Expresiones algebraicas

Identifique el coeficiente, la parte literal y el grado del siguiente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Indique cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y justifique su respuesta:

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ para $x = -2$.

Determine el valor de $k$ para que el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ sea igual a $5$.

Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ en el polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sabiendo que su valor numérico para $x = 1$ es $-2$ y para $x = -1$ es $-4$.

Realice la siguiente suma y resta de monomios semejantes y simplifique el resultado: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Efectúe la multiplicación de los siguientes monomios: $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Realice la siguiente división de monomios e indique el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio resultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Exprese en lenguaje algebraico el siguiente enunciado: "El cubo de un número menos el cuadrado de otro número distinto".

Escriba la expresión algebraica que representa el perímetro de un rectángulo cuya base mide $3x$ y su altura mide $x + 2$.

Una compañía telefónica cobra una cuota fija mensual de $\$15$, más $\$0.12$ por cada minuto de llamada $m$ y $\$0.05$ por cada megabyte consumido $d$. Escriba la expresión algebraica de la factura mensual y calcule su monto para un mes en el que se han consumido $100$ minutos y $500$ megabytes.

Una tienda de ropa ofrece un descuento del $20\%$ en todos sus artículos. Si compra $x$ camisas que originalmente cuestan $\$25$ cada una y $y$ pantalones que cuestan $\$40$ cada uno, escriba la expresión algebraica del costo total de la compra. Calcule el costo si compra $3$ camisas y $2$ pantalones.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la expresión $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, donde $m$ es la masa en kilogramos y $v$ la velocidad en metros por segundo. Calcule la energía cinética de un vehículo de $800$ kg que circula a $20$ m/s.

Dos agencias de alquiler de carros ofrecen distintas tarifas. La agencia A cobra una cuota fija de $\$30$ más $\$0.20$ por milla recorrida. La agencia B cobra $\$50$ fijos más $\$0.15$ por milla. Escriba la expresión algebraica que representa la diferencia de costo entre la agencia A y la agencia B para un trayecto de $k$ millas, y determine para cuántas millas el costo es exactamente el mismo.

La figura muestra un cuadrado de lado $2x$ que contiene en su interior un círculo de radio $x$. Escriba la expresión algebraica que representa el área de la región sombreada (la zona del cuadrado exterior al círculo).

Un depósito cilíndrico tiene un radio de la base $r = x$ y una altura $h = 3x$. Escriba las expresiones algebraicas que representan su volumen y su área lateral en función de $x$.

Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $a$ pies de largo por $b$ pies de ancho. Se construyen dos caminos perpendiculares de ancho $x$ paralelos a los lados del jardín, formando una cruz. Escriba la expresión algebraica factorizada del área de la zona verde restante.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una plancha de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Para ello, se recortan cuadrados de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Escriba la expresión algebraica del volumen de la caja en función de $x$ y calcule dicho volumen si $x = 5$ pulgadas.

Un agricultor dispone de $L$ pies de cerca para cercar un terreno rectangular adyacente a un río rectilíneo. Como el río actúa como barrera natural, no necesita poner cerca en ese lado. Si llamamos $x$ al ancho del terreno (la dimensión perpendicular al río), escriba la expresión algebraica del área del terreno en función de $L$ y $x$. ¿Cuál es el área si dispone de $100$ pies de cerca y el ancho es de $20$ pies?

Escriba la expresión algebraica que proporciona la suma de los primeros $n$ múltiplos enteros positivos de $3$, sabiendo que la suma de los primeros $n$ números naturales es $\frac{n(n+1)}{2}$. Utilice dicha expresión para calcular la suma de los primeros $50$ múltiplos de $3$.

Calcule el valor numérico de la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ para $x = \frac{1}{2}$ y $y = -\frac{3}{2}$. Pista: simplifique la expresión antes de sustituir los valores.

Dada la expresión algebraica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, simplifíquela al máximo efectuando la división y utilice el resultado para calcular mentalmente su valor numérico cuando $a = 4.5$ y $b = 1.5$.

En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ de tres resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ conectadas en paralelo se obtiene a partir de la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Despeje $R_{eq}$ y escriba su expresión algebraica como una única fracción en función de $R_1$, $R_2$ y $R_3$.

Demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$. (Recuerde que un número impar se puede expresar de la forma $2n+1$).