Distribuciones marginales
La Sra. Patel le puso a su clase un examen corto de Álgebra y otro de Ciencias, ambos calificados de 5 a 7. Su tabla de doble entrada muestra cuántos estudiantes obtuvieron cada par de calificaciones. Ahora pregunta: ¿cuántos estudiantes sacaron 6 en Álgebra, sin importar qué sacaron en Ciencias? Para contestar, ignoras una variable y miras solo la otra. Eso es una distribución marginal.
Qué es una distribución marginal
Una tabla de doble entrada mezcla dos tipos de información: cómo se distribuyen $X$ y $Y$ por separado y cómo se relacionan. Si ignoras una de las variables, lo que queda es una distribución ordinaria de una sola variable.
Dada la siguiente tabla de doble entrada para las variables $X$ e $Y$: | $X \setminus Y$ | 3 | 4 | |---|---|---| | 1 | 2 | 5 | | 2 | 4 | 1 | Escriba la tabla de la…
Dada la siguiente tabla de doble entrada para las variables $X$ e $Y$:
| $X \setminus Y$ | 3 | 4 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 1 |
Escriba la tabla de la distribución marginal de la variable $X$.
Se ha estudiado la relación entre dos variables estadísticas $X$ e $Y$, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias conjuntas: | $X \setminus Y$ | 10 | 20 |…
Se ha estudiado la relación entre dos variables estadísticas $X$ e $Y$, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:
| $X \setminus Y$ | 10 | 20 |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 2 |
| 1 | 1 | 6 |
| 2 | 4 | 0 |
Determine la distribución marginal de la variable $Y$ y calcule el tamaño total de la población $N$.
Totales marginales y notación
Estos totales se llaman marginales porque normalmente se escriben en los márgenes de la tabla: una columna "Total" a la derecha y una fila "Total" abajo. La celda de la esquina es $N$.
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $n_{ij}$ | frecuencia conjunta: individuos con $X = x_i$ y $Y = y_j$ |
| $n_{i\bullet}$ | total de la fila $i$: individuos con $X = x_i$ |
| $n_{\bullet j}$ | total de la columna $j$: individuos con $Y = y_j$ |
| $N$ | total de todo |
En la siguiente tabla de doble entrada faltan los totales marginales (las sumas de las filas y de las columnas). | $X \setminus Y$ | 1 | 2 | 3 | Total $X$ |…
En la siguiente tabla de doble entrada faltan los totales marginales (las sumas de las filas y de las columnas).
| $X \setminus Y$ | 1 | 2 | 3 | Total $X$ |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 0 | 4 | ? |
| 6 | 1 | 3 | 1 | ? |
| Total $Y$ | ? | ? | ? | $N = ?$ |
Copie la tabla y complete los valores marginales que faltan.
Observe la siguiente tabla de frecuencias conjuntas: | $X \setminus Y$ | 100 | 200 | 300 | |---|---|---|---| | 1 | 5 | 8 | 2 | | 2 | 3 | 1 | 7 | Identifique el valor de…
Observe la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:
| $X \setminus Y$ | 100 | 200 | 300 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 8 | 2 |
| 2 | 3 | 1 | 7 |
Identifique el valor de la frecuencia marginal $n_{2 \bullet}$ (el total de individuos con $X=2$) y el valor de la frecuencia marginal $n_{\bullet 3}$ (el total de individuos con $Y=300$).
Se registran la temperatura media $X$ (en °F) y los días de lluvia mensuales $Y$ en varias ciudades: | $X \setminus Y$ | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---| | 15 | 3 | 5 | 2 |…
Se registran la temperatura media $X$ (en °F) y los días de lluvia mensuales $Y$ en varias ciudades:
| $X \setminus Y$ | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| 15 | 3 | 5 | 2 |
| 20 | 4 | 7 | 3 |
| 25 | 1 | 4 | 6 |
Extraiga las distribuciones marginales de $X$ e $Y$. Compruebe numéricamente que la suma de las frecuencias marginales de $X$ coincide con la suma de las frecuencias marginales de $Y$, y que ambas equivalen al tamaño total de la muestra $N$.
De una lista de pares a una distribución marginal
A veces los datos llegan como una lista de pares $(x, y)$, un par por individuo. Tienes dos opciones.
-
Construir primero la tabla de doble entrada, anotando cada par en su celda, y luego sumar filas y columnas.
-
Atajo: para obtener la marginal de $Y$, ignora los valores de $x$ y cuenta cuántas veces aparece cada $y$ (y lo mismo para $X$).
