Comportamiento en los extremos y asíntotas horizontales
Emma saca una pizza del horno a 200 °F. La cocina está a 70 °F y la pizza se enfría según $T(t) = 70 + 130 \cdot 0.9^t$, donde $t$ está en minutos. Si ella espera "para siempre", ¿se enfriará la pizza hasta 0 °F? ¿O se detiene en algún valor? Para responder, necesitamos saber qué hace una función cuando $x$ (o $t$) se vuelve enorme. A eso se le llama comportamiento en los extremos (end behavior).
¿Qué pasa "en el infinito"?
El símbolo $x \to +\infty$ significa "$x$ sigue creciendo sin detenerse": 1,000, luego 1,000,000, luego 1,000,000,000, y así sucesivamente. De igual manera, $x \to -\infty$ significa que $x$ sigue haciéndose más negativo. El infinito no es un número al que se pueda llegar. Describe una dirección.
Nos preguntamos: cuando $x$ va en esa dirección, ¿qué hace $f(x)$? Hay tres respuestas posibles.
Esta es una gráfica que se estabiliza cerca de $y = 3$ a la derecha.
También puedes detectar un límite con una tabla. Toma $h(x) = 5 + \dfrac{7}{x}$:
| $x$ | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 |
|---|---|---|---|---|
| $h(x)$ | 5.7 | 5.07 | 5.007 | 5.0007 |
Los valores se acercan cada vez más a 5, así que $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 5$ y $y = 5$ es una asíntota horizontal.
En las aplicaciones, una asíntota horizontal es un valor a largo plazo. Si $C(x)$ es el costo promedio en dólares por artículo después de fabricar $x$ artículos, y la gráfica se nivela en $y = 12$, entonces el costo promedio por artículo se acerca cada vez más a $\$12$ a medida que la producción crece sin límite.
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace infinitamente grande ($x \to +\infty$) y cuando se…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace infinitamente grande ($x \to +\infty$) y cuando se hace infinitamente pequeño ($x \to -\infty$).
La siguiente tabla muestra los valores que toma una función $g(x)$ para valores de $x$ cada vez mayores: $x = 10 \rightarrow g(x) = 2,9$…
La siguiente tabla muestra los valores que toma una función $g(x)$ para valores de $x$ cada vez mayores:
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$x = 10 \rightarrow g(x) = 2,9$
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$x = 100 \rightarrow g(x) = 2,99$
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$x = 1000 \rightarrow g(x) = 2,999$
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$x = 10000 \rightarrow g(x) = 2,9999$
A la vista de estos resultados, ¿a qué valor tiende la función $g(x)$ cuando $x \to +\infty$?
Observa la gráfica de la función $C(x)$ que representa el costo promedio (en dólares) de fabricar $x$ objetos. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal y…
Observa la gráfica de la función $C(x)$ que representa el costo promedio (en dólares) de fabricar $x$ objetos. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal y explica qué significado tiene cuando el número de objetos producidos tiende a infinito.
Comportamiento en los extremos de los polinomios
Observa $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1$ para valores de $x$ cada vez más grandes, junto a su primer término $2x^3$:
| $x$ | $f(x)$ | $2x^3$ |
|---|---|---|
| 10 | 1,569 | 2,000 |
| 100 | 1,950,699 | 2,000,000 |
| 1,000 | 1,995,006,999 | 2,000,000,000 |
El primer término domina. Cuando $x$ es enorme, $x^3$ es mucho mayor que $x^2$ o $x$, así que los demás términos casi no importan. En los extremos, un polinomio se comporta como su término principal (el término con la potencia más alta).
Desliza $a$ y observa cómo se invierten los dos extremos cuando cambia el signo del coeficiente principal.
Calcula el comportamiento en el infinito de la siguiente función polinómica, es decir, halla el valor del límite: $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)$
Calcula el comportamiento en el infinito de la siguiente función polinómica, es decir, halla el valor del límite:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)$
Determina la tendencia de la función $h(x) = -4x^5 + 3x^2 - 8$ cuando $x$ tiende a $-\infty$. Para ello, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$.
Determina la tendencia de la función $h(x) = -4x^5 + 3x^2 - 8$ cuando $x$ tiende a $-\infty$. Para ello, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$.
