Tablas de doble entrada
Mateo encuestó a 100 estudiantes de su escuela: ¿Tienes una suscripción de streaming? Luego se hizo una pregunta más precisa: ¿tener una suscripción depende del grado? Para responderla no basta mirar cada variable por separado. Necesitas organizar las dos al mismo tiempo en una tabla de doble entrada (two-way table).
Filas, columnas y totales
Esta es la encuesta de Mateo. Algunos problemas la llaman tabla de contingencia y llaman frecuencias absolutas a los conteos; es lo mismo que una tabla de doble entrada.
| Tiene suscripción | No tiene suscripción | Total | |
|---|---|---|---|
| 9.º grado | $24$ | $16$ | $40$ |
| 10.º grado | $36$ | $24$ | $60$ |
| Total | $60$ | $40$ | $100$ |
Lee la tabla de arriba:
-
La frecuencia conjunta de "10.º grado" y "tiene suscripción" es $36$.
-
La frecuencia marginal de "9.º grado" es $40$. Es el número de estudiantes de 9.º grado, sin importar si tienen suscripción.
-
La distribución marginal de una variable es la lista de sus categorías con sus totales. Para "suscripción" es: tiene suscripción $60$, no tiene suscripción $40$.
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de contingencia, que muestra la distribución de un grupo de estudiantes según su sexo y si usan lentes o no. | | Usan…
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de contingencia, que muestra la distribución de un grupo de estudiantes según su sexo y si usan lentes o no.
| Usan lentes | No usan lentes | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicos | $12$ | $18$ | |
| Chicas | $15$ | $25$ | |
| Total |
En una encuesta realizada a $80$ personas sobre su medio de transporte principal para ir al trabajo, se obtuvieron los siguientes resultados absolutos: | | Carro |…
En una encuesta realizada a $80$ personas sobre su medio de transporte principal para ir al trabajo, se obtuvieron los siguientes resultados absolutos:
| Carro | Transporte público | Caminando | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Menores de 30 años | $10$ | $22$ | $8$ | $40$ |
| Mayores de 30 años | $25$ | $10$ | $5$ | $40$ |
| Total | $35$ | $32$ | $13$ | $80$ |
Indica cuál es la frecuencia absoluta conjunta de las personas que son "Menores de 30 años" y van "Caminando", y calcula la frecuencia marginal absoluta de los que usan el "Carro".
Se ha preguntado a $200$ clientes de una pizzería sobre su tipo de masa favorita. Los resultados se recogen en la siguiente tabla: | | Fina | Clásica | Rellena de queso…
Se ha preguntado a $200$ clientes de una pizzería sobre su tipo de masa favorita. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
| Fina | Clásica | Rellena de queso | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Para llevar | $45$ | $35$ | $20$ | $100$ |
| En el local | $25$ | $50$ | $25$ | $100$ |
| Total | $70$ | $85$ | $45$ | $200$ |
Escribe la distribución marginal de la variable "Tipo de masa" indicando sus frecuencias absolutas.
Frecuencias relativas y porcentajes del total
Los conteos dependen de a cuántas personas encuestaste. Un conteo de $24$ significa algo muy distinto sobre $100$ que sobre $1{,}000$. Para comparar, divide entre el total.
Algunos problemas llaman globales a las frecuencias relativas conjuntas. Estas son las celdas de Mateo como parte de los $100$ estudiantes:
| Tiene suscripción | No tiene suscripción | Total | |
|---|---|---|---|
| 9.º grado | $\frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 24\%$ | $\frac{16}{100} = \frac{4}{25} = 16\%$ | $40\%$ |
| 10.º grado | $\frac{36}{100} = \frac{9}{25} = 36\%$ | $\frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 24\%$ | $60\%$ |
| Total | $60\%$ | $40\%$ | $100\%$ |
Cómo hallar la moda. La moda es la categoría más frecuente. En una tabla de doble entrada puedes preguntar por dos modas distintas:
-
La moda de la distribución conjunta es la celda más grande. Es un par de categorías. En la tabla de Mateo es "10.º grado con suscripción" ($36$).
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La moda de una distribución marginal es el total más grande de una variable. Es una sola categoría. Para "suscripción" es "tiene suscripción" ($60$).