Se han recolectado los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$ al observar a 5 individuos: $(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$ A partir de estos datos, construya…
Se han recolectado los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$ al observar a 5 individuos:
$(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$
A partir de estos datos, construya la tabla de la distribución marginal de la variable $Y$.
En un grupo de 10 amigos, se ha preguntado por el número de hermanos ($X$) y el número de mascotas ($Y$). Los resultados $(X, Y)$ son:…
En un grupo de 10 amigos, se ha preguntado por el número de hermanos ($X$) y el número de mascotas ($Y$). Los resultados $(X, Y)$ son:
$(1, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 0), (3, 0), (1, 1), (0, 1), (2, 0)$
Escriba la tabla de la distribución marginal del número de mascotas ($Y$).
Se ha registrado el número de horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para 10 estudiantes:…
Se ha registrado el número de horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para 10 estudiantes:
$(5, 6), (7, 8), (4, 5), (8, 9), (5, 5), (6, 7), (7, 7), (9, 10), (4, 6), (6, 8)$
Construya la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas. A partir de ella, obtenga la distribución marginal de las calificaciones ($Y$) y determine qué porcentaje de alumnos obtuvo una calificación marginal superior a 6.
Media marginal
Una vez que tienes una distribución marginal, trátala como cualquier conjunto de datos de una variable. Multiplica cada valor por su frecuencia, suma y divide entre $N$.
La distribución marginal de una variable bidimensional para su componente $X$ viene dada por la siguiente tabla: | $x_i$ | 2 | 4 | 6 | |---|---|---|---| | $n_i$ | 3 | 5…
La distribución marginal de una variable bidimensional para su componente $X$ viene dada por la siguiente tabla:
| $x_i$ | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| $n_i$ | 3 | 5 | 2 |
Calcule la media marginal $\bar{x}$.
Un biólogo estudia una especie de anfibio, registrando su masa $X$ (en libras) y su longitud $Y$ (en pulgadas). Los resultados se agrupan en la siguiente tabla de doble…
Un biólogo estudia una especie de anfibio, registrando su masa $X$ (en libras) y su longitud $Y$ (en pulgadas). Los resultados se agrupan en la siguiente tabla de doble entrada:
| $X \setminus Y$ | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 4 | 2 | 0 |
| 1,0 | 1 | 5 | 3 |
| 1,5 | 0 | 2 | 3 |
Calcule las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$ de ambas variables.
Un ecólogo mide la cantidad de luz solar $X$ y el crecimiento de una planta $Y$. Los datos se resumen en la siguiente tabla: | $X \setminus Y$ | 10 | 20 | |---|---|---|…
Un ecólogo mide la cantidad de luz solar $X$ y el crecimiento de una planta $Y$. Los datos se resumen en la siguiente tabla:
| $X \setminus Y$ | 10 | 20 |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 3 |
| 8 | 4 | 1 |
Demuestre numéricamente que el cálculo de la media marginal de $X$ utilizando la fórmula completa bidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ da exactamente el mismo resultado que si primero se extrae la distribución marginal de $X$ y se aplica la fórmula unidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Muestre el desarrollo paso a paso de ambos métodos.
Varianza y desviación estándar marginales
La media te dice dónde está el centro. La varianza y la desviación estándar te dicen qué tan dispersos están los valores. Como la tabla enumera a todo el grupo, dividimos entre $N$ (las fórmulas poblacionales).
La distribución marginal de la variable $Y$ en un estudio estadístico es la siguiente: | $y_j$ | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---| | $n_j$ | 4 | 4 | 2 | Sabiendo que su…
La distribución marginal de la variable $Y$ en un estudio estadístico es la siguiente:
| $y_j$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $n_j$ | 4 | 4 | 2 |
Sabiendo que su media marginal es $\bar{y} = 0,8$, calcule la varianza marginal $\sigma_Y^2$.
Se analiza la duración de la batería $X$ (en horas) y el tamaño de la pantalla $Y$ (en pulgadas) de varios modelos de tabletas: | $X \setminus Y$ | 7 | 8 | 10 |…
Se analiza la duración de la batería $X$ (en horas) y el tamaño de la pantalla $Y$ (en pulgadas) de varios modelos de tabletas:
| $X \setminus Y$ | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|
| 6 | 2 | 5 | 1 |
| 8 | 4 | 8 | 3 |
| 10 | 1 | 4 | 6 |
| 12 | 0 | 2 | 4 |
Construya la distribución marginal de la duración de la batería ($X$) y calcule su desviación típica marginal.