Estudia el comportamiento de la función polinómica $f(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^3 - 5x)$ calculando sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Estudia el comportamiento de la función polinómica $f(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^3 - 5x)$ calculando sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Funciones racionales: compara los grados
Una función racional es una fracción de dos polinomios. Si el numerador y el denominador crecen, ¿quién gana? El dato clave es que, para cualquier entero positivo $n$, $\dfrac{1}{x^n} \to 0$ cuando $x \to \pm\infty$. Por ejemplo, $\frac{1}{1000} = 0.001$ y $\frac{1}{1{,}000{,}000} = 0.000001$.
El método consiste en dividir cada término, del numerador y del denominador, entre la potencia más alta de $x$ en el denominador. Entonces la mayoría de las piezas se convierten en $\frac{1}{x^n}$ y desaparecen.
Hacer la misma división en general da un atajo.
Los dos grados son 1, así que la asíntota es $y = \frac{a}{1} = a$. Mueve el control deslizante y compruébalo.
Calcula el siguiente límite de una función racional donde el grado del denominador es mayor que el del numerador: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 5}{x^2 + 4x + 1}$
Calcula el siguiente límite de una función racional donde el grado del denominador es mayor que el del numerador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 5}{x^2 + 4x + 1}$
Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función racional, prestando atención a los signos y a los grados de los polinomios:…
Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función racional, prestando atención a los signos y a los grados de los polinomios:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + x}{4 - 3x^3}$
El costo promedio de producción de $x$ unidades de un artículo electrónico viene dado por la función racional $C(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$ en dólares. Calcula el límite…
El costo promedio de producción de $x$ unidades de un artículo electrónico viene dado por la función racional $C(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$ en dólares. Calcula el límite de esta función cuando $x \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto de la empresa.
Uso de las asíntotas: valores a largo plazo y parámetros desconocidos
El límite en el infinito responde a la pregunta "¿qué pasa a largo plazo?". Termina siempre con una oración que diga qué significa el número en la situación.
A veces se da la asíntota y debes hallar un número que falta. Como la asíntota depende solo de los coeficientes principales, iguala esa razón al valor dado. Si la gráfica también pasa por un punto, sustituye el punto en la función.
En un ecosistema aislado, la población de cierta especie de ave se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1200t + 400}{2t + 5}$, donde $t$ es el tiempo en años desde…
En un ecosistema aislado, la población de cierta especie de ave se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1200t + 400}{2t + 5}$, donde $t$ es el tiempo en años desde que se iniciaron los registros. Determina hacia qué valor se estabilizará la población de aves a largo plazo.
Halla el valor del parámetro $k$ sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 7}{4x^2 + 5}$ tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Halla el valor del parámetro $k$ sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 7}{4x^2 + 5}$ tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 8}{bx - 2}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, -10)$ y tiene una…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 8}{bx - 2}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, -10)$ y tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Funciones exponenciales en el infinito
Para $y = a \cdot b^t$ (con $a > 0$), lo que ocurre depende de la base $b$.
| Base | Tipo | Cuando $t \to +\infty$ | Cuando $t \to -\infty$ |
|---|---|---|---|
| $b > 1$ | crecimiento | $b^t \to +\infty$ | $b^t \to 0$ |
| $0 < b < 1$ | decaimiento | $b^t \to 0$ | $b^t \to +\infty$ |
Por qué: multiplicar una y otra vez por un número mayor que 1 hace que todo crezca ($2^{10} = 1024$). Multiplicar una y otra vez por un número entre 0 y 1 hace que todo se encoja ($0.8^{10} \approx 0.107$ y $0.8^{50} \approx 0.0000143$). A la izquierda, $2^{-10} = \frac{1}{1024}$ es diminuto.
Desliza $b$ por debajo de 1 y la curva se nivela en $c$. Deslízalo por encima de 1 y se dispara hacia arriba.
La cantidad de una sustancia radiactiva en miligramos sigue la función $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$, donde $t$ son los años transcurridos. ¿A qué valor tiende la cantidad de…
La cantidad de una sustancia radiactiva en miligramos sigue la función $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$, donde $t$ son los años transcurridos. ¿A qué valor tiende la cantidad de sustancia a muy largo plazo ($t \to +\infty$)?
La temperatura en grados Fahrenheit de una taza de café recién servida en una habitación disminuye con el tiempo $t$ (en minutos) según la función exponencial…
La temperatura en grados Fahrenheit de una taza de café recién servida en una habitación disminuye con el tiempo $t$ (en minutos) según la función exponencial $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$. ¿A qué temperatura tiende el café cuando ha transcurrido mucho tiempo? Justifica tu respuesta calculando matemáticamente el límite correspondiente.
