Razón de cambio promedio y cambio porcentual
Emma tiene un canal de videos cortos. En enero tenía 1,000 seguidores. En marzo ya tenía 1,400. ¿Creció rápido? Podrías decir: "200 seguidores nuevos al mes, en promedio". También podrías decir: "40% más seguidores". Las dos frases son ciertas y responden preguntas distintas. En esta sección aprenderás a calcular ambas y a decidir cuál conviene en cada situación.
Cambio neto y razón de cambio promedio
Cuando una cantidad cambia, hay dos preguntas naturales. ¿Cuánto cambió en total? ¿Qué tan rápido cambió, en promedio?
¿Por qué dividir entre $b - a$? El cambio neto es el total. Al dividir entre la longitud del intervalo, ese total se reparte por igual entre cada unidad de $x$, como cuando calculas millas por hora a partir de millas y horas.
Dada la función lineal $f(x) = 3x - 5$, calcule la tasa de variación (TV) en el intervalo $[2, 5]$.
Dada la función lineal $f(x) = 3x - 5$, calcule la tasa de variación (TV) en el intervalo $[2, 5]$.
Calcule la tasa de variación media (TVM) de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$ en el intervalo $[1, 4]$.
Calcule la tasa de variación media (TVM) de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$ en el intervalo $[1, 4]$.
Dada la función $f(x) = 2x^2 + 1$, halle la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[-1, 2]$.
Dada la función $f(x) = 2x^2 + 1$, halle la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[-1, 2]$.
A partir de tablas y gráficas: la recta secante
No siempre te dan una fórmula. Muchas veces te dan una tabla o una gráfica. El procedimiento es el mismo: halla $f(a)$ y $f(b)$, y luego calcula $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Con una gráfica, lee los valores de $y$ en los dos extremos del intervalo. Elige puntos que estén exactamente en intersecciones de la cuadrícula para que tus lecturas sean precisas. Une los dos puntos con una recta, llamada recta secante (secant line). Fíjate en cuál es su pendiente: elevación sobre recorrido, $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
A partir de la siguiente tabla de valores, que muestra la distancia $d$ (en millas) recorrida por un ciclista en función del tiempo $t$ (en horas), calcule la velocidad…
A partir de la siguiente tabla de valores, que muestra la distancia $d$ (en millas) recorrida por un ciclista en función del tiempo $t$ (en horas), calcule la velocidad media (que equivale a la tasa de variación media) entre $t = 1$ y $t = 3$ horas.
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$t$ (h): $0, 1, 2, 3, 4$
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$d$ (millas): $0, 15, 32, 45, 60$
El siguiente gráfico muestra los ingresos mensuales de una tienda en línea (en miles de dólares) durante los primeros 6 meses del año. Calcule y compare la tasa de…
El siguiente gráfico muestra los ingresos mensuales de una tienda en línea (en miles de dólares) durante los primeros 6 meses del año. Calcule y compare la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[4, 6]$.
Observe la gráfica que representa la evolución del número de infectados durante una epidemia (en miles de personas) a lo largo de 8 semanas. Identifique visualmente y…
Observe la gráfica que representa la evolución del número de infectados durante una epidemia (en miles de personas) a lo largo de 8 semanas. Identifique visualmente y luego calcule de forma exacta la tasa de variación media en el intervalo de dos semanas consecutivas donde dicha tasa alcanza su valor máximo.
Interpretar el signo y comparar razones
Un número solo no es una respuesta. En un problema de palabras, di qué significa, con sus unidades.
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Una razón positiva significa que la cantidad aumentó en promedio.
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Una razón negativa significa que disminuyó en promedio.
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Una razón de cero significa que la cantidad terminó donde empezó.
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Las unidades son "unidades de $y$ por unidad de $x$": dólares por mes, pies por segundo, grados por hora.
Para comparar qué tan rápido ocurren dos cambios, compara sus valores absolutos. El signo solo indica la dirección.
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = -2t^2 + 12t + 20$. Calcule la…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = -2t^2 + 12t + 20$. Calcule la tasa de variación media de la temperatura en el intervalo $[1, 4]$ e interprete el significado del resultado en el contexto del problema.
Las ganancias de una empresa constructora (en miles de dólares) se modelan con la función $G(x) = -x^2 + 10x - 9$, donde $x$ es el mes del año. Calcule la tasa de…
Las ganancias de una empresa constructora (en miles de dólares) se modelan con la función $G(x) = -x^2 + 10x - 9$, donde $x$ es el mes del año. Calcule la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y en el intervalo $[6, 8]$. ¿Qué indican los signos obtenidos en cada caso sobre la marcha de la empresa?
