Potencias

Expresa los siguientes productos en forma de potencia e indica cuál es la base y cuál es el exponente en cada caso:

1. a) $5 \times 5 \times 5 \times 5$

1. b) $12 \times 12 \times 12$

1. c) $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

1. d) $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$

Calcula el valor de las siguientes potencias básicas:

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Observa el siguiente cuadrado formado por pequeñas celdas. Expresa el número total de celdas en forma de potencia y calcula su resultado.

Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números utilizando potencias de base $10$:

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números utilizando potencias de base 10:

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Aplica las propiedades de las potencias para escribir el resultado como una sola potencia:

1. a) $3^{4} \times 3^{2} \times 3^{5}$

1. b) $a^{3} \times a^{4}$

1. c) $10^{2} \times 10 \times 10^{3}$

1. d) $2^{6} \times 2^{6}$

Reduce a una sola potencia utilizando la propiedad del cociente de potencias de la misma base:

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Aplica las propiedades de las potencias para reducir las siguientes expresiones a una sola potencia:

a) $2^5 \times 2^3 \times 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \times 5^2}{5^7} =$

Simplifica las siguientes expresiones dejando el resultado en forma de una única potencia:

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

En un almacén de logística, las cajas se organizan en estantes cúbicos. Un bloque de almacenamiento está formado por 4 estantes de ancho, 4 de largo y 4 de alto. Si cada estante contiene 4 cajas:

a) Expresa el número total de cajas en forma de una sola potencia.

b) Si cada caja contiene $2^3$ paquetes de hojas, ¿cuántos paquetes de hojas hay en total en el bloque? Expresa el resultado como una potencia de base 2.

Calcula el valor de la siguiente expresión combinada, aplicando las propiedades de las potencias siempre que sea posible para simplificar el cálculo antes de operar:

$$ \frac{(2^3 \times 2^2)^2 \times 5^7 \times 10^3}{(5^2)^4 \times 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

Calcula el valor de las siguientes expresiones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones:

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \times 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \times (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Se quiere diseñar un mosaico cuadrado compuesto por azulejos también cuadrados. Se sabe que el número de azulejos utilizados es la solución de la siguiente operación:

$$ \sqrt{10^2 - 8^2} \times (3^3 - 5^2)^2 - 2^3 $$

1. a) ¿Cuántos azulejos tendrá el mosaico en total?
2. b) ¿Cuántos azulejos habrá en cada lado del mosaico cuadrado?

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades aplicando las propiedades de las potencias:

a) $7^x \times 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

¿Cuál de las siguientes expresiones es mayor? Realiza los cálculos necesarios para justificar tu respuesta sin utilizar la calculadora.

a) $2^6$

b) $4^3$

c) $8^2$

d) $64^1$

¿Qué relación encuentras entre las bases de todas estas potencias?

Encuentra el valor de la incógnita $n$ en las siguientes igualdades, aplicando las reglas de las potencias:

1. a) $2^n \times 2^3 \times 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \times 9 = 3^{10}$

Expresa los siguientes datos utilizando la notación científica:

a) La distancia media de la Tierra a la Luna es de unos $384\,400$ kilómetros.

b) La población mundial aproximada es de $8\,000\,000\,000$ de personas.

c) Un año luz equivale aproximadamente a $9\,461\,000\,000\,000$ de kilómetros.

El almacenamiento de un supercomputador se mide en "Exabytes". Sabiendo que $1 \text{ kilobyte} = 10^3 \text{ bytes}$, $1 \text{ megabyte} = 10^3 \text{ kilobytes}$, $1 \text{ gigabyte} = 10^3 \text{ megabytes}$ y así sucesivamente siguiendo las potencias de 10 (terabyte, petabyte, exabyte):

1. a) Expresa en notación científica cuántos bytes hay en un Exabyte.
2. b) Si un archivo de video de alta definición ocupa $2 \times 10^9$ bytes, ¿cuántos archivos de este tipo caben en un disco de $4 \text{ Petabytes}$? Expresa el resultado en notación científica.

Un creador de contenido publica un video que se hace viral. Si cada hora el número de personas que lo han visto se triplica ($3^{n}$), completa la siguiente tabla expresando los resultados en forma de potencia:

Tiempo transcurrido	Personas que han visto el video
Al inicio (Hora 0)	$3^{0} = 1$
Después de 1 hora	$3^{1} = 3$
Después de 2 horas
Después de 5 horas
Después de $n$ horas

Un video de un "streamer" se ha hecho viral en una red social. Durante las primeras horas, el número de personas que comparten el video se triplica cada hora. Si al comienzo lo compartieron 3 personas:

a) Escribe en forma de potencia el número de personas que habrán compartido el video después de 5 horas.

b) Calcula el valor de dicha potencia para saber el número total de personas en ese momento.

Una nueva red social ha detectado que el número de "compartidos" de una noticia falsa se triplica cada hora. A las 10:00 de la mañana, la noticia ya se ha compartido $3^4$ veces.

1. a) ¿En qué hora el número de compartidos superará por primera vez la cifra de $3^{10}$?
2. b) Si el servidor colapsa cuando el número de compartidos llega a $9^7$, ¿cuántas horas habrán pasado desde las 10:00 hasta el colapso? Expresa todos los pasos usando propiedades de potencias.

En una excavación arqueológica cerca de la antigua Mesopotamia, se ha encontrado una estructura ceremonial formada por bloques de piedra cúbicos. La estructura sigue un patrón de "cubos anidados". El primer nivel es un cubo de $2 \times 2 \times 2$ bloques. El segundo nivel rodea al anterior formando un cubo de $4 \times 4 \times 4$ bloques, y el tercero uno de $8 \times 8 \times 8$ bloques.

1. a) Expresa como una única potencia de base 2 el número total de bloques que habría en el quinto nivel si la arista del cubo sigue duplicándose en cada paso.
2. b) Si cada bloque tiene una masa de $2^6$ kg, expresa la masa total de la estructura del quinto nivel como una sola potencia.

Sin realizar el cálculo completo de las potencias, indica razonadamente cuál de los siguientes números es mayor. Utiliza para ello la transformación de las bases a una base común:

$$ A = 8^{20} \times 4^{15} $$ $$ B = 16^{18} \times 2^5 $$

Un número natural $X$ tiene la siguiente descomposición en factores primos: $X = 2^a \times 3^2 \times 5^b$.

Se sabe que:

• El máximo común divisor de $X$ y $180$ es $2^2 \times 3^2 \times 5^0$.

• El mínimo común múltiplo de $X$ y $180$ es $2^3 \times 3^2 \times 5^1$.

Halla los valores de los exponentes $a$ y $b$ y escribe el número $X$ en notación decimal. (Dato: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$).