En un tanque industrial de $500$ galones de agua pura comienza a verterse una mezcla salina a razón de $10$ galones por minuto, con una concentración de $40$ gramos de…
En un tanque industrial de $500$ galones de agua pura comienza a verterse una mezcla salina a razón de $10$ galones por minuto, con una concentración de $40$ gramos de sal por galón. Al mismo tiempo, la mezcla bien homogeneizada sale del tanque a la misma velocidad para mantener el volumen constante. La concentración de sal en el tanque (en g/gal) en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $C(t) = 40(1 - e^{-0,02t})$. Calcula el límite de $C(t)$ cuando $t \to +\infty$ y explica el significado físico de este resultado.
Crecimiento exponencial: modelos y carreras
Cuando $b > 1$ el límite es $+\infty$. Eso es la matemática. Pero ¿es realista?
Ahora, una pregunta distinta: ¿qué crece más rápido, un polinomio o una exponencial? Toma $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1.5^x$. En $x = 2$, $f(2) = 16$ es mucho mayor que $g(2) = 2.25$. Vayamos muy lejos y comparemos el cociente $\dfrac{x^4}{1.5^x}$:
| $x$ | $x^4$ | $1.5^x$ | $\dfrac{x^4}{1.5^x}$ |
|---|---|---|---|
| 10 | 10,000 | 57.7 | 173 |
| 20 | 160,000 | 3,325 | 48 |
| 30 | 810,000 | 191,751 | 4.2 |
| 40 | 2,560,000 | cerca de 11,057,000 | 0.23 |
| 50 | 6,250,000 | cerca de 637,600,000 | 0.0098 |
Hasta $x = 30$ el polinomio todavía va adelante. Pero el cociente sigue bajando, y pasando de más o menos $x = 35$ la exponencial gana y nunca devuelve la ventaja.
Una colonia de bacterias crece según la función $P(t) = 150 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. ¿Qué ocurre con la población de bacterias cuando el tiempo avanza…
Una colonia de bacterias crece según la función $P(t) = 150 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. ¿Qué ocurre con la población de bacterias cuando el tiempo avanza indefinidamente ($t \to +\infty$)?
Un capital de $\$2000$ se invierte a un interés compuesto anual del $4\%$. La función que describe el capital acumulado al cabo de $t$ años es $C(t) = 2000 \cdot…
Un capital de $\$2000$ se invierte a un interés compuesto anual del $4\%$. La función que describe el capital acumulado al cabo de $t$ años es $C(t) = 2000 \cdot 1,04^t$. ¿Cuál es el límite de $C(t)$ cuando $t \to +\infty$? ¿Consideras que este modelo matemático es realista para tiempos extremadamente largos? Razona tu respuesta.
Considera las funciones $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1,5^x$. Para valores pequeños de $x$ la función polinómica es mayor que la exponencial (por ejemplo, para $x=2$,…
Considera las funciones $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1,5^x$. Para valores pequeños de $x$ la función polinómica es mayor que la exponencial (por ejemplo, para $x=2$, $16 > 2,25$). Sin embargo, determina cuál de las dos crece más rápido en el infinito ayudándote de una tabla de valores para $x = 10, 20$ y $30$. A partir de tu conclusión, deduce el valor del límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{1,5^x}$.
Dos extremos distintos: funciones definidas por partes y valor absoluto
El extremo izquierdo y el extremo derecho de una gráfica no tienen por qué coincidir. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas, o una asíntota solo de un lado.
En una función definida por partes (piecewise function), usa solo la parte que se aplica cerca del extremo que te interesa. Para $x \to +\infty$, usa la regla para $x$ positivo grande. Para $x \to -\infty$, usa la regla para $x$ muy negativo.
Para un valor absoluto, separa en casos. Para $x > 0$, $|x| = x$. Para $x < 0$, $|x| = -x$.
Una exponencial también puede producir dos asíntotas. Toma $f(x) = \dfrac{4 \cdot 2^x}{2^x + 1}$. Divide el numerador y el denominador entre $2^x$ para obtener $\dfrac{4}{1 + 2^{-x}}$. Cuando $x \to +\infty$, $2^{-x} \to 0$, así que $f \to 4$. Cuando $x \to -\infty$, $2^x \to 0$ en la forma original, así que $f \to \frac{0}{0 + 1} = 0$.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} \frac{4x^2 + 1}{x^2 - 3} & \text{si } x > 0 \\ 3^x + 2 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$ Calcula los…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} \frac{4x^2 + 1}{x^2 - 3} & \text{si } x > 0 \\ 3^x + 2 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$
Calcula los límites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
Estudia el comportamiento en el infinito de la función que incluye un valor absoluto $f(x) = \frac{4x + |x|}{x + 2}$. Para ello, calcula los límites cuando…
Estudia el comportamiento en el infinito de la función que incluye un valor absoluto $f(x) = \frac{4x + |x|}{x + 2}$. Para ello, calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. ¿Tiene la función la misma asíntota horizontal por la derecha que por la izquierda?
