Funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos
Sofia lanza un cohete de agua en la feria de ciencias. Sube disparado, se detiene por un instante en el punto más alto y luego cae. Marcus camina por una cresta en el Parque Nacional de las Montañas Rocosas, baja a un valle y vuelve a subir. En ambas historias la pregunta interesante no es solo "¿cuál es el valor?", sino "¿cómo está cambiando?". ¿Cuándo sube la función, cuándo baja y en qué punto exacto da la vuelta? Esta página te da las herramientas para responder las tres preguntas.
Crecientes, decrecientes y constantes
Recorre una gráfica de izquierda a derecha. Si vas subiendo, la función es creciente. Si vas cuesta abajo, es decreciente. Si el camino es plano, es constante.
Los intervalos se escriben con valores de $x$. Un paréntesis significa que el extremo no se incluye, un corchete significa que sí se incluye, y $\infty$ siempre lleva paréntesis. Por ejemplo, $(-\infty, -2)$ significa "todos los números menores que $-2$". En un punto de giro puedes usar paréntesis o corchetes, porque la función es continua ahí. Tanto $(-1, 3)$ como $[-1, 3]$ se aceptan para un tramo decreciente que empieza y termina en puntos de giro.
Recorre con la vista la curva de arriba, de izquierda a derecha. ¿Dónde sube? ¿Dónde baja? ¿Dónde da la vuelta?
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina los intervalos donde la función es strictly creciente y donde es estrictamente decreciente.
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina los intervalos donde la función es strictly creciente y donde es estrictamente decreciente.
La temperatura de un horno industrial arranca a $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante los primeros $15$ minutos sube uniformemente hasta alcanzar los $220 \ ^\circ\text{C}$. Se…
La temperatura de un horno industrial arranca a $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante los primeros $15$ minutos sube uniformemente hasta alcanzar los $220 \ ^\circ\text{C}$. Se mantiene a esa temperatura constante durante $45$ minutos para hornear unas piezas, y luego se apaga, descendiendo la temperatura uniformemente hasta los $20 \ ^\circ\text{C}$ a lo largo de $30$ minutos. Indica los intervalos de tiempo de crecimiento, decrecimiento y constancia de la temperatura, así como el valor máximo absoluto alcanzado por la función.
La gráfica adjunta representa la velocidad $v$ (en mph) de un vehículo a lo largo de un trayecto en función del tiempo $t$ (en minutos). Indica los intervalos de tiempo…
La gráfica adjunta representa la velocidad $v$ (en mph) de un vehículo a lo largo de un trayecto en función del tiempo $t$ (en minutos). Indica los intervalos de tiempo en los que el vehículo acelera (velocidad creciente), frena (velocidad decreciente) o mantiene una velocidad constante. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada en el trayecto y durante cuánto tiempo se mantiene?
Máximos y mínimos relativos
Donde la gráfica pasa de subir a bajar, forma una cima. Donde pasa de bajar a subir, forma un valle. Estos puntos de giro son los extremos relativos.
Informa siempre un extremo como un punto. La coordenada $x$ te dice dónde ocurre. La coordenada $y$ te dice qué tan alto o bajo es.
Observa la gráfica de la función $g(x)$ y escribe las coordenadas exactas de los puntos marcados como A, B y C. Indica para cada uno de ellos si se trata de un máximo o…
Observa la gráfica de la función $g(x)$ y escribe las coordenadas exactas de los puntos marcados como A, B y C. Indica para cada uno de ellos si se trata de un máximo o un mínimo relativo. ¿Hay algún extremo que sea también absoluto en el dominio representado?
Dibuja en tu cuaderno una gráfica continua cuyo dominio sea todo $\mathbb{R}$, que sea estrictamente creciente en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(3, +\infty)$, y…
Dibuja en tu cuaderno una gráfica continua cuyo dominio sea todo $\mathbb{R}$, que sea estrictamente creciente en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(3, +\infty)$, y estrictamente decreciente en el intervalo $(-2, 3)$. Según tu dibujo, ¿qué tipo de extremos relativos (máximo o mínimo) habrá en las abscisas $x = -2$ y $x = 3$?
