Te conviene dominar: Ecuaciones lineales (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
En un juego de los Cubs, Marcus paga $\$14$ por 2 hot dogs y 1 limonada. Su amiga Ava paga $\$13$ por 1 hot dog y 2 limonadas. ¿Cuánto cuesta cada cosa? El recibo de Marcus por sí solo no basta para saberlo: un hot dog de $\$5$ con una limonada de $\$4$ funciona, pero también un hot dog de $\$6$ con una limonada de $\$2$. Sin embargo, si juntas los dos recibos, solo un par de precios cumple con ambos. Esa es la idea de un sistema de ecuaciones.
Sistemas y sus soluciones
Para comprobar una solución propuesta, sustitúyela en las dos ecuaciones. Con $(4, 3)$: $4 + 3 = 7$ ✓ y $2(4) - 3 = 5$ ✓. Como ambas son verdaderas, $(4, 3)$ es una solución. Si falla aunque sea una ecuación, no es solución del sistema.
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Compruebe si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Compruebe si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Cada solución de una ecuación lineal es un punto de su recta. La solución de un sistema debe estar en ambas rectas, así que es el punto donde se cruzan.
Estas son las rectas $y = x + 1$ y $y = -2x + 7$:
Dos rectas en un plano solo pueden estar relacionadas de tres maneras, así que un sistema tiene solo tres resultados posibles:
Mueve los controles deslizantes y observa dónde se encuentran las dos rectas. ¿Puedes hacer que sean paralelas?
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Observe la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indique cuál es la solución del sistema y clasifíquelo según su número de…
Observe la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indique cuál es la solución del sistema y clasifíquelo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
Graficar es lento y es difícil leer respuestas exactas. El álgebra da respuestas exactas. El primer método algebraico es la sustitución: si sabes a qué es igual $y$, puedes cambiar esa expresión por $y$ en cualquier lugar donde aparezca.
Cuando las dos ecuaciones ya están despejadas para $y$, los lados derechos deben ser iguales. Algunos problemas dicen "iguala las expresiones". Eso es simplemente sustitución.
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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
A veces el álgebra "se rompe". Intenta sumar $x + y = 3$ y $-x - y = -5$: obtienes $0 = -2$. Eso es falso para cualquier $x$ y $y$, así que ningún par funciona. Las rectas son paralelas.
Ahora prueba con $2x - 4y = 6$ y $-x + 2y = -3$. Multiplica la segunda por $2$: $-2x + 4y = -6$. Al sumar obtienes $0 = 0$. Eso es verdadero siempre, así que todos los puntos de la recta funcionan. Las dos ecuaciones describen la misma recta.
Mueve $b$ y observa cómo la segunda recta se confunde con la primera:
Estas razones también te permiten hallar un coeficiente que falta.
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Determine el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):…
Determine el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):
Determine el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado): $3x - my = 12$ $-6x + 8y = -24$
Determine el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):
Observe la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del…
Observe la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifique el sistema según su número de soluciones y explique qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.
Los sistemas son muy útiles en problemas verbales con dos cantidades desconocidas. Lo difícil es convertir las palabras en ecuaciones.
Palabras
Álgebra
"la suma de dos números es 54"
$x + y = 54$
"su diferencia es 12"
$x - y = 12$
"$x$ es el doble de $y$"
$x = 2y$
"$x$ es 5 más que $y$"
$x = y + 5$
Volvamos al principio: los únicos precios que cumplen con los dos recibos son $\$5$ por un hot dog y $\$4$ por una limonada. El recibo de Marcus por sí solo permitía muchos pares, como $(5, 4)$ y $(6, 2)$. El recibo de Ava dejó solo $(5, 4)$.
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La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantee un sistema de ecuaciones lineales y calcule el valor de ambos números.
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantee un sistema de ecuaciones lineales y calcule el valor de ambos números.
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ croissants nos han cobrado $\$7,50$. Si compramos $1$ café y $4$ croissants del mismo tipo, el precio es de $\$6,50$. ¿Cuánto…
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ croissants nos han cobrado $\$7,50$. Si compramos $1$ café y $4$ croissants del mismo tipo, el precio es de $\$6,50$. ¿Cuánto cuesta cada café y cada croissant?
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto),…
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?
Muchos problemas cuentan artículos que tienen cada uno un valor: boletos, monedas, galones de aceite, dólares en un fondo. Siempre te dan dos ecuaciones de tipos distintos.
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Un comerciante mezcla aceite de oliva de $\$4$/galón con aceite de girasol de $\$2$/galón para obtener $60$ galones de una mezcla que venderá a $\$3,50…
Un comerciante mezcla aceite de oliva de $\$4$/galón con aceite de girasol de $\$2$/galón para obtener $60$ galones de una mezcla que venderá a $\$3,50$/galón. Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos galones de cada tipo de aceite ha utilizado.
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $\$0,20$ y otras de $\$0,50$. Si en total hay $\$12,50$, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $\$0,20$ y otras de $\$0,50$. Si en total hay $\$12,50$, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
Una persona invierte un total de $\$25000$ en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%…
Una persona invierte un total de $\$25000$ en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $\$1320$, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?
Problemas verbales: porcentajes, mezclas y descuentos
Cuando hay porcentajes, la ecuación de valor sigue la cantidad real del ingrediente, o el precio después del cambio.
Practica★★★Sin empezar
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ galones de una nueva…
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ galones de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos galones de cada disolución original se deben mezclar?
En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntas $\$1500$. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%…
En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntas $\$1500$. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la computadora portátil y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $\$1305$. Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.
Problemas verbales: edades, geometría y movimiento
Un problema de movimiento viene con un dibujo:
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Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantee un sistema de…
Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ pies. Si el largo de la parcela mide $10$ pies más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ pies. Si el largo de la parcela mide $10$ pies más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ millas, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en…
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ millas, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ mph mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?