Cómo resolver otros tipos de ecuaciones

Resuelva la siguiente ecuación bicuadrada realizando el cambio de variable $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Halle todas las soluciones reales de la siguiente ecuación bicuadrada incompleta sacando factor común:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Resuelva la siguiente ecuación bicuadrada e indique claramente cuáles son sus soluciones reales y por qué se descartan las demás:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

El área de un rectángulo es de $6 \text{ cm}^2$. Sabiendo que su base mide $x^2 + 2$ pulgadas y su altura $x^2 - 3$ pulgadas, plantee una ecuación bicuadrada para hallar el valor de $x$ (con $x > 0$) y determine las dimensiones reales del rectángulo.

La diagonal de un marco rectangular de madera mide $\sqrt{10}$ pulgadas. Si uno de sus lados mide $x$ pulgadas y el otro mide $\frac{3}{x}$ pulgadas, plantee una ecuación racional, transfórmela en una ecuación bicuadrada y calcule las dimensiones del marco.

Resuelva la siguiente ecuación racional multiplicando todos los términos por $x$ para eliminar el denominador:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Encuentre el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación racional sencilla:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Resuelva la siguiente ecuación racional reduciendo a común denominador. Preste especial atención a las posibles soluciones que anulen algún denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Un ciclista viaja a un pueblo cercano a una velocidad de $20 \text{ km/h}$ y vuelve por el mismo camino a una velocidad de $x \text{ km/h}$. La velocidad media de todo el trayecto de ida y vuelta viene dada por la fórmula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Si la velocidad media total ha sido de $24 \text{ km/h}$, plantee una ecuación racional y calcule la velocidad de vuelta $x$.

Un tanque de agua para riego se puede llenar usando dos grifos distintos. El primer grifo tarda $x$ horas en llenarlo por sí solo, y el segundo grifo, que tiene menor caudal, tarda $x+3$ horas. Si se abren los dos a la vez, el tanque se llena en exactamente $2$ horas. Plantee una ecuación racional y determine cuánto tarda cada grifo por separado.

Un grupo de amigos alquila una casa de campo para el fin de semana por un total de $\$120$. A última hora se apuntan $2$ amigos más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $\$3$ menos. Si $x$ es el número inicial de amigos, plantee una ecuación racional y averigüe cuántos amigos fueron finalmente a la casa de campo.

Resuelva la ecuación irracional aislando el radical y elevando ambos miembros al cuadrado:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determine los valores de $x$ que cumplen la siguiente ecuación con raíces. Recuerda que debes comprobar las soluciones al final para descartar posibles soluciones falsas:

$\sqrt{x + 2} = x$

Resuelva la ecuación irracional aislando una de las raíces y elevando al cuadrado. Recuerde comprobar la solución obtenida:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Resuelva la siguiente ecuación irracional que involucra dos radicales. Tendrá que elevar al cuadrado dos veces. Compruebe las soluciones obtenidas al final del proceso:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

El período $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) viene dado por la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en pies y $g$ es la aceleración de la gravedad. Tomando la aproximación $\pi^2 \approx 10$ y $g = 10 \text{ m/s}^2$, halle la longitud $L$ del péndulo para que su período sea exactamente de $2$ segundos.

En una pieza de chapa con forma de triángulo rectángulo, un cateto mide $x$ pulgadas, el otro cateto mide $\sqrt{x+5}$ pulgadas y la hipotenusa mide $x+1$ pulgadas. Plantee una ecuación irracional aplicando el teorema de Pitágoras, halle el valor de $x$ y calcule el área de la pieza.

Resuelva la siguiente ecuación exponencial expresando ambos miembros como potencias de la misma base:

$3^{2x-1} = 27$

El número de bacterias en un cultivo de laboratorio sigue la fórmula exponencial $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿Cuántas horas deben transcurrir para que la población alcance exactamente las $4000$ bacterias?

El valor de una inversión financiera (en miles de dólares) sigue la evolución $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, donde $t$ es el tiempo en años desde el inicio de la inversión. ¿En qué instantes $t$ el valor de la inversión es exactamente de $2$ mil dólares? (Pista: utilice las propiedades de las potencias y haga el cambio de variable $u = 2^t$).

Halle el valor de $x$ en la ecuación logarítmica aplicando directamente la definición de logaritmo:

$\log_2(x + 5) = 3$

El nivel de intensidad sonora $L$ en decibelios (dB) se calcula mediante la expresión logarítmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, donde $I$ es la intensidad acústica en $\text{W/m}^2$. Calcule la intensidad $I$ de un sonido producido por el tráfico intenso, sabiendo que su nivel es de $80 \text{ dB}$.

Resuelva la siguiente ecuación logarítmica aplicando las propiedades de los logaritmos (suma de logaritmos) y compruebe el resultado para descartar soluciones que generen argumentos negativos:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

La magnitud de un terremoto en la escala de Richter viene dada por $M = \log(A) - \log(A_0)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas registradas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si en un terremoto de magnitud $M_1 = 3$ la amplitud fue $A_1$, y en otro terremoto más fuerte la amplitud fue $A_2 = 100 \cdot A_1$, ¿cuál fue la magnitud $M_2$ de este segundo terremoto? Aplique las propiedades de los logaritmos para demostrarlo paso a paso.