Operaciones con polinomios
El club de robótica de tu escuela vende sudaderas con capucha. Fabricar $x$ sudaderas cuesta $C(x) = 15x + 300$ dólares, y el club baja el precio a medida que vende más: cada sudadera se vende a $p(x) = 50 - 0.5x$ dólares. El ingreso, el costo y la ganancia son polinomios, y la ganancia es un polinomio nuevo construido a partir de los otros dos. ¿Cómo se combinan y cuántas sudaderas debe vender el club solo para quedar a mano (punto de equilibrio)? Operar con polinomios es la herramienta que convierte varias fórmulas en una sola que puedes evaluar, dividir o factorizar.
Evaluar un polinomio
Un polinomio es una suma de términos de la forma $ax^n$, donde $n$ es un número entero $0, 1, 2, \dots$. Su grado es el exponente más alto, y la forma estándar ordena los términos del grado mayor al menor. Para evaluar $P(x)$ en un número, sustituye el número en cada $x$, usando paréntesis, y luego sigue el orden de las operaciones.
Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Calcule el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios, combina términos semejantes: los términos con la misma potencia de $x$. Alinearlos en columnas lo hace fácil. Un número delante de un polinomio, como $3A(x)$, multiplica cada término.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcule la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcule la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.
La altura en pies de un dron en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Un segundo dron sigue una trayectoria descrita por…
La altura en pies de un dron en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Un segundo dron sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Encuentre el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre el primer y el segundo dron ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambos drones a la misma altura?
Multiplicar polinomios
Para multiplicar polinomios, usa la propiedad distributiva: cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo. Luego combina términos semejantes. Al multiplicar potencias de $x$, los exponentes se suman: $x \cdot x^2 = x^3$.
Un modelo de área muestra por qué: cada producto es el área de un rectángulo pequeño.
Para un producto de tres polinomios, multiplica dos de ellos primero y luego multiplica ese resultado por el tercero.
Multiplique los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Exprese el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Multiplique los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Exprese el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan…
Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x \text{ cm}$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Encuentre el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja resultante en función de $x$.
El cuadrado de un binomio
Elevar un binomio al cuadrado aparece tanto que conviene reconocer el patrón. Multiplica $(a + b)(a + b)$ y los dos términos del medio, $ab$ y $ba$, suman $2ab$.
El cuadrado de lado $a + b$ se divide en un cuadrado grande, un cuadrado pequeño y dos rectángulos iguales. Mueve los controles y observa.
El cubo de un binomio
Multiplica $(a \pm b)^2$ por un $(a \pm b)$ más y obtienes:
Por ejemplo, $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Dividir entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, divide cada término entre él. Por ejemplo,
$$\frac{12x^2y - 8xy^2}{-4y} = \frac{12x^2y}{-4y} + \frac{-8xy^2}{-4y} = -3x^2 + 2xy.$$Desarrolle las siguientes expresiones aplicando las identidades notables correspondientes: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Desarrolle las siguientes expresiones aplicando las identidades notables correspondientes:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y las identidades notables:…
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y las identidades notables:
$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$
Opere y simplifique la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible: $\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$ A continuación, evalúe el…
Opere y simplifique la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible:
$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$
A continuación, evalúe el polinomio resultante para $x = 2$ e $y = -1$.
Diferencia de cuadrados
Cuando multiplicas una suma por la diferencia correspondiente, los términos del medio se cancelan:
$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$.
Demostrar una identidad
Para demostrar que dos expresiones son iguales para todo $x$, simplifica cada lado y muestra que coinciden. Por ejemplo, $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x$.
La misma idea muestra que tres longitudes $a$, $b$, $c$ forman un triángulo rectángulo: por el recíproco del teorema de Pitágoras, solo necesitas mostrar que $a^2 + b^2 = c^2$. Simplifica el lado izquierdo, simplifica el derecho y compara. Siempre puedes comprobar tu álgebra con un número.
Exprese los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia: a) $16x^2 - 25$ b) $9x^4 - 49$
Exprese los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:
- a) $16x^2 - 25$
- b) $9x^4 - 49$
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opere y simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Demuestre algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo…
Demuestre algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo rectángulo (es decir, cumplen el Teorema de Pitágoras). Compruebe su resultado evaluando los polinomios para $x = 4$.
