Volumen de cuerpos geométricos
¿Cuánta agua cabe en una alberca? ¿Cuánto helado cabe en un cono de la nevería? Las dos preguntas son de volumen: el espacio que ocupa un cuerpo. Al final de la página las respondemos.
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro son como una "pila" de bases iguales, una encima de otra. Su volumen es el área de la base por la altura. Cuantas más capas, más volumen.
$$V = A_{base} \times h \qquad \text{Prisma rectangular: } V = a \times b \times c \qquad \text{Cilindro: } V = \pi r^2 h$$Compraste un nuevo celular y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu repisa. La caja es un prisma rectangular con las siguientes…
Compraste un nuevo celular y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu repisa. La caja es un prisma rectangular con las siguientes dimensiones: $16 \text{ cm}$ de largo, $9 \text{ cm}$ de ancho y $5 \text{ cm}$ de alto. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$.
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$,…
Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$, calcula el volumen de refresco que puede contener la lata. (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de…
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricante indica que el batido ocupa el $90\%$ de la capacidad total del envase para dejar espacio al aire, calcula cuántos mililitros ($ml$) de producto contiene cada bote.
Otras bases: triángulo, trapecio y hexágono
La regla $V = A_{base} \times h$ sirve para cualquier prisma recto. Solo cambia cómo calculas el área de la base:
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Triángulo: $\dfrac{b \times h}{2}$
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Trapecio: $\dfrac{(B + b) \times h}{2}$
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Hexágono regular de lado $l$: se divide en 6 triángulos equiláteros, cada uno con área $\dfrac{\sqrt{3}}{4} l^2$.
El principio de Cavalieri. Si dos cuerpos tienen la misma altura y todas sus secciones paralelas a la base tienen la misma área, tienen el mismo volumen. Por eso un prisma y un cilindro con la misma altura y la misma área de base tienen igual volumen, aunque se vean muy distintos.
Estás de campamento con tus amigos y tienen una tienda de campaña con forma de prisma triangular recto. La base de la tienda (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$…
Estás de campamento con tus amigos y tienen una tienda de campaña con forma de prisma triangular recto. La base de la tienda (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y $1.5 \text{ m}$ de altura. Si la tienda tiene una longitud (profundidad) de $3 \text{ m}$, ¿cuál es el volumen de aire que hay dentro de la tienda?
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen.…
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura y $30\text{ cm}^2$ de área de la base con un cilindro de la misma altura y el mismo área de la base. Si vertemos $0.5\text{ litros}$ de agua en cada uno, ¿cuál se llenará primero? Justifica tu respuesta calculando el volumen de ambos.
Se desea construir una rampa de concreto para un parque de skate*. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden…
Se desea construir una rampa de concreto para un parque de skate. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden $3\text{ m}$ y $1\text{ m}$, y su altura (longitud de la base de la rampa en el suelo) es de $5\text{ m}$. Si el ancho de la rampa es de $4\text{ m}$, calcula cuántos metros cúbicos de concreto se necesitan y el costo total si el precio es de $1\,900\text{ \$/m}^3$.
Pirámides y conos: un tercio
Si llenas de agua una pirámide y la vacías en un prisma con la misma base y la misma altura, necesitas exactamente tres pirámides para llenarlo. Con el cono y el cilindro pasa lo mismo.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \times h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de…
Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de $9 \text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricar este pisapapeles.
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$,…
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$, ¿qué volumen de aire queda "atrapado" dentro del gorro cuando alguien lo lleva puesto? (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
Cuando falta la altura: Pitágoras
A veces te dan la generatriz de un cono o la arista lateral de una pirámide, no su altura. La altura, el radio (o la distancia al centro de la base) y esa arista forman un triángulo rectángulo, así que usas Pitágoras: $h^2 + d^2 = \text{arista}^2$.
En un cono: $h = \sqrt{g^2 - r^2}$. En una pirámide cuadrangular regular de lado $l$, la distancia del centro a una esquina es la mitad de la diagonal, $\dfrac{l\sqrt{2}}{2}$. En una pirámide hexagonal regular, esa distancia es igual al lado $l$.
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el volumen de perfume que cabe en el frasco expresado en centímetros cúbicos. Ayuda: primero deberás hallar la altura del cono usando el teorema de Pitágoras.