La siguiente gráfica muestra los beneficios mensuales $B(t)$ (en miles de dólares) de una empresa tecnológica durante su primer año de existencia ($t$ en meses, desde…
La siguiente gráfica muestra los beneficios mensuales $B(t)$ (en miles de dólares) de una empresa tecnológica durante su primer año de existencia ($t$ en meses, desde $t=0$ hasta $t=12$). Identifica los intervalos en los que los beneficios de la empresa crecen y decrecen. ¿En qué meses se alcanzan los beneficios máximos y mínimos relativos?
Máximos y mínimos absolutos
Para hallar los extremos absolutos en un dominio cerrado, haz una lista de todos los candidatos: todos los extremos relativos y los dos extremos del dominio. Luego compara sus valores de $y$.
Representa en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones: Su dominio es el intervalo $[-5, 6]$. Su…
Representa en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:
-
Su dominio es el intervalo $[-5, 6]$.
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Su recorrido es el intervalo $[-2, 5]$.
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Es estrictamente creciente en $[-5, -1] \cup [3, 6]$ y estrictamente decreciente en $[-1, 3]$.
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Pasa por los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$.
¿Qué representan matemáticamente los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$ en la gráfica de esta función?
Razón de cambio promedio
Al ir de un punto a otro, ¿qué tan rápido cambió la salida en promedio? Esa es la razón de cambio promedio.
Geométricamente, la RCP es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$. En una función lineal, la RCP es la misma en todos los intervalos: es la pendiente.
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función afín $f(x) = 4x - 7$ en el intervalo $[-2, 3]$. A partir del resultado obtenido, ¿qué puedes afirmar sobre el…
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función afín $f(x) = 4x - 7$ en el intervalo $[-2, 3]$. A partir del resultado obtenido, ¿qué puedes afirmar sobre el crecimiento de la función en dicho intervalo?
La siguiente tabla de valores muestra la altitud $h$ (en pies) de un dron en función del tiempo $t$ (en segundos) desde que inicia su vuelo. | $t$ (s) | $0$ | $2$ | $4$…
La siguiente tabla de valores muestra la altitud $h$ (en pies) de un dron en función del tiempo $t$ (en segundos) desde que inicia su vuelo.
| $t$ (s) | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h$ (pies) | $15$ | $28$ | $45$ | $60$ | $72$ |
Calcula la TVM en los intervalos $[0, 2]$ y $[4, 6]$. Basándote en estos resultados, ¿la función altitud es creciente o decreciente en esos tramos?
Qué te dice el signo de la RCP
El tamaño de la RCP también importa. Un número mayor significa que la función cambió más rápido por cada unidad de $x$.
Un atajo con simetría
Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje $y$, es decir, $f(-a) = f(a)$. Entonces en $[-a, a]$
$$\text{RCP} = \frac{f(a) - f(-a)}{a - (-a)} = \frac{0}{2a} = 0.$$Así, en una función par la RCP en cualquier intervalo centrado en $0$ es cero. Es una forma rápida de responder preguntas sobre intervalos simétricos.
Considera la función $f(x) = x^2 - 9$. Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[-4, -1]$ y en el intervalo $[1, 4]$. Relaciona el signo de cada resultado con…
Considera la función $f(x) = x^2 - 9$. Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[-4, -1]$ y en el intervalo $[1, 4]$. Relaciona el signo de cada resultado con el comportamiento (creciente o decreciente) de la función en esos dos tramos.
Un excursionista registra la altitud $h$ a la que se encuentra en diferentes momentos $t$ de su ruta por la montaña: | $t$ (horas) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |…
Un excursionista registra la altitud $h$ a la que se encuentra en diferentes momentos $t$ de su ruta por la montaña:
| $t$ (horas) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $h$ (pies) | $800$ | $1200$ | $1500$ | $1400$ | $1100$ | $1300$ |
Calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$, $[2, 4]$ y $[4, 5]$. A partir de los signos de estos resultados, deduce en qué momento aproximado el excursionista alcanzó la cima de la primera montaña que subió y cuándo terminó de descender al valle antes de volver a subir.
La siguiente gráfica corresponde a una función polinómica de grado 4, $f(x)$, que presenta una forma de "W". A partir de la observación de la gráfica, estima las…
La siguiente gráfica corresponde a una función polinómica de grado 4, $f(x)$, que presenta una forma de "W". A partir de la observación de la gráfica, estima las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos). A continuación, sabiendo que la función es perfectamente simétrica respecto al eje Y (es una función par), razona y demuestra si la Tasa de Variación Media en el intervalo simétrico $[-3, 3]$ será positiva, negativa o nula.