División larga de polinomios
Dividir polinomios funciona como dividir números enteros. Como $7 \div 2$ da cociente $3$ y residuo $1$, escribimos $7 = 2 \cdot 3 + 1$. Para polinomios:
$$D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$$donde $D$ es el dividendo, $d$ el divisor, $C$ el cociente y $R$ el residuo. El residuo debe tener grado menor que el del divisor (o ser $0$).
Si al dividendo le falta una potencia, escríbela con coeficiente $0$ como marcador de posición, por ejemplo $x^3 - 7x + 6 = x^3 + 0x^2 - 7x + 6$. Cuando el residuo es $0$, la división es exacta: el divisor es un factor y $D(x) = d(x) \cdot C(x)$.
Realice la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indique claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el…
Realice la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indique claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.
Compruebe si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escriba…
Compruebe si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escriba la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.
Determine los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea…
Determine los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea exacta.
División sintética
Cuando el divisor tiene la forma $x - a$, hay un atajo mucho más rápido llamado división sintética (synthetic division). Trabajas solo con los coeficientes. (Algunos problemas la llaman regla de Ruffini; es exactamente el mismo método.)
También puedes ir hacia atrás. Si conoces el divisor, el cociente y el residuo, reconstruye el dividendo con $P(x) = (x - a) \cdot C(x) + R$.
Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escriba el cociente y el resto obtenidos.
Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escriba el cociente y el resto obtenidos.
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruya el polinomio $P(x)$ y…
Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruya el polinomio $P(x)$ y expréselo en su forma desarrollada.
El teorema del residuo
¿Siempre hay que dividir para hallar el residuo? No. Parte de $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$ y sustituye $x = a$: $P(a) = 0 \cdot Q(a) + R = R$.
Con dos coeficientes desconocidos, cada condición da una ecuación y resuelves el sistema.
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utilice el…
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utilice el teorema del resto para justificar su respuesta.
Encuentre los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un…
Encuentre los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.
El teorema del factor y los ceros
Un número $a$ con $P(a) = 0$ es un cero (o raíz) de $P$. Por el teorema del residuo, el residuo al dividir entre $x - a$ es entonces $0$. Eso nos da el teorema del factor.
El polinomio de la primera sección, $x^3 - 4x^2 + x + 6$, tenía $P(-1) = 0$ y $P(2) = 0$. Su gráfica cruza el eje $x$ en esos valores (y en $3$).
Factorizar cuando conoces un cero: divide entre $x - a$ con división sintética y luego factoriza el cociente.
Construir un polinomio a partir de sus ceros: cada cero da un factor, pero también necesitas un número que fije el coeficiente principal.
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentre…
Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentre la expresión desarrollada de $P(x)$ (es decir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).
Geometría con polinomios
Longitudes como $x + 3$ o $2x - 1$ convierten áreas y volúmenes en polinomios. Escribe la fórmula con las longitudes dadas, multiplica y combina términos semejantes.
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ pies de largo y $(2x - 5)$ pies de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado…
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ pies de largo y $(2x - 5)$ pies de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ pies, y el resto se cubrirá de césped. Exprese el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$.…
Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$. Exprese el área total y el perímetro exterior de la pista como polinomios dependientes de $x$ (deje el número $\pi$ indicado en los coeficientes).
Un tanque de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ pies y una altura de $(2x - 1)$ pies. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista…
Un tanque de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ pies y una altura de $(2x - 1)$ pies. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista $x$ pies. Exprese mediante un polinomio ordenado el volumen de agua necesario para llenar el espacio libre del tanque. Deje la constante $\pi$ indicada en los coeficientes que la requieran.
Ganancias y otras aplicaciones
En los negocios, el ingreso es la cantidad por el precio, y la ganancia es el ingreso menos el costo. Cada uno es un polinomio, así que la ganancia también lo es.
Ahora cerremos la pregunta del principio de la página. El club de robótica tiene costo $C(x) = 15x + 300$ y precio $p(x) = 50 - 0.5x$ por sudadera.
Volvamos al inicio: el club queda a mano con $10$ sudaderas. Tiene ganancia entre $10$ y $60$ sudaderas, y con $60$ sudaderas el precio bajo se come otra vez toda la ganancia.
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende…
El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.
Halle el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costos totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el…
Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación.
Encuentre el polinomio de beneficio $B(x)$. Sabiendo que en el mes $x = 10$ el beneficio es exactamente cero (punto de equilibrio), factorice el polinomio $B(x)$ para determinar en qué otro mes el beneficio vuelve a ser cero.