Cambio porcentual
Volvamos al canal de Emma. Pasar de 1,000 a 1,400 seguidores es un cambio neto de $400$. ¿Es mucho? Depende de dónde empezaste. Ganar 400 seguidores es enorme para un canal nuevo y diminuto para uno con un millón. Para comparar el cambio con el valor inicial, usa el cambio porcentual (percent change).
¿Por qué dividir entre $f(a)$? Un porcentaje siempre mide "respecto a la cantidad inicial". Pasar de 80 a 100 es $\dfrac{20}{80} = 25\%$ más de lo que tenías al principio.
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses…
El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses transcurridos ($t=0$ es el inicio de junio, $t=1$ es el inicio de julio, etc.). Calcule la tasa de variación media entre el inicio de junio y el inicio de agosto ($t=2$) y la tasa de crecimiento porcentual en ese mismo periodo.
El costo total de producción de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 200$. Si el volumen de producción en la fábrica pasa de $40$…
El costo total de producción de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 200$. Si el volumen de producción en la fábrica pasa de $40$ a $60$ unidades, calcule el incremento del costo total (TV), el costo medio por cada unidad adicional producida (TVM) y la tasa de crecimiento porcentual del costo total en dicho intervalo.
Funciones exponenciales: cambio porcentual constante
Observa $f(x) = 2^x$. Sus valores se duplican cada vez que $x$ aumenta 1.
Cada paso es un aumento de 100%, pero el cambio neto crece: $+2$, luego $+4$, luego $+8$. La razón de cambio promedio sigue aumentando, mientras que el cambio porcentual se mantiene igual. Esa es la señal distintiva de una función exponencial.
Para intervalos más largos, calcula directamente con los valores. Dos aumentos de 5% no son un aumento de 10%, como muestra el siguiente ejemplo.
Prueba con $b < 1$ en los deslizadores. La curva baja y cada paso es una disminución porcentual constante.
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo viene dado por la función $P(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. Calcule la tasa de crecimiento…
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo viene dado por la función $P(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. Calcule la tasa de crecimiento porcentual de la población en el intervalo de tiempo $[0, 2]$.
El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en dólares.…
El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en dólares. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explique el significado práctico de su signo.
Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos,…
Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos, demuestre algebraicamente que para cualquier intervalo de la forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$), la tasa de crecimiento porcentual de esta función es siempre constante.
Funciones lineales: razón de cambio constante
Para una función lineal $f(x) = mx + b$, la razón de cambio promedio es la misma en todos los intervalos y es igual a la pendiente $m$.
El cambio porcentual de una función lineal, en cambio, no es constante. Depende del valor inicial.
Esto te da una forma de distinguir los dos tipos de crecimiento. Una función lineal tiene razón de cambio promedio constante. Una función exponencial tiene cambio porcentual constante en intervalos de igual longitud.
El precio de un producto tecnológico era de $\$800$ en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $\$640$. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcule…
El precio de un producto tecnológico era de $\$800$ en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $\$640$. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcule la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.
Demuestre algebraicamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo cualquiera $[a, b]$ (con $a \neq b$) es siempre…
Demuestre algebraicamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo cualquiera $[a, b]$ (con $a \neq b$) es siempre constante e igual a su pendiente $m$.
Una empresa de mercadotecnia analiza el rendimiento de dos campañas publicitarias. La campaña A genera visitas a un sitio web según el modelo lineal…
Una empresa de mercadotecnia analiza el rendimiento de dos campañas publicitarias. La campaña A genera visitas a un sitio web según el modelo lineal $V_A(t) = 100t + 500$, y la campaña B según el modelo exponencial $V_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (donde $t$ se mide en días). Calcule la tasa de crecimiento porcentual de ambas campañas en el intervalo $[2, 4]$ y determine cuál experimenta un crecimiento relativo mayor en ese periodo.
Hallar incógnitas
Algunos problemas te dan una razón y piden un número desconocido. Escribe la razón de cambio promedio como una expresión, iguálala a la razón dada y resuelve.
Sabiendo que la tasa de variación media de la función $f(x) = ax^2 - 3x$ en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $5$, determine el valor numérico del parámetro $a$.
Sabiendo que la tasa de variación media de la función $f(x) = ax^2 - 3x$ en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $5$, determine el valor numérico del parámetro $a$.
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en pies y $t$ en segundos). Encuentre el instante exacto de tiempo $t > 1$ para…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en pies y $t$ en segundos). Encuentre el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ pies/s.
Determine el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del…
Determine el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del $-60\%$. ¿Depende el resultado final del valor inicial de $k$? Razone su respuesta algebraicamente.
De vuelta al inicio: el canal de Emma creció $\dfrac{1400 - 1000}{2} = 200$ seguidores por mes en promedio, que es la razón de cambio promedio. También creció $\dfrac{400}{1000} = 40\%$, que es el cambio porcentual. La primera te dice qué tan rápido, el segundo te dice cuánto en comparación con el punto de partida.