Funciones definidas por partes
Una tienda en línea envía los pedidos por $\$5$ si el total es menor que $\$50$, y gratis si el total es $\$50$ o más. ¿Puede una sola fórmula describir el costo de envío? ¿Qué pasa con el costo exactamente en $\$50$? Muchas situaciones reales, como cargos, impuestos y velocidades, cambian su regla en cierto punto. Las funciones que funcionan así se llaman funciones definidas por partes (piecewise functions).
¿Qué es una función definida por partes?
Cada regla solo funciona dentro de su propio intervalo. Los intervalos deben cubrir el dominio sin traslaparse, de modo que cada $x$ pertenezca a exactamente una parte. Un punto sólido significa que el punto es parte de la gráfica. Un círculo abierto significa que no lo es.
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida por partes: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos…
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida por partes: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200 °F. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20 °F) de forma constante en 30 minutos."
Escribe los intervalos de tiempo que definirían las tres secciones de la función temperatura $T(t)$.
Evaluar una función definida por partes
Para hallar $f(a)$, siempre haz dos pasos en este orden. Primero, decide qué intervalo contiene a $a$. Luego sustituye $a$ solo en la regla de esa parte.
Dada la siguiente función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ Calcula el valor de la función en…
Dada la siguiente función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Graficar una función definida por partes
Grafica cada parte solo en su propio intervalo y luego fíjate en los extremos.
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Haz una tabla pequeña para cada parte, usando valores de $x$ de su intervalo y el punto de cambio.
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Dibuja cada parte con regla o con una curva suave, deteniéndote en los puntos de cambio.
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En cada extremo, usa un punto sólido si la desigualdad lo incluye ($\le$ o $\ge$) y un círculo abierto si no lo incluye ($<$ o $>$).
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Leer una gráfica: dominio, rango y la regla
El dominio es todo valor de $x$ donde existe la gráfica, y el rango es todo valor de $y$ que la gráfica alcanza. Lee los extremos con cuidado: un círculo abierto no se incluye y un punto sólido sí.
Para escribir la regla a partir de una gráfica:
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Divide la gráfica en los puntos de cambio. Cada parte es una semirrecta o un segmento, un arco de parábola o una recta horizontal.
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Halla la ecuación de cada parte. Para una recta, usa dos puntos para obtener la pendiente $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y luego $y = mx + b$. Para una recta horizontal, $y = c$. Para un arco de parábola, lee el vértice $(h, k)$ y usa $y = a(x - h)^2 + k$, hallando $a$ con otro punto.
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Escribe cada intervalo con las coordenadas $x$ de los extremos, usando los puntos sólidos y los círculos abiertos para elegir $<$ o $\le$.
Algunos problemas piden la ecuación de una gráfica formada por semirrectas, escrita como una regla por partes con sus intervalos. Eso es exactamente lo que hacen los tres pasos anteriores.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
Continuidad en un punto de cambio
Una gráfica es continua si puedes dibujarla sin levantar el lápiz. En una función definida por partes formada por rectas y parábolas, cada parte ya es suave, así que los únicos lugares que debes revisar son los puntos de cambio.
Si un problema tiene dos incógnitas, como $a$ y $b$, necesitas dos ecuaciones. Una viene de la continuidad en un punto de cambio y la otra de un punto por el que debe pasar la gráfica. Sustituye el punto en la parte correcta y luego resuelve el sistema por sustitución o eliminación. Después de hallar los valores, revisa también los otros puntos de cambio.
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:…
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:
$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida por partes sea continua en todo su dominio:…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida por partes sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.
Saltos, huecos y máximos y mínimos relativos
Hay distintas maneras en que una gráfica puede dejar de ser continua en un punto.
| Tipo | Lo que ves |
|---|---|
| Salto | Los dos lados se detienen a alturas distintas. |
| Hueco (removible) | Ambos lados se dirigen a la misma altura, pero falta el punto ahí, o el punto sólido está a otra altura. |
| Infinita | La gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo a lo largo de una asíntota vertical, como $y = \dfrac{1}{x}$ en $x = 0$. |
Un máximo relativo es un punto más alto que todos los puntos cercanos a ambos lados. Un mínimo relativo es más bajo que todos los puntos cercanos. En un punto de cambio, compara el valor $f(p)$ con los valores justo a la izquierda y justo a la derecha.
Dada la función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$ Represéntala gráficamente y determina sus…
Dada la función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$
Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las…
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.
El valor absoluto como función definida por partes
Por ejemplo, para $|2x + 6|$, lo de adentro es $0$ en $x = -3$. Para $x \ge -3$, $|2x + 6| = 2x + 6$. Para $x < -3$, $|2x + 6| = -(2x + 6)$.
Con dos valores absolutos, marca ambos puntos de cambio en una recta numérica. Dividen la recta en tres intervalos, y simplificas en cada uno.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida por partes.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida por partes.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida por partes sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida por partes sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida por partes, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada una de las…
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida por partes, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada una de las secciones resultantes.
