Desigualdades
En un parque de diversiones, el letrero de la montaña rusa dice: Debes medir al menos 48 pulgadas para subir. ¿Qué estaturas te dejan subir? No es un solo número, sino todo un rango. Una ecuación pregunta "¿qué valor?". Una desigualdad (también llamada inecuación) pregunta "¿qué valores?". En esta página aprenderás a describir esos rangos, a resolver los tipos más comunes de desigualdades y hasta a dibujar la respuesta cuando hay dos variables.
Intervalos y la recta numérica
Un círculo cerrado significa que el extremo sí está incluido ($\le$, $\ge$). Un círculo abierto significa que no lo está ($<$, $>$).
| Desigualdad | Intervalo | Gráfica |
|---|---|---|
| $x > a$ | $(a, \infty)$ | círculo abierto en $a$, sombrea a la derecha |
| $x \ge a$ | $[a, \infty)$ | círculo cerrado en $a$, sombrea a la derecha |
| $x < a$ | $(-\infty, a)$ | círculo abierto en $a$, sombrea a la izquierda |
| $x \le a$ | $(-\infty, a]$ | círculo cerrado en $a$, sombrea a la izquierda |
| $a \le x < b$ | $[a, b)$ | cerrado en $a$, abierto en $b$, sombrea en medio |
Usa $\cup$ ("unión") para juntar dos partes separadas, como $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$. Usa $\cap$ ("intersección") para los valores que dos conjuntos tienen en común.
Escriba en forma de intervalo y represente en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.
Escriba en forma de intervalo y represente en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.
Desigualdades lineales
Una desigualdad lineal se resuelve igual que una ecuación lineal, con una regla nueva.
Desigualdades con fracciones
Primero elimina los denominadores multiplicando todos los términos por el mínimo común denominador. El MCD es positivo, así que el símbolo no se invierte.
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado: $4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado:
$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelva la inecuación lineal con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelva la inecuación lineal con denominadores:
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelva la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis: $\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Resuelva la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Desigualdades compuestas y sistemas
Un sistema de desigualdades en una variable (o una desigualdad compuesta unida por y) pide los valores que cumplen todas las condiciones a la vez. Resuelve cada desigualdad por separado y luego toma la intersección.
¿Por qué? "Y" significa que un número se acepta solo si pasa todas las pruebas. Donde dos gráficas se traslapan, se pasan las dos pruebas.
Una desigualdad doble como $-3 \le 2x + 1 < 9$ es un sistema disfrazado. Haz la misma operación en las tres partes: $-4 \le 2x < 8$, así que $-2 \le x < 4$.
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita:
$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Encuentre la solución del siguiente sistema de inecuaciones: $\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Encuentre la solución del siguiente sistema de inecuaciones:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Para aprobar una materia, un alumno debe tener una calificación promedio de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha…
Para aprobar una materia, un alumno debe tener una calificación promedio de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido un $3,5$ y un $4,2$, ¿qué calificación deberá sacar en el tercer examen para aprobar? (La calificación máxima es $10$).
Desigualdades cuadráticas
Piensa en la parábola $y = ax^2 + bx + c$. Resolver $ax^2 + bx + c < 0$ significa "¿dónde está la parábola debajo del eje x?". Resolver $> 0$ significa "¿dónde está arriba?". Las intersecciones con el eje x (los ceros) son donde puede cambiar el signo.
Resuelva la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Exprese la solución en forma de intervalo.
Resuelva la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Exprese la solución en forma de intervalo.
Resuelva la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Exprese la solución como un intervalo.
Resuelva la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Exprese la solución como un intervalo.
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en pies) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en pies) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 30t - 5t^2$. ¿Durante qué intervalo de tiempo el cohete se encontrará a una altura estrictamente superior a $25$ pies?
Siempre verdadera, nunca verdadera y parámetros
A veces la parábola nunca llega al eje x. Entonces la cuadrática no tiene ceros reales y su signo nunca cambia.
| Parábola abre hacia arriba ($a > 0$) | Discriminante $b^2 - 4ac$ | Qué pasa |
|---|---|---|
| no tiene ceros reales | negativo | $ax^2 + bx + c > 0$ para todo $x$ real |
| un cero (toca el eje) | cero | $> 0$ para todo $x$ excepto el cero |
| dos ceros | positivo | negativa entre ellos, positiva fuera |
Por ejemplo, $x^2 + 4 > 0$ es verdadera para todo número real, y $x^2 + 4 < 0$ no tiene solución. Del mismo modo, $(x - 2)^2 \le 0$ es verdadera solo en $x = 2$.
Mueve el control deslizante $k$ de abajo y observa dónde toca la parábola el eje x.
