Funciones exponenciales
Maya publica un video corto. Cuando llega a 50 vistas, empieza a hacerse viral y el número de vistas se triplica cada día. Eso no es como "sumar 100 vistas al día", como en una recta. Las vistas se multiplican por el mismo número una y otra vez. Esto es crecimiento exponencial, y ahora la variable vive en el exponente. Al final de esta página sabrás cuántas vistas tiene el video de Maya después de 4 días.
¿Qué es una función exponencial?
Compárala con una función potencia como $x^3$. En $x^3$ la variable es la base. En $3^x$ la variable es el exponente. Una función lineal suma la misma cantidad en cada paso, y una función exponencial multiplica por el mismo factor en cada paso.
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $2x + 1$ (lineal: suma $2$) | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
| $2^x$ (exponencial: multiplica por $2$) | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | $16$ |
Mueve el control deslizante y observa dos cosas que nunca cambian:
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Toda gráfica $y = b^x$ pasa por $(0, 1)$, porque $b^0 = 1$ para cualquier base.
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Toda gráfica $y = b^x$ también pasa por $(1, b)$.
Para evaluar, recuerda las reglas de los exponentes: $b^0 = 1$ y $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Crecimiento y decaimiento
Prueba con una base menor que $1$, como $b = 0.5$. La gráfica es la imagen en espejo de $y = 2^x$ respecto al eje $y$. Esto se debe a que $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$. De la misma forma, $y = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x$ es la imagen en espejo de $y = 3^x$.
Para leer una gráfica, mírala de izquierda a derecha. Si la curva sube, la base es mayor que $1$. Si baja, la base está entre $0$ y $1$.
Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes: a) $f(x) = 1,2^x$ b) $g(x) = 0,7^x$ c)…
Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes:
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a) $f(x) = 1,2^x$
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b) $g(x) = 0,7^x$
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c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$
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d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o…
Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.
Dominio, rango, intersección con el eje $y$ y asíntota
Mira la gráfica. A la izquierda, la curva se acerca cada vez más al eje $x$ pero nunca lo toca. Esa recta es una asíntota horizontal: una recta a la que la gráfica se acerca pero nunca alcanza.
Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Resolver ecuaciones igualando las bases
Las funciones exponenciales nunca repiten un resultado: siempre suben o siempre bajan. Por eso, si dos potencias con la misma base son iguales, sus exponentes deben ser iguales.
El plan: escribe ambos lados como potencias de la misma base, luego iguala los exponentes y resuelve la ecuación que resulta. Datos útiles: $81 = 3^4$, $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$, $125 = 5^3$.
Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales: a) $2^x = 64$ b) $3^x = \frac{1}{9}$
Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales:
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a) $2^x = 64$
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b) $3^x = \frac{1}{9}$
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad: a) $5^{2x-1} = 125$ b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
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a) $5^{2x-1} = 125$
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b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Ecuaciones con factor común
A veces la ecuación tiene una suma de potencias con la misma base pero distintos exponentes, como $2^x + 2^{x+2} = 40$. No puedes igualar las bases de inmediato. Primero reescribe cada término con la propiedad $b^{x+n} = b^x \cdot b^n$ y luego factoriza la potencia común.
Si hay tres términos, como $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3}$, factoriza el de menor exponente, $2^{x-3}$, y reescribe los demás términos como $2^{x-3}$ por un número.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente: $3^x + 3^{x+1} = 36$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente:
$3^x + 3^{x+1} = 36$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común: $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común:
$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Hallar la ecuación a partir de información
Para escribir $f(x) = a \cdot b^x$ necesitas los dos números $a$ y $b$. Usa la información que te dan.
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La intersección con el eje $y$ (valor en $x = 0$) es $a$.
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Sustituye el otro punto en la fórmula y resuelve para $b$.
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En una tabla donde $x$ aumenta de $1$ en $1$, divide cada resultado entre el anterior. Ese cociente es $b$.
La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo…
La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo en semanas. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había $5$ insectos y que a las $2$ semanas había $45$ insectos, calcula los valores de las constantes $k$ y $a$. A continuación, determina cuántos insectos habrá a las $4$ semanas.
Trasladar la gráfica
Sumar o restar números en $f(x) = b^{x-h} + k$ mueve la gráfica:
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$x - h$ en el exponente mueve la gráfica $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h$ es negativo).
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$+k$ al final mueve la gráfica $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k$ es negativo).
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La asíntota horizontal se mueve con ella: pasa a ser la recta $y = k$.
(En el widget, el control $p$ es la traslación $h$ y el control $q$ es la traslación $k$.) Para graficar una exponencial trasladada, primero haz una tabla de valores. Luego marca los puntos y dibuja la asíntota.
Para hallar una intersección con el eje $x$, siempre haz $f(x) = 0$, despeja la potencia y resuelve la ecuación exponencial. Si la asíntota está arriba del eje $x$ ($k > 0$ y $a > 0$), la gráfica nunca llega a $y = 0$, así que no hay intersección con el eje $x$.
Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las…
Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las coordenadas de su punto de corte con el eje de ordenadas.
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos…
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos por los que pasa, y determina los valores de los parámetros $a$ y $b$.
Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Modelar crecimiento y decaimiento
Una cantidad de la vida real que se multiplica por el mismo factor en períodos iguales sigue $$y = a \cdot b^t$$ donde $a$ es la cantidad inicial y $b$ es el factor para una unidad de tiempo.
Si el problema dice que la cantidad se duplica, se triplica o se reduce a la mitad cada $T$ unidades de tiempo, el exponente cuenta cuántos períodos han pasado. Para duplicar o triplicar usa $y = a \cdot 2^{t/T}$ o $y = a \cdot 3^{t/T}$. Para el decaimiento a la mitad cada $T$ unidades (una vida media) usa $$y = a \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$$ ¿Por qué $t/T$? Después de $t$ años han pasado $t/T$ períodos de longitud $T$, y cada uno multiplica la cantidad por $\tfrac{1}{2}$.