A partir de la siguiente tabla de contingencia de frecuencias absolutas, elabora la tabla correspondiente de frecuencias relativas globales (expresando los resultados en…
A partir de la siguiente tabla de contingencia de frecuencias absolutas, elabora la tabla correspondiente de frecuencias relativas globales (expresando los resultados en forma de fracción irreducible).
| Ciencias | Letras | Total | |
|---|---|---|---|
| Aprobados | $30$ | $20$ | $50$ |
| Reprobados | $10$ | $40$ | $50$ |
| Total | $40$ | $60$ | $100$ |
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán en horario de mañana y de tarde. La tabla muestra el número de matriculados: | | Mañana | Tarde | Total…
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán en horario de mañana y de tarde. La tabla muestra el número de matriculados:
| Mañana | Tarde | Total | |
|---|---|---|---|
| Francés | $24$ | $36$ | $60$ |
| Alemán | $16$ | $24$ | $40$ |
| Total | $40$ | $60$ | $100$ |
Calcula qué porcentaje del total de alumnos representa a los que estudian Francés por la tarde.
Dada la siguiente tabla que relaciona la marca de teléfono celular y el grupo de edad de sus propietarios, identifica la moda de la distribución conjunta y la moda de la…
Dada la siguiente tabla que relaciona la marca de teléfono celular y el grupo de edad de sus propietarios, identifica la moda de la distribución conjunta y la moda de la distribución marginal de la variable "Marca".
| Marca A | Marca B | Marca C | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Jóvenes | $45$ | $15$ | $10$ | $70$ |
| Adultos | $20$ | $35$ | $25$ | $80$ |
| Total | $65$ | $50$ | $35$ | $150$ |
Frecuencias relativas condicionales
A veces quieres una pregunta más precisa: de los estudiantes que están en 10.º grado, ¿qué fracción eligió pizza? Ya no miras a todos. La condición "10.º grado" reduce el grupo que te interesa.
Usa la tabla del almuerzo ($N = 50$):
| Pizza | Ensalada | Total | |
|---|---|---|---|
| 9.º grado | $18$ | $7$ | $25$ |
| 10.º grado | $20$ | $5$ | $25$ |
| Total | $38$ | $12$ | $50$ |
-
De los estudiantes de 10.º grado, la parte que eligió pizza es $\dfrac{20}{25} = 0.80 = 80\%$. El todo es el total de la fila, $25$.
-
De los estudiantes que eligieron pizza, la parte que está en 10.º grado es $\dfrac{20}{38} \approx 0.526 \approx 52.6\%$. El todo es el total de la columna, $38$.
La misma celda, otra pregunta, otro denominador.
Una distribución condicional enumera las frecuencias relativas condicionales de todas las categorías de una fila (o columna). Siempre suman $100\%$. Para la fila de 10.º grado: pizza $80\%$, ensalada $20\%$.
Observa la siguiente tabla que clasifica a los asistentes a un congreso según su nacionalidad y el idioma en el que prefirieron recibir la documentación: | | Español |…
Observa la siguiente tabla que clasifica a los asistentes a un congreso según su nacionalidad y el idioma en el que prefirieron recibir la documentación:
| Español | Inglés | Total | |
|---|---|---|---|
| Europeos | $40$ | $60$ | $100$ |
| Americanos | $30$ | $20$ | $50$ |
| Total | $70$ | $80$ | $150$ |
Calcula la frecuencia relativa condicionada de que un asistente prefiera la documentación en Inglés, sabiendo que es Europeo.
Un estudio médico analiza la efectividad de dos tratamientos (Tratamiento A y Tratamiento B) para curar una afección cutánea. Los resultados tras un mes son los…
Un estudio médico analiza la efectividad de dos tratamientos (Tratamiento A y Tratamiento B) para curar una afección cutánea. Los resultados tras un mes son los siguientes:
| Curados | No curados | Total | |
|---|---|---|---|
| Tratamiento A | $72$ | $48$ | $120$ |
| Tratamiento B | $54$ | $26$ | $80$ |
| Total | $126$ | $74$ | $200$ |
Calcula el porcentaje de éxito (curados) para cada uno de los tratamientos por separado y razona, apoyándote en estos porcentajes, cuál de los dos tratamientos parece ser más efectivo.
