Sistemas de ecuaciones
En la papelería de la esquina, Ximena pagó 36 pesos por 2 plumas y 3 borradores. Diego pagó 24 pesos por 2 plumas y 1 borrador. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Hay dos incógnitas (el precio de la pluma y el del borrador) y dos pistas. Con una sola ecuación no alcanza: hay que usar las dos a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones.
Qué es un sistema
Para comprobar una solución se sustituye en las dos ecuaciones, no solo en una. Con $x = 9$ e $y = 6$: $2 \times 9 + 3 \times 6 = 36$ ✓ y $2 \times 9 + 6 = 24$ ✓.
Significado gráfico
Cada ecuación de este tipo es una recta: todos sus puntos son soluciones de esa ecuación. La solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cortan. Mueve los deslizadores y observa qué pasa.
Dos rectas pueden estar colocadas de tres maneras. Eso da tres tipos de sistema:
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:…
En un videojuego de rol, los puntos de experiencia de dos habilidades, Fuerza ($x$) y Magia ($y$), deben cumplir las condiciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x - y = 9 \end{cases}$$Comprueba, realizando las operaciones necesarias, cuál de estas parejas de valores es la solución correcta del sistema para que el personaje pueda subir de nivel:
- a) $x = 10, y = 5$
- b) $x = 8, y = 7$
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación: "En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de…
Traduce al lenguaje algebraico y escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la siguiente situación:
"En una cafetería, por dos refrescos ($x$) y una bolsa de papas ($y$) nos cobraron $100$ pesos. Si compramos un refresco y una bolsa de papas, el precio es de $60$ pesos."
(No es necesario resolverlo, solo plantear el sistema).
Método de sustitución
Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Conviene cuando una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente $1$ o $-1$. La razón es que así la otra ecuación se queda con una sola incógnita, y eso ya sabes resolverlo.
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:…
Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. Fíjate que en la segunda ecuación la incógnita $y$ ya está despejada, lo que facilita el proceso:
$$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ y = 2x \end{cases}$$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Recuerda que es aconsejable despejar la incógnita que tenga el coeficiente más sencillo:
$$ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ 5x + 2y = 19 \end{cases} $$Método de igualación
Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones y igualas las dos expresiones. Es lógico: si $x$ vale lo mismo en las dos, esas dos expresiones tienen que ser iguales entre sí.
Aquí están las dos rectas del ejemplo (escritas como $y = x - 5$ y $y = (x - 2)/2$). Localiza el punto $(8, 3)$:
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$: $$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema. Para ello, iguala las dos expresiones que representan el valor de $x$:
$$\begin{cases} x = y + 5 \\ x = 2y + 2 \end{cases}$$Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su…
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos con propiedades diferentes. El rectángulo A tiene un perímetro de $22\text{ cm}$. El rectángulo B es tal que su base es el doble que la del rectángulo A y su altura es el triple que la del rectángulo A, sumando un perímetro total de $52\text{ cm}$.
Calcula las dimensiones $x$ (base) e $y$ (altura) del rectángulo A planteando y resolviendo un sistema por el método de igualación.
Método de suma y resta
También se llama método de reducción o de eliminación. Multiplicas las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas (o restarlas), una incógnita desaparezca. Funciona porque sumar dos igualdades da otra igualdad verdadera.
Si ninguna incógnita se cancela sola, primero multiplicas una o las dos ecuaciones.
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción. Observa que la incógnita $y$ tiene coeficientes opuestos ($+1$ y $-1$), por lo que puedes sumar las dos ecuaciones directamente para eliminarla:
$$\begin{cases} 4x + y = 13 \\ x - y = 2 \end{cases}$$Lucía compró en la papelería $2$ plumas y $3$ gomas de borrar por un total de $80$ pesos. Pedro compró $2$ plumas y $1$ goma de borrar por $40$ pesos. Si $x$ es el…
Lucía compró en la papelería $2$ plumas y $3$ gomas de borrar por un total de $80$ pesos. Pedro compró $2$ plumas y $1$ goma de borrar por $40$ pesos.
Si $x$ es el precio de una pluma e $y$ el de una goma, el sistema que representa la situación es:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 80 \\ 2x + y = 40 \end{cases}$$Encuentra el precio de cada artículo utilizando el método de reducción (restando ambas ecuaciones).