Datos agrupados: marcas de clase
Cuando $X$ o $Y$ se da en intervalos, usa el punto medio de cada intervalo como su valor $x_i$. Los resultados son estimaciones, igual que con datos agrupados de una variable.
$$\text{punto medio de } [a, b) = \frac{a+b}{2}$$En un estudio de mercado sobre el precio de un producto $X$ (agrupado en intervalos de dólares) y el número de ventas diarias $Y$, se obtiene: | $X \setminus Y$ | 10 |…
En un estudio de mercado sobre el precio de un producto $X$ (agrupado en intervalos de dólares) y el número de ventas diarias $Y$, se obtiene:
| $X \setminus Y$ | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| $[10, 20)$ | 5 | 12 | 3 |
| $[20, 30)$ | 8 | 15 | 7 |
| $[30, 40)$ | 2 | 6 | 12 |
Obtenga la distribución marginal de $X$ utilizando las marcas de clase y calcule su media marginal.
Comparar la dispersión de dos variables
Si $X$ y $Y$ tienen las mismas unidades, puedes comparar $\sigma_X$ y $\sigma_Y$ directamente. Si tienen unidades distintas o tamaños muy diferentes, una $\sigma$ mayor no significa "más dispersión en relación con su tamaño". Usa el coeficiente de variación.
En un ensayo clínico se relaciona la dosis de un medicamento $X$ (en mg) con los días de recuperación $Y$: | $X \setminus Y$ | 3 | 5 | 7 | |---|---|---|---| | 100 | 6 |…
En un ensayo clínico se relaciona la dosis de un medicamento $X$ (en mg) con los días de recuperación $Y$:
| $X \setminus Y$ | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 100 | 6 | 4 | 0 |
| 200 | 2 | 8 | 2 |
| 300 | 0 | 3 | 5 |
Calcule el coeficiente de variación marginal de la variable $Y$ para analizar su dispersión relativa.
Se estudia la cantidad de fertilizante $X$ (en lb/acre) y el rendimiento de la cosecha $Y$ (en toneladas/acre) en diferentes parcelas: | $X \setminus Y$ | 2 | 3 | 4 |…
Se estudia la cantidad de fertilizante $X$ (en lb/acre) y el rendimiento de la cosecha $Y$ (en toneladas/acre) en diferentes parcelas:
| $X \setminus Y$ | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 50 | 5 | 2 | 1 |
| 100 | 3 | 6 | 2 |
| 150 | 0 | 4 | 7 |
Calcule la varianza marginal de $X$ y la varianza marginal de $Y$. ¿Cuál de las dos variables presenta mayor dispersión absoluta?
Frecuencias relativas y gráficas de burbujas
A veces la tabla da frecuencias relativas conjuntas $h_{ij} = \dfrac{n_{ij}}{N}$ en lugar de conteos. Las marginales funcionan igual: suma filas o columnas. El total general es $1$.
Una gráfica de burbujas muestra una tabla de doble entrada como un dibujo: cada burbuja está en un par $(x, y)$ y el número dentro es la frecuencia conjunta $n_{ij}$. Lee los números de las burbujas y luego suma por columna para obtener la marginal de $X$, o por fila para obtener la de $Y$.
En la gráfica, la marginal de $X$ es $1 \to 5$, $2 \to 8$, $3 \to 2$ (así que $N = 15$), y la marginal de $Y$ es $5 \to 7$, $10 \to 8$.
Un estudio relaciona el nivel de ingresos $X$ (en miles de dólares) y el índice de satisfacción $Y$ (del 1 al 3). En lugar de frecuencias absolutas, se proporcionan las…
Un estudio relaciona el nivel de ingresos $X$ (en miles de dólares) y el índice de satisfacción $Y$ (del 1 al 3). En lugar de frecuencias absolutas, se proporcionan las frecuencias relativas conjuntas $h_{ij}$:
| $X \setminus Y$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 15 | 0,10 | 0,15 | 0,05 |
| 25 | 0,05 | 0,25 | 0,10 |
| 35 | 0,00 | 0,10 | 0,20 |
Calcule las distribuciones marginales relativas y, a partir de ellas, obtenga las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
El siguiente gráfico de burbujas representa la distribución bidimensional del Nivel de Riesgo ($X$) y el Retorno esperado ($Y$) de un conjunto de carteras de inversión.…
El siguiente gráfico de burbujas representa la distribución bidimensional del Nivel de Riesgo ($X$) y el Retorno esperado ($Y$) de un conjunto de carteras de inversión. El número dentro de cada burbuja indica la frecuencia conjunta.
