Forma punto-pendiente de una recta
Emma renta un scooter eléctrico en el centro de la ciudad. La aplicación dice que una renta de 2 horas cuesta $\$9$ y que el precio sube $\$3$ por cada hora adicional. ¿Cuánto costarían 5 horas? La aplicación nunca muestra la tarifa inicial (la intersección con el eje $y$), pero no la necesitas. La forma punto-pendiente (point-slope form) te permite escribir la ecuación de una recta a partir de cualquier punto y la pendiente.
Cómo se construye la forma punto-pendiente
Supón que una recta tiene pendiente $m$ y pasa por el punto $(x_1, y_1)$. Toma cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta. La pendiente entre los dos puntos es el cambio vertical sobre el cambio horizontal:
$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$Multiplica ambos lados por $(x - x_1)$ y obtienes la forma punto-pendiente.
¿Por qué funciona? Partiendo de $(x_1, y_1)$, si te mueves $x - x_1$ unidades a la derecha, $y$ cambia $m$ veces esa cantidad. Eso es exactamente lo que significa "pendiente".
Juega con los deslizadores. El punto $(h, k)$ es donde la recta está "clavada" y $m$ la inclina alrededor de ese punto.
También puedes leer una ecuación al revés para hallar la pendiente y un punto.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indique cuál es su pendiente y obtenga directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indique cuál es su pendiente y obtenga directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escriba la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y…
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escriba la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, utilizando en ambos casos el origen de coordenadas.
Una recta por dos puntos o a partir de una gráfica
Muchas veces nadie te da la pendiente. Te dan dos puntos o una gráfica. El plan no cambia: primero halla la pendiente y luego usa la forma punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos.
En una gráfica, elige dos puntos donde la recta pase exactamente por intersecciones de la cuadrícula. Cuenta el cambio vertical (hacia arriba es positivo, hacia abajo es negativo) y el cambio horizontal (hacia la derecha es positivo), y luego divide.
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escriba su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escriba su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Observe la siguiente gráfica. A partir de los puntos destacados, calcule la pendiente de la recta y escriba su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia…
Observe la siguiente gráfica. A partir de los puntos destacados, calcule la pendiente de la recta y escriba su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia el punto $P$.
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determine la ecuación punto-pendiente de su…
La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determine la ecuación punto-pendiente de su trayectoria.
Conversión a otras formas
Una misma recta se puede escribir de varias maneras equivalentes. La forma punto-pendiente es fácil de escribir, pero a veces quieres otra forma.
Algunos problemas llaman a $Ax + By + C = 0$ la ecuación general de una recta. Es la misma idea que la forma estándar, solo que con todo en un lado.
A veces te dan solo este tipo de ecuación y necesitas la forma punto-pendiente. Elige un valor de $x$, halla el $y$ correspondiente y tendrás un punto. Escoge una $x$ que haga que $y$ sea un número entero para que el trabajo quede limpio.
Transforme la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
Transforme la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halle un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcule su pendiente y escriba la ecuación…
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halle un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcule su pendiente y escriba la ecuación correspondiente en forma punto-pendiente.
Rectas paralelas y perpendiculares
Las rectas paralelas nunca se cruzan, así que deben inclinarse igual. Las rectas perpendiculares se cruzan formando un ángulo recto. Si giras un triángulo de pendiente $90^\circ$, el cambio vertical y el horizontal intercambian lugares, y uno de ellos cambia de signo.
Para obtener un recíproco negativo, invierte la fracción y cambia el signo: la pendiente perpendicular a $\tfrac{3}{4}$ es $-\tfrac{4}{3}$, y a $-5$ es $\tfrac{1}{5}$.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Halle la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Halle la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Obtenga la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Obtenga la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Modelos lineales: una razón de cambio y un punto
En una situación real, la pendiente es la razón de cambio (dólares por hora, millas por hora…) y un dato conocido es el punto $(x_1, y_1)$. Eso es justo lo que necesita la forma punto-pendiente. No necesitas el valor inicial.
Cuando te dan dos datos en lugar de una razón de cambio, halla primero la pendiente. Y cuando un problema mide el tiempo con la hora del reloj, suele ser más fácil empezar tu propio reloj en $0$.
Un plomero cobra $\$30$ por el desplazamiento a domicilio y $\$20$ por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $\$70…
Un plomero cobra $\$30$ por el desplazamiento a domicilio y $\$20$ por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $\$70$, escriba la ecuación punto-pendiente que relaciona el costo total con las horas trabajadas, tomando como referencia este punto conocido.