En la cafetería de la escuela, un grupo de amigos pagó $\$300$ por 4 refrescos y 2 tortas. Al día siguiente, otro grupo pagó $\$350$ por 3 refrescos y 4 tortas. Utiliza…
En la cafetería de la escuela, un grupo de amigos pagó $\$300$ por 4 refrescos y 2 tortas. Al día siguiente, otro grupo pagó $\$350$ por 3 refrescos y 4 tortas. Utiliza el método de reducción para hallar el precio de un refresco y el de una torta.
Sistemas con paréntesis y fracciones; casos especiales
Antes de elegir método, deja cada ecuación en la forma $ax + by = c$:
-
Quita paréntesis con la propiedad distributiva.
-
Si hay denominadores, multiplica toda la ecuación por el mcm de los denominadores.
-
Reúne los términos con $x$ y con $y$ en el lado izquierdo y los números en el derecho.
Cuando no hay una sola solución
Si al simplificar una incógnita desaparece y queda una igualdad sin letras, mira si es falsa o verdadera:
-
Falsa (por ejemplo $0 = 5$): las rectas son paralelas. El sistema es incompatible: no tiene solución.
-
Verdadera (por ejemplo $0 = 0$): las dos ecuaciones son la misma recta. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
Por ejemplo, $x + y = 3$ y $x + y = 5$ no pueden cumplirse a la vez (incompatible). En cambio $x + y = 3$ y $2x + 2y = 6$ son la misma recta (infinitas soluciones).
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las…
Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado. Antes de resolverlo, observa si es necesario simplificar las expresiones quitando los paréntesis:
$$ \begin{cases} 2(x + y) - 3x = 1 \\ x + 3(y - 1) = 2 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales simplificando previamente ambas expresiones. Para hallar la solución definitiva, utiliza el método de reducción doble (eliminando una incógnita y luego la otra):
$$ \begin{cases} \dfrac{2(x-1)}{3} - \dfrac{y+2}{6} = -1 \\ \\ \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{7}{6} \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos: $$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5…
Resuelve el siguiente sistema mediante el método que consideres más oportuno, tras eliminar los paréntesis y agrupar términos:
$$ \begin{cases} 3(x+2) - 5(y-1) = 2x + 5 \\ \\ 2(x+y) - 3(x-y) = 11 \end{cases} $$Una vez resuelto, indica si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Plantear problemas con sistemas
Escribe siempre qué significa cada letra (por ejemplo, $x$ = precio de una pluma) y con qué unidades trabajas.
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de…
En una pequeña granja hay un total de $12$ animales entre gallinas ($x$) y conejos ($y$). Si contamos las patas de todos ellos, hay un total de $34$ patas. El sistema de ecuaciones que describe esta situación es:
$$\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}$$Resuelve el sistema por el método que prefieras para averiguar cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja.
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas…
En un videojuego de estrategia, para desbloquear una mejora necesitas recolectar gemas azules y gemas rojas. Sabemos que el triple de gemas azules más el doble de gemas rojas suma un total de 34 energía. Además, la diferencia entre el número de gemas azules y rojas es de solo 3 unidades.
- a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas gemas de cada tipo necesitas.
- b) Comprueba si la pareja de valores $x = 8, y = 5$ (donde $x$ son las azules e $y$ las rojas) es la solución del sistema.
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\$80$ y de adultos a $\$140$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un…
Para organizar un festival benéfico se han vendido dos tipos de entradas: infantiles a $\$80$ y de adultos a $\$140$. Al terminar el evento, se sabe que han asistido un total de 240 personas y que la recaudación total ha sido de $\$27\,000$. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron al festival?