En una empresa de $500$ empleados, se estudia la relación entre el departamento al que pertenecen y su nivel de satisfacción laboral. | | Satisfecho | Indiferente |…
En una empresa de $500$ empleados, se estudia la relación entre el departamento al que pertenecen y su nivel de satisfacción laboral.
| Satisfecho | Indiferente | Insatisfecho | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Ventas | $120$ | $60$ | $20$ | $200$ |
| Producción | $90$ | $110$ | $100$ | $300$ |
| Total | $210$ | $170$ | $120$ | $500$ |
Calcule la distribución marginal de la variable "Satisfacción" en porcentajes y la distribución condicionada del nivel de satisfacción dentro del departamento de "Producción".
Independencia
En la encuesta de Mateo, el $60\%$ de los estudiantes de 9.º grado y el $60\%$ de los de 10.º grado tienen suscripción, y el $60\%$ de todos los estudiantes también. Saber el grado de alguien no nos dijo nada sobre su suscripción.
Cuando dos variables son independientes, puedes predecir cada celda a partir de los totales:
En una población de $400$ habitantes, se analizan dos variables: "Practica deporte" (Sí/No) y "Fuma" (Sí/No). Se conocen las distribuciones marginales: $240$ personas…
En una población de $400$ habitantes, se analizan dos variables: "Practica deporte" (Sí/No) y "Fuma" (Sí/No). Se conocen las distribuciones marginales: $240$ personas practican deporte y $160$ no lo hacen; por otro lado, $100$ personas fuman y $300$ no fuman.
Construya la tabla de contingencia de frecuencias absolutas asumiendo que existe una independencia estadística perfecta entre el hábito de fumar y la práctica deportiva en esta población.
Se dice que dos variables estadísticas son independientes si las frecuencias relativas condicionadas son iguales a las frecuencias relativas marginales correspondientes;…
Se dice que dos variables estadísticas son independientes si las frecuencias relativas condicionadas son iguales a las frecuencias relativas marginales correspondientes; es decir, la proporción se mantiene constante en todas las filas y columnas.
Dada la siguiente tabla incompleta:
| Tipo I | Tipo II | Total | |
|---|---|---|---|
| Categoría Alpha | $12$ | $18$ | $30$ |
| Categoría Beta | $8$ | $y$ | $8+y$ |
| Total | $20$ | $18+y$ | $38+y$ |
Calcule el valor exacto de $y$ para que las dos variables ("Categoría" y "Tipo") sean perfectamente independientes.
Cómo completar celdas que faltan
Muchos problemas te dan solo una parte de la tabla, o la describen con palabras. Siempre puedes reconstruirla porque cada fila y cada columna deben sumar su total.
En un club deportivo hay $120$ socios. Sabemos que $70$ juegan al tenis, $50$ juegan al pádel, y de los que juegan al tenis, $20$ son mujeres. Si en el club hay un total…
En un club deportivo hay $120$ socios. Sabemos que $70$ juegan al tenis, $50$ juegan al pádel, y de los que juegan al tenis, $20$ son mujeres. Si en el club hay un total de $45$ mujeres, construye la tabla de contingencia de frecuencias absolutas que relacione el sexo (Hombre / Mujer) con el deporte practicado (Tenis / Pádel).
Completa la siguiente tabla de contingencia sabiendo que las frecuencias relativas globales de algunas celdas se dan en forma de fracción respecto al total $N = 150$. |…
Completa la siguiente tabla de contingencia sabiendo que las frecuencias relativas globales de algunas celdas se dan en forma de fracción respecto al total $N = 150$.
| Cine | Series | Documentales | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Tableta | $\frac{1}{5}$ del total | $40$ | $85$ | |
| Televisor | $\frac{2}{15}$ del total | $10$ | ||
| Total | $25$ | $150$ |
En una prueba de control de calidad, un detector de metales inspecciona $1000$ piezas de equipaje. Se sabe que $40$ piezas contienen objetos prohibidos. El detector hace…
En una prueba de control de calidad, un detector de metales inspecciona $1000$ piezas de equipaje. Se sabe que $40$ piezas contienen objetos prohibidos. El detector hace saltar la alarma en $35$ de las piezas que tienen objetos prohibidos y también da una falsa alarma en $24$ piezas que no contienen nada prohibido. Elabora la tabla de contingencia y calcula el porcentaje de piezas que realmente contienen objetos prohibidos entre todas aquellas en las que saltó la alarma.
Cómo construir una tabla a partir de porcentajes
Con frecuencia el problema dice cosas como "el 40% de los estudiantes hace X" y "el 30% de esos hace Y". La pregunta clave siempre es: ¿porcentaje de qué?