A partir de la gráfica, extraiga las distribuciones marginales de ambas variables y calcule la media marginal del Retorno ($\bar{y}$).
Hallar datos faltantes
Los totales marginales son pistas poderosas. Cada total da una ecuación, y una media dada o $N$ da otra. Necesitas tantas ecuaciones como incógnitas.
En un equipo de básquetbol se analiza el número de faltas cometidas ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por partido. La tabla conjunta tiene una frecuencia desconocida…
En un equipo de básquetbol se analiza el número de faltas cometidas ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por partido. La tabla conjunta tiene una frecuencia desconocida $f$:
| $X \setminus Y$ | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | $f$ | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 2 |
Sabiendo que la media marginal de los puntos anotados es $\bar{y} = 10$, encuentre el valor de la frecuencia desconocida $f$.
En una fábrica se analiza el número de defectos $X$ y el tiempo de revisión $Y$ (en minutos) de un lote de piezas. La tabla de frecuencias conjuntas contiene dos…
En una fábrica se analiza el número de defectos $X$ y el tiempo de revisión $Y$ (en minutos) de un lote de piezas. La tabla de frecuencias conjuntas contiene dos parámetros $a$ y $b$:
| $X \setminus Y$ | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| 0 | 10 | 5 | 2 |
| 1 | 4 | $a$ | 3 |
| 2 | 1 | 2 | $b$ |
Se sabe que el tamaño total de la muestra es $N = 40$ y que la media marginal del número de defectos es $\bar{x} = 0,8$. Determine los valores de las frecuencias $a$ y $b$.
Se evalúa la resistencia a la tracción $X$ (en MPa) y el porcentaje de carbono $Y$ en aleaciones de acero. La tabla está incompleta, pero se conocen los totales…
Se evalúa la resistencia a la tracción $X$ (en MPa) y el porcentaje de carbono $Y$ en aleaciones de acero. La tabla está incompleta, pero se conocen los totales marginales:
| $X \setminus Y$ | 0,2 | 0,4 | 0,6 | Total $X$ |
|---|---|---|---|---|
| 400 | 8 | ? | 2 | 15 |
| 500 | ? | 12 | ? | 25 |
| 600 | 1 | ? | 5 | 10 |
| Total $Y$ | 12 | 22 | 16 | $N=50$ |
Reconstruya la tabla de doble entrada completa. A continuación, calcule la varianza marginal de $Y$.
Cambio de origen y de escala
Los precios suben, las edades se registran con un año de retraso, las unidades se convierten. En lugar de transformar cada valor, puedes transformar directamente la media y la varianza. Todo lo que sigue también vale para una marginal, porque una marginal es simplemente una distribución de una variable.
Se analiza la edad $X$ (en intervalos) y el número de hijos $Y$ de un grupo de familias: | $X \setminus Y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $[20, 30)$ | 15 | 10…
Se analiza la edad $X$ (en intervalos) y el número de hijos $Y$ de un grupo de familias:
| $X \setminus Y$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $[20, 30)$ | 15 | 10 | 2 | 0 |
| $[30, 40)$ | 8 | 18 | 12 | 4 |
| $[40, 50)$ | 3 | 7 | 15 | 6 |
Calcule la media y la varianza marginal de la Edad ($X$) usando las marcas de clase. Si por un error de registro se debe aplicar un factor de corrección sumando 2 años a cada marca de clase, ¿cuáles serán la nueva media y varianza marginales de $X$ sin necesidad de recalcular toda la tabla? Razone su respuesta basándose en las propiedades de la media y la varianza.
Una tienda registra el precio base $X$ (en dólares) y el número de unidades vendidas $Y$ de distintos artículos. La distribución marginal de los precios base $X$…
Una tienda registra el precio base $X$ (en dólares) y el número de unidades vendidas $Y$ de distintos artículos. La distribución marginal de los precios base $X$ obtenida de la tabla bidimensional es:
| $x_i$ | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| $n_i$ | 25 | 40 | 20 | 15 |
Sabiendo que el precio final de venta al público ($X'$) se calcula aplicando un impuesto fijo de $\$5$ más un incremento del 20% sobre el precio base (es decir, $X' = 1,20X + 5$), calcule la media y la desviación típica marginal de los precios finales $X'$ sin tener que transformar cada uno de los valores individualmente.
Volvamos al principio: la pregunta de la Sra. Patel se contesta con la fila de $X = 6$ en la tabla de Álgebra y Ciencias. Al sumar $1+5+3$ se obtienen 9 estudiantes, sin importar su calificación en Ciencias.