Simetría de funciones (pares e impares)
Imagina el cable principal de un puente colgante como el Golden Gate. La curva a la izquierda del centro se ve exactamente igual que la de la derecha. Si conocieras una mitad, tendrías la otra gratis. ¿Qué funciones tienen esta propiedad de la "mitad gratis" y cómo puedes demostrarlo con álgebra en vez de solo mirar un dibujo?
Simetría en una gráfica
Dos tipos de simetría aparecen una y otra vez en las gráficas de funciones. Cada una tiene una prueba física.
La prueba del espejo: dobla la hoja por el eje $y$. Si la mitad izquierda cae exactamente sobre la derecha, la gráfica es simétrica respecto al eje $y$.
La prueba del medio giro: gira la hoja $180^\circ$ alrededor del origen. Si la gráfica cae exactamente sobre sí misma, es simétrica respecto al origen.
En la figura de la izquierda, los dos puntos marcados son imágenes en espejo: misma altura, valores de $x$ opuestos. En la figura de la derecha, los dos puntos marcados son opuestos a través del origen: ambas coordenadas cambian de signo.
Observe las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indique qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando su…
Observe las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indique qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando su respuesta en función de su forma visual.
Funciones pares: espejo en el eje $y$
Un dibujo puede engañarte, así que convertimos la prueba del espejo en una prueba algebraica. Al reflejar el punto $(x, f(x))$ en el eje $y$ se obtiene $(-x, f(x))$. Para que la gráfica caiga sobre sí misma, ese punto también debe estar en la gráfica, es decir, $f(-x) = f(x)$.
¿Por qué las potencias deciden tanto? Por la regla de los signos: $(-x)^n = x^n$ cuando $n$ es par, y $(-x)^n = -x^n$ cuando $n$ es impar. Así, las potencias pares ignoran el signo de $x$. El valor absoluto también: $|-x| = |x|$.
Juega con el control deslizante. Cuando $h = 0$, la parábola es par. Aleja $h$ de $0$ y observa cómo desaparece la propiedad del espejo.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indique si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indique si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Considere la función con valor absoluto $f(x) = |x| - 3$. Calcule la expresión para $f(-x)$ y determine si la función presenta algún tipo de simetría.
Considere la función con valor absoluto $f(x) = |x| - 3$. Calcule la expresión para $f(-x)$ y determine si la función presenta algún tipo de simetría.
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0.05x^2 + 10$. Verifique algebraicamente si esta función presenta simetría…
El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0.05x^2 + 10$. Verifique algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interprete el resultado geométricamente.
Funciones impares: medio giro alrededor del origen
Al girar el punto $(x, f(x))$ $180^\circ$ alrededor del origen se obtiene $(-x, -f(x))$. Para que la gráfica caiga sobre sí misma, ese punto también debe estar en ella. Eso significa $f(-x) = -f(x)$.
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcule la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcule la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Analice la función lineal $f(x) = 4x$. Calcule $f(-x)$ y determine algebraicamente si es una función par, impar o si no tiene simetría.
Analice la función lineal $f(x) = 4x$. Calcule $f(-x)$ y determine algebraicamente si es una función par, impar o si no tiene simetría.
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 4x$, calcule los valores numéricos de $f(2)$ y $f(-2)$. ¿Qué sugieren estos resultados sobre la simetría de la función?…
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 4x$, calcule los valores numéricos de $f(2)$ y $f(-2)$. ¿Qué sugieren estos resultados sobre la simetría de la función? Demuestre su hipótesis algebraicamente para cualquier valor de $x$.
Funciones sin simetría
La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares. Mezclar potencias pares e impares suele bastar, y también sumar una constante distinta de cero a potencias impares.
Considere la función afín $f(x) = 2x + 1$. Compruebe algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Considere la función afín $f(x) = 2x + 1$. Compruebe algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Usar la simetría para hallar valores y puntos
Cuando sabes que una función es par o impar, un valor conocido te da un segundo valor gratis.
Por eso también podemos estudiar solo la mitad del dominio. La mitad derecha ($x \ge 0$) determina la izquierda: una imagen en espejo si $f$ es par, un medio giro si $f$ es impar.
Se sabe que una función $h(x)$ tiene simetría par. Si la gráfica de esta función pasa por el punto $(4, 7)$, ¿qué otro punto pertenece obligatoriamente a su gráfica?
Se sabe que una función $h(x)$ tiene simetría par. Si la gráfica de esta función pasa por el punto $(4, 7)$, ¿qué otro punto pertenece obligatoriamente a su gráfica?
Una función $p(x)$ presenta simetría impar. Si sabemos que $p(2) = -5$, ¿cuál debe ser el valor de $p(-2)$? Escriba las coordenadas del punto correspondiente.