Tipos de problemas frecuentes
Estos problemas aparecen una y otra vez. Cada uno tiene una forma típica de plantearse.
| Tipo | Incógnitas | Ecuaciones típicas |
|---|---|---|
| Edades | edad actual de cada persona | una relación hoy y otra "dentro de $n$ años" (suma $n$ a las dos edades) |
| Cifras | $x$ = decenas, $y$ = unidades | el número es $10x + y$; al invertirlo es $10y + x$ |
| Movimiento | velocidades o tiempo y distancia | $d = v \cdot t$; de frente se suman las velocidades, en el mismo sentido se restan |
| Mezclas | litros de cada solución | total de litros, y cantidad de sustancia pura: litros $\times$ porcentaje |
| Figuras | base y altura | perímetro $2x + 2y$ o área $x \cdot y$ |
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Sin embargo, dentro de 12 años, la edad de la madre será solamente el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen ambos en la actualidad? Utiliza una tabla para organizar los datos de las edades antes de plantear el sistema.
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al…
Dos ciclistas, Ana y David, se encuentran a una distancia de $45\text{ km}$. Ana sale desde el punto A a una velocidad constante de $12\text{ km/h}$ y David sale al mismo tiempo desde el punto B al encuentro de Ana a $18\text{ km/h}$.
Si $x$ es el tiempo que tardan en encontrarse e $y$ es la distancia recorrida por Ana:
- a) Plantea un sistema de ecuaciones que relacione el tiempo y el espacio de ambos.
- b) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto A ocurrirá?
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de…
Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide $40$ cm. Si se triplicara su base y se redujera su altura a la mitad, el perímetro pasaría a ser de $70$ cm. Una vez halladas la base ($x$) y la altura ($y$), calcula el área del rectángulo original.
Cuando domines estos, prueba los problemas de mezclas, cifras, descuentos y encuentros de ciclistas más difíciles:
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ pesos. Al día siguiente, aprovechando una oferta,…
En una tienda de informática, un usuario compra 3 teclados mecánicos y 2 ratones inalámbricos por un total de $135$ pesos. Al día siguiente, aprovechando una oferta, compra 2 teclados y 4 ratones por $111$ pesos. Sin embargo, la oferta consistía en que los teclados tenían un $10\%$ de descuento y los ratones un $20\%$ sobre su precio original.
Calcula el precio original de cada artículo planteando un sistema de ecuaciones.
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y…
Un laboratorio químico necesita preparar $10$ litros de una solución ácida al $25\%$. Para ello, dispone de dos garrafas: una con una concentración del $15\%$ de ácido y otra con una concentración del $40\%$. ¿Qué cantidad de litros debe mezclar de cada garrafa para obtener la solución deseada?
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un…
La suma de las dos cifras de un número es $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar dicho número.
(Pista: Un número de dos cifras se escribe como $10x + y$).
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido…
Dos ciclistas, Elena y Marco, están a una distancia de $36$ km. Si avanzan el uno hacia el otro, tardan $45$ minutos en encontrarse. Si avanzan en el mismo sentido (Elena persiguiendo a Marco), Elena tarda $3$ horas en alcanzarlo.
Calcula la velocidad de cada ciclista en km/h planteando un sistema de ecuaciones.
Un repaso de geometría: área lateral de un tronco de pirámide
Uno de los ejercicios difíciles mezcla álgebra con geometría: hay que pintar las caras de un tronco de pirámide. No lleva sistema de ecuaciones, pero sí cuentas ordenadas. Un tronco de pirámide cuadrangular regular es una pirámide a la que se le cortó la punta con un plano paralelo a la base. Tiene dos bases cuadradas (la grande y la chica) y cuatro caras laterales iguales, cada una un trapecio.
El área de un trapecio es $\dfrac{(B + b)}{2} \cdot h$. Aquí su altura $h$ no es la altura del tronco, sino la apotema $a$: la altura de la cara inclinada. Se obtiene con un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras, $a^2 = c_1^2 + c_2^2$):
-
un cateto es la altura del tronco;
-
el otro cateto es la diferencia de las mitades de los lados: $\dfrac{B - b}{2}$;
-
la hipotenusa es la apotema $a$.
Calcula el coste de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de…
Calcula el coste de pintar la superficie lateral de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ de lado y su altura es de $1.5\text{ m}$, sabiendo que el precio es de $85\text{ \$/m}^2$.
Vuelve al principio: el sistema de la papelería era $2x + 3y = 36$ y $2x + y = 24$. Al resolverlo salió $x = 9$ e $y = 6$: cada pluma cuesta 9 pesos y cada borrador 6 pesos.