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la…
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de bronce necesario para fabricar un trofeo.
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono…
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Expresa el resultado en $cm^3$ aproximando a las unidades.
La esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera…
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ y toma $\pi \approx 3.14$).
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el…
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el volumen de gas en su interior? Expresa el resultado en metros cúbicos ($m^3$).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales combinan varios cuerpos: un silo (cilindro más semiesfera), un trofeo (prisma más pirámide). Se descomponen, se calcula el volumen de cada parte y se suman. Si hay un hueco, se resta.
Una semiesfera es la mitad de una esfera, así que su volumen es la mitad:
$$V_{semiesfera} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$$Si te dan la densidad $\rho$, la masa es $m = \rho \times V$. Cuida que las unidades coincidan: si $\rho$ está en g/cm³, el volumen va en cm³ y la masa sale en gramos.
Objetos que se sumergen. Un cuerpo sumergido desplaza un volumen de agua igual al suyo. Ese volumen es un cilindro del mismo radio que el recipiente, con altura igual a lo que sube el nivel.
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio…
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio de la base es de $4\text{ m}$, calcula la capacidad total del silo en hectolitros ($hl$).
Una pieza industrial de acero tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le hizo un…
Una pieza industrial de acero tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le hizo un orificio cilíndrico que atraviesa la pieza de arriba a abajo por su cara más grande. El radio del cilindro es de $2\text{ cm}$. Sabiendo que la densidad del acero es de $7.85\text{ g/cm}^3$, calcula la masa total de la pieza en kilogramos. (Considera $\pi \approx 3.14$).
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es…
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es de $10\text{ cm}$. Al introducir la esfera, el nivel del agua sube exactamente $4.5\text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el radio de la esfera de plomo? Expresa el resultado en centímetros con dos decimales.
Tronco de pirámide
Un tronco de pirámide es lo que queda al cortar la punta de una pirámide con un plano paralelo a la base. Su volumen es la pirámide grande menos la pirámide pequeña que quitaste. La pirámide pequeña es semejante a la grande, así que sus medidas están en la misma proporción.
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del…
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del depósito es de $3\text{ m}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su altura (es decir, el agua alcanza los $2.25\text{ m}$ desde la base), ¿cuántos litros de agua contiene? (Nota: Tendrás que usar la semejanza para hallar el lado de la superficie del agua).
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro…
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro con el mismo radio y la misma altura, pero dentro contiene una semiesfera de chocolate que ocupa la parte inferior. Si el radio de la semiesfera es también de $6\text{ cm}$, ¿cuál de los dos recipientes tiene mayor volumen disponible para el helado de vainilla? Razona la respuesta realizando los cálculos.
Del volumen a los litros
En los problemas te piden capacidad en litros o mililitros. Las equivalencias que necesitas:
| Volumen | Capacidad |
|---|---|
| $1$ cm³ | $1$ mL |
| $1$ dm³ | $1$ L |
| $1$ m³ | $1{,}000$ L |
| $1$ hL (hectolitro) | $100$ L |
Si un recipiente no se llena del todo, calcula primero el volumen del líquido (con la altura del líquido, no la del recipiente) o toma el porcentaje de la capacidad.
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18,500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos…
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18,500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos litros de agua podría contener si fuera totalmente impermeable?
Recuerda que $1 \text{ dm}^3$ es equivalente a $1 \text{ litro}$.
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de prisma rectangular. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y…
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de prisma rectangular. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de alto. Si lo llenamos de agua hasta una altura de $20 \text{ cm}$, ¿cuántos litros de agua le agregamos?
Una alberca municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la alberca es de $50\text{ metros}$ y el ancho…
Una alberca municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la alberca es de $50\text{ metros}$ y el ancho de $12\text{ metros}$, calcula la profundidad (altura) de la alberca. Si el municipio decide llenarla solo hasta los $4/5$ de su capacidad por seguridad, ¿cuántos litros de agua habrá en la alberca?
Vuelve al principio: a la alberca de $10 \times 5 \times 2$ m le caben $100{,}000$ L de agua. Y al cono de nevería de $3$ cm de radio y $10$ cm de altura le caben unos $94$ mL de helado, un tercio del cilindro con la misma base y altura.