Una función $p(x)$ presenta simetría impar. Si sabemos que $p(2) = -5$, ¿cuál debe ser el valor de $p(-2)$? Escriba las coordenadas del punto correspondiente.
El logotipo de una empresa se ha diseñado utilizando una función matemática que es simétrica respecto al origen de coordenadas. Si el trazado del logotipo pasa por el…
El logotipo de una empresa se ha diseñado utilizando una función matemática que es simétrica respecto al origen de coordenadas. Si el trazado del logotipo pasa por el punto $(-3, 6)$, ¿por qué otro punto pasará con total seguridad?
Funciones impares en $x = 0$ y modelos simétricos
Las funciones impares cumplen un hecho especial en $x = 0$.
Esto da una forma rápida de descartar que una función sea impar. La función $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ está definida en $0$ y $f(0) = 1 \ne 0$, así que no puede ser impar. (Aunque un valor de $0$ en $x = 0$ no demuestra que sea impar. Es solo una condición necesaria.)
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demústrelo utilizando la definición…
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demústrelo utilizando la definición de función impar.
La trayectoria de un péndulo en función del tiempo $t$ se modeliza mediante una función $p(t)$. Sabiendo que $p(t)$ es una función impar y que a los $1.5$ segundos su…
La trayectoria de un péndulo en función del tiempo $t$ se modeliza mediante una función $p(t)$. Sabiendo que $p(t)$ es una función impar y que a los $1.5$ segundos su posición es $p(1.5) = 4$ pulgadas, ¿cuál será su posición en $t = -1.5$ segundos? Explique el significado físico de este resultado.
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo…
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifique su respuesta.
¿Puede una función ser par e impar a la vez?
Mira las dos definiciones juntas:
$$f(-x) = f(x) \qquad \text{y} \qquad f(-x) = -f(x).$$Normalmente una función cumple una de ellas, o ninguna. Pero ¿y si cumpliera las dos? Trátalo como un sistema de ecuaciones, con las dos cantidades desconocidas $f(x)$ y $f(-x)$.
Suponga que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantee el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas…
Suponga que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantee el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelva para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.
Hallar un parámetro desconocido
A veces una función contiene una constante desconocida y la pregunta es: ¿para qué valor es par, o impar? La estrategia es calcular $f(-x)$, igualarlo a $f(x)$ (par) o a $-f(x)$ (impar) y comparar los términos.
Encuentre el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifique su respuesta algebraicamente.
Encuentre el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifique su respuesta algebraicamente.
Determine el valor del parámetro $m$ para que la función polinómica $f(x) = 2x^3 + m x^2 - x$ presente simetría impar.
Determine el valor del parámetro $m$ para que la función polinómica $f(x) = 2x^3 + m x^2 - x$ presente simetría impar.
Calcule el valor del parámetro $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{5x^2 + bx - 2}{x}$ sea una función impar.
Calcule el valor del parámetro $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{5x^2 + bx - 2}{x}$ sea una función impar.
Funciones racionales
En una función racional, sustituye $-x$ en el numerador y en el denominador por separado, y fíjate en el signo que produce cada potencia.
La curva pasa por el origen, y la parte izquierda es la parte derecha girada media vuelta.
Compruebe de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Compruebe de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Determine si la función $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ es par, impar o ninguna de las dos. Muestre todos los pasos de su razonamiento.
Determine si la función $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ es par, impar o ninguna de las dos. Muestre todos los pasos de su razonamiento.
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudie…
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudie analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?
Dominios y productos de funciones
El dominio también debe ser simétrico
La simetría compara $x$ y $-x$, así que ambos deben estar en el dominio. Si $x = 2$ está permitido pero $x = -2$ no, la prueba ya falla.
Productos de funciones pares e impares
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación?…
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demústrelo o refútelo mediante un análisis algebraico.
Para predecir una tendencia financiera, se crea un modelo multiplicando dos funciones más simples: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Sabiendo que $f(x) = x^2$ (función par) y…
Para predecir una tendencia financiera, se crea un modelo multiplicando dos funciones más simples: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Sabiendo que $f(x) = x^2$ (función par) y $g(x) = x$ (función impar), determine algebraicamente qué tipo de simetría tendrá la función resultante $h(x)$.
Analice rigurosamente la simetría de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 - 4}$. Muestre todos los pasos algebraicos.
Analice rigurosamente la simetría de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 - 4}$. Muestre todos los pasos algebraicos.
De vuelta al puente: un cable con forma $y = ax^2 + c$ es par, pues solo aparecen potencias pares. Por eso la mitad izquierda es una imagen en espejo de la derecha, y por eso los ingenieros solo necesitan diseñar una mitad.