Determine los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determine los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Problemas verbales con una variable
La mayoría de los errores en los problemas verbales vienen de la traducción, así que aprende las frases clave.
| Palabras | Símbolo |
|---|---|
| menos que, menor que, por debajo de | $<$ |
| más que, mayor que, excede, por encima de | $>$ |
| como máximo, no más de, máximo, no excede | $\le$ |
| al menos, no menos de, mínimo | $\ge$ |
Recuerda que "disminuido en $4$" significa restar $4$. "El doble de un número más $7$ es al menos $19$" se convierte en $2n + 7 \ge 19$, así que $n \ge 6$.
Traduzca al lenguaje algebraico y resuelva: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Traduzca al lenguaje algebraico y resuelva: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ galones y de $5$ galones, y que tiene estrictamente menos de $100$ galones…
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ galones y de $5$ galones, y que tiene estrictamente menos de $100$ galones de aceite, escriba una inecuación lineal con dos incógnitas que modele esta situación. Si ya ha llenado $10$ botellas de $5$ galones, ¿cuántas botellas de $2$ galones puede llenar como máximo?
La base de un rectángulo mide $5$ pulgadas más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ pulgadas pero su área no puede exceder los $50$…
La base de un rectángulo mide $5$ pulgadas más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ pulgadas pero su área no puede exceder los $50$ pulgadas$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?
Desigualdades con valor absoluto
La expresión $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta numérica. Así, $|x - 2| \le 4$ significa "$x$ está a lo más a $4$ unidades de $2$".
Siempre aísla primero el valor absoluto. Si $k < 0$, ninguna distancia es menor que un número negativo, así que $|u| < k$ no tiene solución, y $|u| > k$ es verdadera para todo $x$.
Resuelva la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y exprese su solución mediante un intervalo.
Resuelva la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y exprese su solución mediante un intervalo.
Resuelva la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado: $|x^2 - 5x| < 6$
Resuelva la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado:
$|x^2 - 5x| < 6$
Desigualdades racionales
Una desigualdad racional tiene la incógnita en un denominador. Lo tentador es multiplicar ambos lados por el denominador, pero no puedes: no sabes si es positivo o negativo, así que no sabes si debes invertir el símbolo.
Resuelva la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes: $\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelva la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes:
$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelva la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerde que no puede eliminar denominadores que contengan la…
Resuelva la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerde que no puede eliminar denominadores que contengan la incógnita):
$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$
Desigualdades polinomiales de grado mayor
El método de la tabla de signos funciona con cualquier polinomio que puedas factorizar. Factoriza por completo, marca todos los ceros y prueba cada intervalo. Un cero simple (de multiplicidad uno) hace que el signo cambie.
Si el polinomio no se factoriza por agrupación, busca un cero entero probando números pequeños como $\pm 1, \pm 2$, y luego divídelo (por ejemplo, con división sintética).
Resuelva la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio: $x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelva la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Desigualdades en dos variables
La solución de una desigualdad como $2x - y < 4$ es una región del plano de coordenadas, que contiene todos los puntos $(x, y)$ que la hacen verdadera.
Para comprobar si un punto es solución, sustituye sus coordenadas y mira si la desigualdad es verdadera.
Compruebe si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Compruebe si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Sistemas de desigualdades y gráficas
Un sistema de desigualdades en dos variables se resuelve con la intersección de los semiplanos sombreados. Esa intersección se llama región factible. Es acotada (un polígono) cuando hay suficientes desigualdades que la cierran.
Para ir en sentido contrario, de una gráfica a un sistema, trata cada recta frontera por separado.
Escriba el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Escriba el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Observe la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determine el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Observe la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determine el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Modelado con sistemas de desigualdades
Cuando los recursos son limitados (tiempo, dinero, ingredientes), cada límite se convierte en una desigualdad. Junto con $x \ge 0$ y $y \ge 0$ (no se puede hacer un número negativo de artículos), definen la región factible. Un plan es posible solo si su punto está dentro de la región, es decir, si cumple todas las desigualdades.
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de drones: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el…
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de drones: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el modelo Beta requiere $2$ horas de montaje y $2$ horas de calibración. La empresa dispone de un máximo de $120$ horas para montaje y $80$ horas para calibración a la semana. Plantee el sistema de inecuaciones que define la región factible e indique si sería posible fabricar $20$ drones Alfa y $25$ drones Beta en una semana.
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ oz de proteínas y no supere los $80$ oz de grasas. Cada porción de…
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ oz de proteínas y no supere los $80$ oz de grasas. Cada porción de $100$ oz del alimento $A$ contiene $15$ oz de proteínas y $10$ oz de grasas. Cada porción de $100$ oz del alimento $B$ contiene $10$ oz de proteínas y $20$ oz de grasas. Si llamamos $x$ e $y$ al número de porciones de $100$ oz de los alimentos $A$ y $B$ consumidas respectivamente, plantee el sistema de inecuaciones y averigüe si es posible consumir exactamente $3$ porciones de $A$ y $2$ porciones de $B$ cumpliendo las restricciones.
Volvamos al principio: la regla de la montaña rusa es $h \ge 48$, así que toda estatura en $[48, \infty)$ puede subir, y $47.9$ in no.