En una escuela secundaria de $300$ alumnos, el $60\%$ participa en actividades extraescolares. De los alumnos que participan en estas actividades, el $40\%$ está…
En una escuela secundaria de $300$ alumnos, el $60\%$ participa en actividades extraescolares. De los alumnos que participan en estas actividades, el $40\%$ está apuntado a teatro. Además, se sabe que el $15\%$ del total de alumnos de la escuela secundaria no hace actividades extraescolares y tampoco le gusta el teatro. Construye la tabla de contingencia de frecuencias absolutas y determina cuántos alumnos no hacen actividades extraescolares pero sí están apuntados a teatro.
Reconstruye una tabla de contingencia $2 \times 2$ con las variables $X$ e $Y$ a partir de la siguiente información: El total de individuos es $N = 200$. La frecuencia…
Reconstruye una tabla de contingencia $2 \times 2$ con las variables $X$ e $Y$ a partir de la siguiente información:
-
El total de individuos es $N = 200$.
-
La frecuencia marginal de $X_1$ es $120$.
-
La frecuencia marginal de $Y_2$ es $90$.
-
El $30\%$ de los individuos que cumplen $X_1$ también cumplen $Y_1$.
Una reserva natural clasifica los árboles de una parcela según su especie (Pino / Roble) y el tipo de suelo en el que crecen (Seco / Húmedo). Se han contado $240$…
Una reserva natural clasifica los árboles de una parcela según su especie (Pino / Roble) y el tipo de suelo en el que crecen (Seco / Húmedo). Se han contado $240$ árboles en total, de los cuales $150$ son pinos. Se sabe que el $60\%$ de los robles crece en suelo húmedo, mientras que solo $40$ pinos crecen en suelo húmedo. Construya la tabla de contingencia y determine qué porcentaje del total de árboles crece en suelo seco.
Celdas desconocidas y ecuaciones
A veces las celdas se escriben con una variable, o las pistas son razones. Entonces planteas una ecuación (o un sistema) a partir de las reglas de la tabla.
Considere la siguiente tabla de contingencia donde algunas frecuencias absolutas dependen de un parámetro $x$: | | Suceso A | Suceso B | Total | | :--- | :---: | :---: |…
Considere la siguiente tabla de contingencia donde algunas frecuencias absolutas dependen de un parámetro $x$:
| Suceso A | Suceso B | Total | |
|---|---|---|---|
| Condición 1 | $x$ | $2x$ | |
| Condición 2 | $10$ | $x+5$ | |
| Total |
Si se sabe que la frecuencia relativa marginal de la "Condición 1" es igual a $0.6$, plantee una ecuación, halle el valor de $x$ y reconstruya la tabla completa con valores numéricos.
En una tabla de contingencia $2 \times 2$ con las variables $X$ e $Y$, se conocen las siguientes relaciones proporcionales entre las frecuencias absolutas $a, b, c, d$:…
En una tabla de contingencia $2 \times 2$ con las variables $X$ e $Y$, se conocen las siguientes relaciones proporcionales entre las frecuencias absolutas $a, b, c, d$:
| $Y_1$ | $Y_2$ | Total | |
|---|---|---|---|
| $X_1$ | $a$ | $b$ | $50$ |
| $X_2$ | $c$ | $d$ | $50$ |
| Total | $a+c$ | $b+d$ | $100$ |
Sabiendo que la razón entre $a$ y $c$ es $\frac{2}{3}$ y la razón entre $b$ y $d$ es $\frac{4}{1}$, plantee un sistema de ecuaciones para hallar los valores de $a, b, c$ y $d$.
Un estudio de mercado sobre $600$ consumidores clasifica sus preferencias de bebida (Agua, Refresco, Jugo) y su rango de edad (Joven, Adulto). La tabla está casi vacía,…
Un estudio de mercado sobre $600$ consumidores clasifica sus preferencias de bebida (Agua, Refresco, Jugo) y su rango de edad (Joven, Adulto). La tabla está casi vacía, pero se conocen las siguientes pistas:
-
El total de Jóvenes es el doble que el de Adultos.
-
El número de Adultos que prefieren Agua es igual al número de Adultos que prefieren Jugo.
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Los Jóvenes que prefieren Refresco son $150$.
