientes:
$2 \log a + \log b - 3 \log c$
Cambio de base
Las calculadoras solo tienen $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$). Para hallar algo como $\log_4 15$ necesitas convertir.
Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.
Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.
Dominio y asíntota vertical
Ahora estudiamos $f(x) = \log_b x$ como función. Como solo los números positivos tienen logaritmo, su dominio es limitado. (Algunos problemas lo llaman dominio de definición. Es simplemente el dominio.)
Mueve el control deslizante. La curva se acerca cada vez más al eje $y$, pero nunca lo toca.
Para hallar el dominio de un logaritmo más complicado, haz que el argumento (lo que está adentro) sea mayor que $0$ y resuelve la desigualdad (también llamada inecuación). La asíntota está donde el argumento es igual a $0$.
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas: a) $f(x) = \log(x - 5)$ b) $g(x) = \ln(2x + 8)$
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:
a) $f(x) = \log(x - 5)$
b) $g(x) = \ln(2x + 8)$
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.
¿Creciente o decreciente? Cómo leer la gráfica
La base decide si la gráfica sube o baja.
Observa que $\ln x$ tiene base $e \approx 2.718 > 1$, así que también es creciente, igual que $\log x$ (base $10$).
Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes: a) $f(x) = \log_3 x$ b)…
Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:
a) $f(x) = \log_3 x$
b) $g(x) = \log_{0,5} x$
c) $h(x) = \ln x$
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus…
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:
1) $y = \log_2 x$
2) $y = \log_{1/2} x$
La inversa de una función exponencial
Las funciones $y = b^x$ y $y = \log_b x$ se deshacen una a la otra: son funciones inversas. El logaritmo toma la salida de la exponencial y devuelve la entrada.
La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$. a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$. b) Explica el significado…
La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.
a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.
b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.
c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.
Transformaciones: traslaciones y reflexiones
Igual que cualquier otra función, la gráfica de un logaritmo se puede trasladar. (Repasa las traslaciones si lo necesitas.)
Cuando un problema te da dos puntos en vez de una asíntota, escribe una ecuación para cada punto y resuelve el sistema resultante para hallar los parámetros. Inténtalo en el último ejercicio de abajo.
Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$: a) Determina su dominio analíticamente. b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical. c) ¿Hacia qué dirección…
Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:
a) Determina su dominio analíticamente.
b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.
c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$: a) Indica el valor de $b$…
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:
a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.
b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.
c) Escribe la expresión analítica completa de la función.
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$. Plantea un sistema de…
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.
Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.
Cómo resolver ecuaciones logarítmicas
Hay dos estrategias principales.
Siempre comprueba al final. Sustituye cada solución, porque los argumentos de los logaritmos originales deben ser positivos.
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas: a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$ b) $\log_2(x - 4) = 3$
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:
a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$
b) $\log_2(x - 4) = 3$
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas: $\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:
$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Cómo resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos
Cuando la incógnita está en el exponente, aplica un logaritmo a ambos lados. La regla de la potencia baja el exponente.
Algunos problemas llaman capital inicial a la cantidad con la que empiezas; es el principal $P$ de las fórmulas de interés.
Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es…
Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \cdot 1,04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $\$2000$, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $\$3000$. Usa logaritmos para despejar la incógnita.
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función…
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.
Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.
Escalas logarítmicas: pH, sonido, terremotos
Algunas cantidades van desde lo diminuto hasta lo gigantesco, así que los científicos las miden con logaritmos. En una escala logarítmica, cada paso de 1 multiplica la cantidad por 10.
De vuelta al inicio: un terremoto de magnitud 8 y uno de magnitud 6 difieren en $2$ puntos, así que la amplitud es $10^2 = 100$ veces mayor. Es una diferencia enorme, no pequeña.
En química, el nivel de acidez de una disolución se mide mediante el pH, que se define empleando un logaritmo decimal con la fórmula $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es…
En química, el nivel de acidez de una disolución se mide mediante el pH, que se define empleando un logaritmo decimal con la fórmula $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, calcula su pH.
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda…
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.
Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.
Cómo trabajar con fórmulas logarítmicas
Las fórmulas reales a menudo incluyen un logaritmo. Dos habilidades son importantes: despejar una variable que está dentro de un logaritmo y sustituir en una fórmula que tiene el logaritmo de una potencia de 2.
Los mismos dos pasos (aislar el logaritmo y luego reescribir como potencia) funcionan para la fórmula de los decibeles $d = 10\log\dfrac{I}{I_0}$: primero divide entre $10$.
La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los…
La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo…
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia de la computadora.
Si al procesar $n = 8$ datos la computadora tarda $T = 24$ milisegundos:
a) Calcula el valor de la constante $k$.
b) ¿Cuánto tiempo tardará la misma computadora en procesar $n = 32$ datos?