Observa la siguiente gráfica que representa una función $f(x)$ con dos asíntotas horizontales diferentes. A partir de la gráfica, deduce el valor de…
Observa la siguiente gráfica que representa una función $f(x)$ con dos asíntotas horizontales diferentes. A partir de la gráfica, deduce el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Basándote en lo que has estudiado sobre funciones exponenciales, escribe una posible expresión analítica que presente este tipo de comportamiento asintótico doble.
¿Qué tan cerca llega? Tolerancias y topes
Decir "$f(x) \to L$" es una promesa: puedes hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como quieras tomando $x$ suficientemente grande. Para concretarlo, elige una tolerancia $\varepsilon$ (por ejemplo $0.05$) y pregunta: "¿Para qué valores de $x$ se cumple $|f(x) - L| < \varepsilon$?"
La banda sombreada es la tolerancia permitida. Una vez que la curva entra en la banda, se queda dentro.
A veces la desigualdad se convierte en una cuadrática.
Una pregunta relacionada es si un límite es un tope. Un límite $L$ solo es un techo si la función nunca lo sobrepasa. Puedes comprobarlo con una desigualdad. Por ejemplo, $\dfrac{2x}{x + 1} < 2$ para $x > 0$ porque $2x < 2x + 2$. Si un modelo de ganancias tiene límite $L$ (en miles de dólares) y se mantiene por debajo de él, la empresa nunca podrá ganar más de $\$1{,}000L$, sin importar cuánto gaste.
Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir…
Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir de qué valor de $x > 0$ se cumple que la distancia entre $f(x)$ y su límite $L$ es estrictamente menor que $0,01$.
La concentración de un determinado fármaco en la sangre (en mg/L) tras $t$ horas desde su administración oral sigue la función $C(t) = \frac{30t}{t^2 + 9}$. Calcula…
La concentración de un determinado fármaco en la sangre (en mg/L) tras $t$ horas desde su administración oral sigue la función $C(t) = \frac{30t}{t^2 + 9}$. Calcula hacia qué valor tiende la concentración a muy largo plazo. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para determinar a partir de qué hora (exacta) la concentración en sangre será estrictamente inferior a $1$ mg/L.
Una empresa de software estima que sus ganancias anuales (en miles de dólares) en función de los gastos en publicidad $x$ (también en miles de dólares) se ajustan a la…
Una empresa de software estima que sus ganancias anuales (en miles de dólares) en función de los gastos en publicidad $x$ (también en miles de dólares) se ajustan a la función $B(x) = \frac{120x^2 - 500}{3x^2 + 2x + 10}$. ¿Existe un límite máximo para las ganancias por mucho que se invierta en publicidad de forma indefinida? Justifica tu respuesta calculando el límite en el infinito e indica a cuántos dólares asciende dicho tope.
De vuelta a la pizza: la pizza de Emma se enfría hacia 70 °F, la temperatura de la cocina, pero nunca llega a 0 °F. La asíntota horizontal $y = 70$ es la respuesta a "¿qué pasa si esperas para siempre?".
Resumen
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$\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca cada vez más a $L$. La recta $y = L$ es una asíntota horizontal. Un límite de $\pm\infty$ significa que los valores crecen sin límite, y no hay asíntota horizontal de ese lado.
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Polinomios: solo importa el término principal $ax^n$. El signo de $a$ y si $n$ es par o impar determinan los dos extremos.
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Funciones racionales: compara los grados. Menor grado en el numerador da $0$. Grados iguales dan la razón de los coeficientes principales. Mayor grado en el numerador da $\pm\infty$.
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Exponenciales: $b > 1$ crece hacia $\infty$, y $0 < b < 1$ decae hacia $0$. En $a \cdot b^t + c$ con decaimiento, la asíntota es $y = c$. Las exponenciales terminan superando a cualquier polinomio.
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Por partes y valor absoluto: usa la regla que se aplica en cada extremo por separado. Los dos extremos pueden tener asíntotas distintas.
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Para preguntar "¿qué tan cerca?", resuelve $|f(x) - L| < \varepsilon$. Di siempre qué significa el límite en el contexto.