Demostrar crecimiento o decrecimiento con una fórmula
Si usas $x_1$ y $x_2$ en lugar de números concretos, la RCP se convierte en una fórmula que funciona en todos los intervalos. Si puedes mostrar que siempre es positiva en un intervalo $I$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $I$. Si siempre es negativa, $f$ es estrictamente decreciente en $I$.
El álgebra suele consistir en factorizar o combinar fracciones para que el factor $x_2 - x_1$ se cancele.
Cuando un problema te da una cantidad al cuadrado, como la distancia al cuadrado $D$, recuerda que para números positivos un cuadrado mayor significa un número mayor. Así que si la distancia al cuadrado es creciente, la distancia también lo es.
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 6]$. Comprueba que, aunque los…
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 6]$. Comprueba que, aunque los valores numéricos de la TVM son diferentes en cada intervalo, ambos resultados justifican el comportamiento decreciente de la función en el intervalo $(0, +\infty)$.
Dada la función racional con un parámetro desconocido $f(x) = \frac{k}{x+2}$, halla el valor exacto de $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el…
Dada la función racional con un parámetro desconocido $f(x) = \frac{k}{x+2}$, halla el valor exacto de $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[0, 2]$ es igual a $-1$. Una vez hallado el valor de $k$, justifica algebraicamente si la función es creciente o decreciente en todo el intervalo $(-2, +\infty)$.
Dos barcos de rescate parten del mismo punto en alta mar al mismo tiempo. El barco A viaja en línea recta hacia el Norte a una velocidad constante de $20$ mph, y el…
Dos barcos de rescate parten del mismo punto en alta mar al mismo tiempo. El barco A viaja en línea recta hacia el Norte a una velocidad constante de $20$ mph, y el barco B viaja hacia el Este a una velocidad constante de $15$ mph. La distancia al cuadrado entre ambos barcos en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la función $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Demuestra algebraicamente que la distancia real entre ellos es una función estrictamente creciente para cualquier tiempo $t > 0$ calculando la Tasa de Variación Media genérica en un intervalo $[t_1, t_2]$ (con $0 < t_1 < t_2$).
El vértice de una parábola
Una parábola tiene exactamente un punto de giro: su vértice. Por eso, en una función cuadrática el vértice es el extremo relativo, y también es absoluto cuando el dominio son todos los números reales.
Mueve los controles deslizantes de abajo. Observa que el signo de $a$ decide si el vértice es una cima o un valle.
Dada la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, sin necesidad de representarla gráficamente ni calcular sus coordenadas, si el vértice de la parábola…
Dada la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, sin necesidad de representarla gráficamente ni calcular sus coordenadas, si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. Justifica tu respuesta fijándote en el signo de los coeficientes de la función.
La altura $h$ (en pies) que alcanza un cohete de feria en función del tiempo $t$ (en segundos) desde su lanzamiento viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$.…
La altura $h$ (en pies) que alcanza un cohete de feria en función del tiempo $t$ (en segundos) desde su lanzamiento viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcula en qué instante de tiempo el cohete alcanza su altura máxima y cuál es el valor exacto de dicha altura.
El número de individuos $N$ de una población de insectos en un experimento de laboratorio varía en función de los días $t$ transcurridos según el modelo cuadrático…
El número de individuos $N$ de una población de insectos en un experimento de laboratorio varía en función de los días $t$ transcurridos según el modelo cuadrático $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, válido para $t \ge 0$. Determina en qué día la población de insectos alcanza su valor mínimo y cuántos individuos conforman la población en ese momento exacto.
Optimización con funciones cuadráticas
Muchos problemas reales preguntan "¿cuál es lo máximo (o lo mínimo) posible?". La receta siempre es la misma: escribe la cantidad como una función cuadrática de una variable y luego halla el vértice.
A veces te dan el vértice y debes hallar los parámetros de la función. Convierte cada dato en una ecuación y luego resuelve el sistema por sustitución.
