Números irracionales

Clasifique los siguientes números indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números irracionales y cuáles no. Justifique su respuesta basándose en su expresión decimal:

1. a) $3.14159$
2. b) $\sqrt{7}$
3. c) $\frac{22}{7}$
4. d) $1.1010010001...$
5. e) $\sqrt{25}$

Identifique qué patrón siguen las cifras decimales del siguiente número y explique por qué se considera un número irracional:

$x = 0.12345678910111213...$

Considere la sucesión de números formada al escribir ceros y unos de la siguiente manera: empezamos con un $0.1$, luego añadimos un $0$ y un $1$, luego dos $0$ y un $1$, luego tres $0$ y un $1$, y así sucesivamente hasta el infinito.

El número resultante es $N = 0.101001000100001...$

Analice la estructura de este número y justifique de forma razonada por qué $N$ pertenece al conjunto de los números irracionales y no puede expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$.

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

1. a) Todos los números decimales con infinitas cifras son irracionales.
2. b) La raíz cuadrada de cualquier número natural es un número irracional.
3. c) El número $\pi$ se puede escribir exactamente como una fracción.
4. d) La suma de un número racional y un número irracional siempre es irracional.

Para representar el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta numérica utilizando el Teorema de Pitágoras, necesitamos encontrar dos números enteros cuyos cuadrados sumen $13$. Indique cuáles son esos dos números y dibuje un boceto mental de cómo formaría el triángulo rectángulo.

Observe la siguiente representación gráfica en la recta numérica. Se ha construido un triángulo rectángulo apoyado sobre el eje horizontal.

Calcule el valor exacto de la hipotenusa $h$. ¿Qué número irracional representa el punto rojo $X$ sobre la recta numérica?

La famosa "Espiral de Teodoro" se construye dibujando triángulos rectángulos contiguos. El primero tiene catetos de longitud $1$. La hipotenusa de este triángulo sirve como cateto del siguiente, cuyo otro cateto vuelve a medir $1$, y así sucesivamente.

Calcule el valor exacto de las hipotenusas $h_1$, $h_2$ y $h_3$. Siguiendo este patrón lógico, ¿cuál será el valor exacto de la hipotenusa $h_8$ del octavo triángulo? ¿Es racional o irracional?

Un campo de fútbol tiene unas dimensiones de $100$ pies de largo por $50$ pies de ancho. El equipo de mantenimiento necesita trazar una tubería de riego que cruce el campo en diagonal. Calcule la longitud exacta de la tubería utilizando radicales. ¿Es esta longitud un número racional o irracional? Aproxime el resultado a dos cifras decimales para saber cuántos pies de tubería deben comprar.

En el béisbol, las bases forman un cuadrado perfecto de $90$ pies de lado ($27.43$ metros). Cuando el receptor lanza la pelota desde la base de "home" hasta la segunda base para evitar un robo, la pelota cruza el campo en diagonal. Calcule la distancia exacta en pies que recorre la pelota. ¿Es una cantidad racional o irracional?

Observe el siguiente cubo de lado $a = 5$ pulgadas. La diagonal de una de sus caras se llama $d$, y la diagonal principal que cruza el cubo por el interior se llama $D$.

Calcule el valor exacto de la diagonal de la base ($d$) y, utilizándola como cateto junto con la altura del cubo, calcule la longitud exacta de la diagonal principal ($D$). ¿Es posible que en un cubo de arista entera su diagonal principal sea un número racional?

Trunque y redondee el número irracional $\sqrt{11} = 3.31662479...$ a las centésimas y a las milésimas. Organice los resultados en una tabla.

El número de oro, representado por la letra griega $\Phi$ (Fi), tiene un valor exacto de $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utilice su calculadora para encontrar su expresión decimal y escriba las primeras seis cifras decimales. ¿Se trata de un número racional o irracional?

En una fábrica de piezas mecánicas, se debe cortar una plancha circular cuyo radio es exactamente de $40$ pulgadas. El torno automático necesita que se introduzca el perímetro de la circunferencia para realizar el corte.