En un laboratorio se estudia un cultivo de bacterias. Inicialmente hay $100$ bacterias y se observa que su número se triplica cada hora. Escribe la función que relaciona…
En un laboratorio se estudia un cultivo de bacterias. Inicialmente hay $100$ bacterias y se observa que su número se triplica cada hora. Escribe la función que relaciona el número de bacterias con el tiempo transcurrido en horas, y calcula cuántas bacterias habrá al cabo de $3$ horas.
Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ onzas. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de la…
Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ onzas. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de la función que da la masa restante en función del tiempo (en años) y calcula cuántas onzas quedarán exactamente al cabo de $30$ años.
La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en…
La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en sangre disminuye exponencialmente de modo que cada $6$ horas la cantidad se reduce a la mitad.
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a) Escribe la función $C(t)$ que expresa los miligramos de fármaco en sangre en función del tiempo $t$ medido en horas.
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b) ¿Qué cantidad de fármaco quedará en la sangre del paciente al cabo de un día completo ($24$ horas)?
Cambio porcentual e interés compuesto
Un aumento o disminución porcentual es un factor de crecimiento o decaimiento disfrazado.
Una familia ingresa $\$2000$ en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2…
Una familia ingresa $\$2000$ en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2$ años si no retiran ningún dinero de la cuenta?
El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $\$800$. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%…
El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $\$800$. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%$ cada año. Escribe la función que modeliza el precio del celular en función de los años transcurridos y calcula cuál será su valor al cabo de $4$ años.
Un inversionista desea obtener un capital final de $\$5000$ dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%…
Un inversionista desea obtener un capital final de $\$5000$ dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%$ anual, ¿qué capital inicial debe invertir hoy para lograr su objetivo? (Redondee el resultado a los centavos).
Interés simple vs. interés compuesto
Con interés simple, ganas intereses solo sobre el capital original: $A = P(1 + rt)$. Es una función lineal: se suma la misma cantidad de dólares cada año. Con interés compuesto, los intereses ganan intereses, así que la función es exponencial.
Si el interés se suma $n$ veces al año, la tasa anual $r$ se divide en $n$ partes iguales y hay $nt$ períodos: $$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$ Por ejemplo, capitalización mensual significa $n = 12$, y trimestral significa $n = 4$.
Las dos gráficas de arriba empiezan en $\$500$ y usan una tasa de $8\%$. La recta es el interés simple. La curva es el interés compuesto. La curva empieza con una pendiente un poco menor, pero luego toma la delantera.
Dos hermanos reciben una herencia de $\$10000$ cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%…
Dos hermanos reciben una herencia de $\$10000$ cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%$ anual, mientras que el segundo lo invierte a un interés compuesto del $4 \%$ anual. Escribe las funciones que describen el capital de cada hermano a lo largo del tiempo. ¿Quién tendrá más dinero al cabo de $10$ años? ¿Y al cabo de $20$ años?
Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$. a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $\$3000…
Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$.
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a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $\$3000$ y los intereses se abonan anualmente (interés compuesto anual).
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b) Escribe la función si los intereses se abonan mensualmente (interés compuesto mensual).
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c) Calcula la diferencia exacta de capital obtenido entre ambas modalidades al cabo de $5$ años.
Cuando las bases no coinciden: tantear y comprobar
No toda ecuación exponencial se puede escribir con la misma base. Por ejemplo, $1.05^t = 1.5$ no tiene una respuesta entera. En este nivel, puedes resolverla por tanteo (guess and check) con una calculadora. Prueba valores de $t$, observa si te pasas o te quedas corto, y ve acercándote. En Álgebra 2 aprenderás los logaritmos, que resuelven $b^t = c$ directamente.
Cuando un modelo tiene una constante sumada, como una taza de té que se enfría, $T(t) = 20 + 70 \cdot 0.8^t$, primero despeja la potencia. Resta la constante y luego divide entre el coeficiente. La constante $20$ también es la asíntota horizontal: cuando $t$ es grande, $0.8^t$ se acerca a $0$, así que $T$ se acerca a $20$.
La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes…
La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes y decrece a un ritmo del $2 \%$ anual. Escribe las funciones de población de ambas ciudades. Comprueba, usando la calculadora mediante ensayo y error (o aplicando logaritmos), en qué año exacto la ciudad A superará en población a la ciudad B.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, donde $T(t)$ es…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, donde $T(t)$ es la temperatura en grados Fahrenheit y $t$ es el tiempo en minutos transcurrido desde que se sirvió.
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a) ¿Cuál era la temperatura inicial del té?
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b) ¿Cuál es la temperatura ambiente de la habitación? (Razona qué ocurre cuando el tiempo $t$ se hace muy grande).
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c) Plantea la ecuación para calcular en qué minuto la temperatura del té será exactamente de $55$ ºF y resuélvela.
Valor absoluto de una función exponencial
El valor absoluto $|u|$ deja igual los números no negativos y cambia los números negativos por su opuesto. Para escribir $f(x) = |2^x - 4|$ como una función definida por partes, halla dónde cambia de signo la expresión de adentro.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$: a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia…
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:
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a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia de signo.
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b) Determina sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
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c) Indica en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.
De vuelta al inicio: el video de Maya empieza con $50$ vistas y se triplica cada día, así que $V(t) = 50 \cdot 3^t$. Después de $4$ días tiene $50 \cdot 3^4 = 50 \cdot 81 = 4{,}050$ vistas.