Se dispone de $60$ pies de valla metálica para cercar un huerto rectangular aprovechando la pared recta de un granero, por lo que solo es necesario vallar tres de sus…
Se dispone de $60$ pies de valla metálica para cercar un huerto rectangular aprovechando la pared recta de un granero, por lo que solo es necesario vallar tres de sus lados. Si llamamos $x$ a la longitud de los dos lados perpendiculares a la pared del granero, encuentra la función cuadrática $A(x)$ que expresa el área del huerto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones exactas del huerto para que su área sea la máxima posible?
El beneficio $B(x)$, en dólares, que obtiene una fábrica por la venta de $x$ unidades de un producto exclusivo viene dado por la función cuadrática con parámetros…
El beneficio $B(x)$, en dólares, que obtiene una fábrica por la venta de $x$ unidades de un producto exclusivo viene dado por la función cuadrática con parámetros $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Se sabe mediante un estudio de mercado que el beneficio máximo se alcanza al vender exactamente $40$ unidades y que dicho beneficio máximo es de $\$1100$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$.
El consumo de energía $C(v)$ (en kWh por cada 100 millas) de un nuevo vehículo eléctrico en función de su velocidad constante $v$ (en mph) se puede modelar de forma…
El consumo de energía $C(v)$ (en kWh por cada 100 millas) de un nuevo vehículo eléctrico en función de su velocidad constante $v$ (en mph) se puede modelar de forma aproximada mediante la expresión cuadrática $C(v) = 0.02v^2 - 1.6v + 45$, válida para velocidades en el rango de $20$ a $100$ mph. ¿A qué velocidad exacta debe circular el vehículo para que el consumo de energía sea el mínimo posible? ¿Cuál es ese consumo mínimo?
Funciones definidas por partes y de valor absoluto
En una función definida por partes, estudia cada parte en su propio intervalo. Luego mira los puntos donde las partes se unen. Puede aparecer un extremo relativo en una unión aunque ninguna de las partes tenga un vértice ahí.
Una función de valor absoluto es una función por partes disfrazada. Encuentra dónde la expresión interior es negativa. Ahí, $|g(x)| = -g(x)$, y la gráfica se refleja por encima del eje $x$. Donde el interior es positivo o cero, $|g(x)| = g(x)$.
Considera la función $f(x)$ definida a trozos de la siguiente manera: $f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$…
Considera la función $f(x)$ definida a trozos de la siguiente manera:
$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Halla las coordenadas del vértice del tramo parabólico y determina si la función presenta algún mínimo relativo o absoluto en todo su dominio.
Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabiendo que la parábola interior $y = x^2 - 6x + 5$ corta al eje de abscisas en $x=1$…
Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabiendo que la parábola interior $y = x^2 - 6x + 5$ corta al eje de abscisas en $x=1$ y $x=5$, expresa $f(x)$ como una función definida a trozos sin usar el símbolo de valor absoluto. A continuación, halla las coordenadas de los tres extremos relativos de $f(x)$ e indica sus intervalos de monotonía.
Cómo leer la gráfica de una razón de cambio
La RCP compara dos puntos. Si dejas que los dos puntos se acerquen cada vez más, obtienes la razón de cambio instantánea de $f$ en un solo valor de $x$. Mide qué tan empinada es la gráfica justo en ese punto.
A veces un problema te da la gráfica de esta razón, no la de $f$. Entonces la gráfica de la razón te dice todo sobre la dirección de $f$:
La gráfica adjunta no representa una función $f(x)$ normal, sino que representa el valor de su Tasa de Variación Instantánea (o ritmo de crecimiento) en cada punto $x$.…
La gráfica adjunta no representa una función $f(x)$ normal, sino que representa el valor de su Tasa de Variación Instantánea (o ritmo de crecimiento) en cada punto $x$. Es decir, si la gráfica mostrada está por encima del eje X, la función original $f(x)$ crece; si está por debajo, decrece. A partir de esta gráfica, deduzca en qué intervalos la función original $f(x)$ es creciente y decreciente. ¿En qué valor exacto de $x$ alcanzará $f(x)$ un extremo relativo? Justifique si se trata de un máximo o de un mínimo.
De vuelta al inicio: el cohete de Sofia alcanza su altura máxima en el vértice de su parábola, donde deja de subir y empieza a caer. Marcus llega a una cumbre (un máximo relativo) cuando su altitud pasa de creciente a decreciente. Llega al fondo del valle (un mínimo relativo) cuando pasa de decreciente a creciente. En puntos de giro suaves como estos, la razón de cambio es cero.