1. a) ¿Cuál es el perímetro exacto de la pieza?
2. b) Si el operador introduce el valor aproximado usando $\pi = 3.14$, ¿cuál es el error absoluto que comete respecto al valor real (usando todas las cifras de $\pi$ en la calculadora)?

Calcule el resultado de las siguientes operaciones y clasifique el resultado final como racional o irracional:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $(\sqrt{5})^2$
4. d) $\pi - \pi$

Una empresa de tecnología está diseñando una nueva pantalla de televisión. Quieren que la relación entre el ancho y el alto sea exactamente $\sqrt{2}$ para que, al dividir la pantalla por la mitad, los dos rectángulos resultantes mantengan la misma proporción (como ocurre con las hojas de papel tamaño carta). Si la altura de la pantalla va a ser de $50$ pulgadas, ¿cuál debe ser su anchura exacta? Aproxime el resultado a las milésimas de pulgada.

En una clase de matemáticas, el profesor propone el siguiente reto: "Si a un número irracional le sumamos otro número irracional, ¿el resultado siempre es irracional?".

Encuentre dos números irracionales distintos cuya suma sea un número racional entero y demuestre con operaciones algebraicas sencillas que esto es posible.

La proporción áurea se utiliza a menudo en el arte y la arquitectura. Un marco para un cuadro se ha diseñado de forma que sea un "rectángulo áureo". Si el lado menor del marco mide $20$ pulgadas, el lado mayor debe medir $20 \cdot \Phi$ pulgadas, siendo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Calcule la longitud exacta del lado mayor y su aproximación en pulgadas redondeada a las décimas.

El período $T$ (en segundos) de un péndulo simple, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa, se calcula con la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad ($9.8$ m/s$^2$). Calcule el período exacto de un péndulo de $9.8$ metros de longitud. ¿El resultado es un número racional o irracional?

Para construir un panal artificial, un apicultor diseña celdas con forma de hexágono regular. Sabiendo que el área de un hexágono regular de lado $L$ se calcula con la fórmula $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$, calcule el área exacta de una celda si su lado mide $4$ mm. ¿Se trata de un número racional o irracional?

Ordene de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puede ayudarse de sus aproximaciones decimales:

$3.14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3.1416$

Un inversionista analiza el crecimiento de un cultivo de bacterias que se utiliza para fabricar bioplásticos. La población en millones sigue la fórmula $P = 2 \cdot e^t$, donde $t$ es el tiempo en horas y $e$ es el número irracional de Euler ($e \approx 2.71828$).

Calcule la población estimada a las $3$ horas usando el valor de $e$ de su calculadora. Si por error el laboratorio usó la aproximación $e = 2.7$, ¿cuántas bacterias de diferencia (en millones) habrá respecto al cálculo más preciso?

En el diseño de un logotipo se utiliza un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas, como se muestra en la figura.

Sabiendo que en un triángulo equilátero el radio $R$ es el doble de la apotema $a$, calcule el valor exacto de la apotema $a$. Luego, utilice el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud exacta del lado $L$. Demuestre que el perímetro del triángulo es un número irracional.

Se quiere vallar una parcela circular de $100$ m$^2$ de área y una parcela cuadrada que también tiene $100$ m$^2$ de área.

1. a) Calcula el perímetro exacto de ambas parcelas. (Recuerda que el área del círculo es $A = \pi r^2$).
2. b) Si la valla cuesta $\$15$ el metro, ¿qué parcela será más barata de vallar? Utiliza todos los decimales de tu calculadora para dar el coste exacto en euros de cada una.

Sabiendo que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$, imagine que queremos construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un círculo de radio $10$ pulgadas. (Este es el antiguo problema matemático de la cuadratura del círculo).

Halle la expresión exacta de la longitud del lado de ese cuadrado. ¿Es posible medir con una regla graduada en fracciones de pulgada ese lado de forma exacta en el mundo real? Justifique su respuesta.