Una compañía de renta de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por una renta de $3$ horas se pagan…
Una compañía de renta de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por una renta de $3$ horas se pagan $\$14$ y por una renta de $5$ horas se pagan $\$20$. Determine la pendiente de la función lineal de costo y escriba su ecuación punto-pendiente tomando los datos del primer cliente.
Un carro circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en la milla $45$ y a las $12:30$ horas pasa por la milla $245$. Escriba…
Un carro circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en la milla $45$ y a las $12:30$ horas pasa por la milla $245$. Escriba la ecuación punto-pendiente que modeliza la posición del carro en función del tiempo transcurrido desde las $10:00$ horas, expresando el tiempo en horas.
Más modelos: depreciación, conversiones y demanda
No toda razón de cambio es positiva. Cuando una cantidad baja de forma constante, la pendiente es negativa. Frases como "por cada aumento de $\$5$, las ventas bajan $10$" te dan la pendiente directamente: cambio en la salida sobre cambio en la entrada.
Cualquier par de lecturas emparejadas define una recta. Las escalas de temperatura, por ejemplo, son lineales: usa dos pares de lecturas muy conocidos (como los puntos de congelación y ebullición del agua en cada escala) para obtener la pendiente y luego usa uno de ellos como tu punto.
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $\$1200$ y al cabo de $4$ años su valor contable es de $\$400$, escriba la…
El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $\$1200$ y al cabo de $4$ años su valor contable es de $\$400$, escriba la ecuación punto-pendiente que relaciona el valor del equipo con los años transcurridos, utilizando el punto correspondiente al cuarto año.
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y…
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y hierve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduzca la ecuación punto-pendiente que permite convertir grados Celsius a Fahrenheit utilizando el punto de congelación. A continuación, úsela para calcular la temperatura en Fahrenheit equivalente a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $\$20$, se demandan $500…
En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $\$20$, se demandan $500$ unidades, y se ha observado que por cada incremento de $\$2$ en el precio, la demanda cae en $50$ unidades. Escriba la ecuación punto-pendiente de la demanda tomando el primer dato como referencia, y calcule a qué precio la demanda será nula.
Geometría con rectas
La forma punto-pendiente es la herramienta principal de la geometría de coordenadas.
Una altura de un triángulo es el segmento que va desde un vértice, perpendicular al lado opuesto. Para hallar su recta, usa el vértice como punto y el recíproco negativo de la pendiente del lado opuesto.
Compruebe analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halle primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa…
Compruebe analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halle primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, y luego verifique si las coordenadas de $C$ satisfacen dicha ecuación.
Halle la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que…
Halle la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halle la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halle la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Intersecciones con los ejes, cruces de rectas y reflexiones
Aquí tienes tres herramientas para problemas más difíciles.
Intersecciones con los ejes. Para hallar dónde una recta cruza el eje $x$, haz $y = 0$. Para hallar dónde cruza el eje $y$, haz $x = 0$. Los ejes y la recta forman un triángulo rectángulo, con área $\tfrac{1}{2} \cdot (\text{base}) \cdot (\text{altura})$, donde la base y la altura son las longitudes de los catetos (siempre positivas).
Cruces de rectas y pendientes desconocidas. Para hallar dónde se cruzan dos rectas, resuelve el sistema. Para que una recta pase por un punto dado, sustituye las coordenadas de ese punto en la ecuación y despeja la incógnita.
Reflexiones. Un espejo a lo largo del eje $x$ invierte la dirección del rayo verticalmente, así que la pendiente cambia de signo. El rayo golpea el espejo en su intersección con el eje $x$, y ese es el punto que usas para la recta reflejada.
Cuando la pendiente misma es desconocida, escribe las intersecciones con los ejes en términos de $m$, usa la condición del área y despeja $m$.
Determine el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y…
Determine el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y $s: x - 3y + 3 = 0$.
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano…
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano perfecto), el rayo se refleja. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halle la ecuación punto-pendiente del rayo reflejado tomando como referencia el punto de impacto en el espejo.
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de…
Escriba la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de ordenadas negativo), forma un triángulo rectángulo de área $4$ unidades cuadradas.
Resumen
Volvamos al inicio: el scooter de Emma se ajusta a $C - 9 = 3(h - 2)$, así que 5 horas cuestan $C = 9 + 3(3) = \$18$. La tarifa inicial nunca importó.