Modelar cargos y tarifas
Las funciones definidas por partes son un modelo natural para cualquier precio que cambia después de un umbral. Para escribir el modelo:
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Encuentra los umbrales. Son tus puntos de cambio.
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Escribe la regla de la primera parte.
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En cada umbral, calcula la cantidad que ya se acumuló y luego suma la nueva tarifa por la cantidad adicional.
Cuando la primera parte es un cargo fijo (como "$\$2$ por la primera hora o fracción"), esa parte es una constante, un segmento horizontal. El dominio de la situación real, como $x > 0$ para el tiempo, te indica dónde empieza la primera parte.
Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $\$2$ por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $\$1.50$ por cada hora…
Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $\$2$ por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $\$1.50$ por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estancia. Escribe la función definida por partes $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el carro permanece en el estacionamiento.
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $\$15$ que incluye los primeros $5…
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $\$15$ que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $\$2$.
Escribe la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8.5$ GB.
La factura de electricidad de una vivienda tiene un término fijo de $\$10$ mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $\$0.12$/kWh. Si se superan…
La factura de electricidad de una vivienda tiene un término fijo de $\$10$ mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $\$0.12$/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $\$0.15$/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.
Niveles que se acumulan: impuestos, movimiento y llenado
La misma idea funciona cuando la "tarifa" es un porcentaje de impuesto o la pendiente de una gráfica. En todos los casos, cada nueva parte empieza donde terminó la anterior.
Para hallar cuándo una cantidad llega a un valor objetivo, encuentra la parte cuyas alturas incluyen el objetivo y luego resuelve la ecuación en esa parte. La respuesta debe estar en el intervalo de esa parte.
Llenar hasta una capacidad
Un recipiente no puede contener más que su capacidad. Cuando se llena, el volumen deja de crecer y se queda en la capacidad (o el modelo simplemente termina). Así que el modelo completo tiene una parte más: una constante en la capacidad. Para hallar cuándo se llena, iguala la regla del nivel a la capacidad, resuelve para el tiempo y verifica que ese tiempo esté en la parte que usaste.
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $\$10\,000$ de ingresos no se pagan impuestos ($0…
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $\$10\,000$ de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $\$10\,000$ y hasta $\$20\,000$, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $\$20\,000$, se paga un $20$%.
Escribe la función definida por partes $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.
Un tren urbano arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ pies/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero…
Un tren urbano arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ pies/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función por partes $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.
Un tanque de agua de $6000$ galones de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ galones por minuto.…
Un tanque de agua de $6000$ galones de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ galones por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ galones por minuto. Escribe la función por partes $V(t)$ que representa el volumen de agua en el tanque en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el tanque por completo.
Ingreso máximo y parábolas desconocidas
Cuando una parte es cuadrática, su punto más alto o más bajo está en el vértice, con $x = -\dfrac{b}{2a}$. Pero en una función definida por partes el vértice solo cuenta si está dentro del intervalo de esa parte. Si no, revisa los extremos del intervalo.
Cuando un problema dice que una parábola $h(t) = at^2 + bt + c$ tiene coeficientes desconocidos, cuenta los datos que conoces. Cada dato es una ecuación, y con tres incógnitas necesitas tres datos. Los datos habituales son:
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la parábola pasa por un punto dado,
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la parábola se une con la parte anterior en el punto de cambio (continuidad),
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la parábola tiene un cero, como "toca el suelo en $t = 50$".
También hay un dato fácil de pasar por alto. Si una parábola toma el relevo de una recta y nada hace que el movimiento cambie bruscamente, la parábola toca la recta sin cruzarla en el punto de cambio $t_0$. Entonces (parábola) $-$ (recta) es una cuadrática con un cero doble en $t_0$, así que se factoriza como $a(t - t_0)^2$. Esto da un atajo: $$\text{parábola} = \text{recta} + a(t - t_0)^2$$ Esta forma ya garantiza la continuidad en $t_0$, y solo falta hallar $a$.
El cero $t = 2$ está fuera de la parte ($t > 10$), así que no importa físicamente. Solo sirve para ubicar el eje de simetría.
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $\$10$ si asisten hasta un máximo de $50…
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $\$10$ si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $\$0.10$.
Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función por partes) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en pies se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se…
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en pies se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.
Área e intersecciones
Área bajo una gráfica definida por partes
Para hallar el área entre una gráfica y el eje $x$, divídela en figuras que conoces: rectángulos ($bh$), triángulos ($\tfrac{1}{2}bh$) y trapecios.
Intersecciones con una recta
Para hallar dónde una gráfica definida por partes se cruza con otra gráfica, iguala por separado cada parte con la otra función. Conserva solo las soluciones que estén dentro del intervalo de esa parte.
Dada la función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$ Calcula el valor del parámetro $k$…
Dada la función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida por partes…
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida por partes $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.
Volvamos a la tienda: el costo de envío es $$S(x) = \begin{cases} 5 & \text{si } 0 < x < 50 \\ 0 & \text{si } x \ge 50 \end{cases}$$ En $x = 50$ la parte izquierda dice $5$ y la parte derecha dice $0$. No se unen, así que la gráfica tiene un salto, y un pedido de exactamente $\$50$ se envía gratis.