-
El total de personas que prefieren Jugo es $140$.
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La frecuencia marginal de los que prefieren Agua es $200$.
Deduzca todas las frecuencias conjuntas y marginales y construya la tabla de contingencia completa.
Diagramas de Venn y diagramas de árbol
Las tablas de doble entrada no son la única manera de mostrar dos variables. Un diagrama de Venn y un diagrama de árbol contienen la misma información. Para trabajar con cualquiera de los dos, conviértelo en una tabla.
Diagramas de Venn
Cada círculo es un grupo. La intersección son los individuos que están en ambos grupos. Quien queda fuera de los dos círculos no está en ninguno.
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol empieza con una variable y se ramifica en la otra. Los porcentajes de las ramas te dicen "porcentaje de qué": los porcentajes del segundo nivel son porcentajes de la rama que tienen encima.
El siguiente diagrama de Venn muestra la distribución de $110$ estudiantes de una escuela de idiomas según si estudian Inglés ($A$) o Francés ($B$). Traduce la…
El siguiente diagrama de Venn muestra la distribución de $110$ estudiantes de una escuela de idiomas según si estudian Inglés ($A$) o Francés ($B$).
Traduce la información del diagrama a una tabla de contingencia donde las variables sean "Estudia Inglés" (Sí/No) y "Estudia Francés" (Sí/No). A continuación, calcula la proporción de alumnos que estudian Francés sabiendo que no estudian Inglés.
El siguiente diagrama de árbol representa las proporciones de una población de $500$ individuos clasificados según dos variables dicotómicas $A$ y $C$. Transforme la…
El siguiente diagrama de árbol representa las proporciones de una población de $500$ individuos clasificados según dos variables dicotómicas $A$ y $C$.
Transforme la información de este diagrama en una tabla de contingencia de frecuencias absolutas donde las filas sean $A$ y $B$, y las columnas sean $C$ y $D$. Calcule la frecuencia relativa marginal de $C$.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas ensambladoras. La Máquina I produce el $60\%$ del total de componentes y la Máquina II el $40\%$ restante. El…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas ensambladoras. La Máquina I produce el $60\%$ del total de componentes y la Máquina II el $40\%$ restante. El control de calidad revela que el $2\%$ de los componentes de la Máquina I son defectuosos, mientras que la tasa de defectos en la Máquina II es del $5\%$.
Para un lote de $2000$ componentes, elabore la tabla de contingencia que relacione la "Máquina" (I / II) con el "Estado" (Defectuoso / Correcto). Si se selecciona un componente defectuoso de este lote, ¿qué proporción de los defectuosos proviene de la Máquina II?
Cuando combinar tablas engaña
A veces la respuesta de una tabla combinada dice lo contrario de lo que dice cada tabla por separado. Mira este ejemplo.
En dos hospitales distintos se ha registrado el éxito de una operación quirúrgica compleja, separando los casos en "Leves" y "Graves". Hospital San Juan: | Casos Leves |…
En dos hospitales distintos se ha registrado el éxito de una operación quirúrgica compleja, separando los casos en "Leves" y "Graves".
Hospital San Juan:
| Casos Leves | Éxito | Fracaso | Total |
|---|---|---|---|
| $80$ | $20$ | $100$ |
| Casos Graves | Éxito | Fracaso | Total |
|---|---|---|---|
| $10$ | $90$ | $100$ |
Hospital La Paz:
| Casos Leves | Éxito | Fracaso | Total |
|---|---|---|---|
| $360$ | $40$ | $400$ |
| Casos Graves | Éxito | Fracaso | Total |
|---|---|---|---|
| $5$ | $95$ | $100$ |
Construya una única tabla de contingencia global para cada hospital (sumando casos leves y graves) que relacione el "Hospital" con el "Resultado" (Éxito / Fracaso). Calcule el porcentaje global de éxito de cada hospital y explique por qué ocurre un cambio en la percepción del mejor hospital al agregar los datos.
De vuelta al inicio: En la encuesta de Mateo, $\frac{24}{40} = 60\%$ de los estudiantes de 9.º grado y $\frac{36}{60} = 60\%$ de los de 10.º grado tienen suscripción, y también $\frac{60}{100} = 60\%$ de todos los estudiantes. Los porcentajes condicionales coinciden con el porcentaje marginal, así que en esta muestra tener una suscripción es independiente del grado.