Descomposición en factores primos

Indica a qué número corresponden las siguientes descomposiciones factoriales:

1. a) $2^{2} \times 3 \times 5$

1. b) $2^{3} \times 7$

1. c) $3^{2} \times 11$

Clasifica los siguientes números naturales en primos o compuestos. Recuerda que los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Completa el siguiente árbol de factores para el número $24$. Debes encontrar dos números que multiplicados den el nivel superior, hasta que todos los números de las puntas sean primos.

Escribe finalmente la descomposición de $24$ como producto de sus factores primos.

¿Cuál es el mayor número de dos cifras que tiene solo al $2$ y al $3$ como factores primos en su descomposición?

Ejemplo de ayuda: el número $6 = 2 \times 3$ cumple la condición, pero no es el mayor de dos cifras.

Completa los huecos de la siguiente descomposición factorial de un número utilizando la técnica de la barra vertical:

Escribe el resultado final de la descomposición utilizando potencias.

Realiza la descomposición factorial de los siguientes números. Expresa el resultado final en forma de producto de potencias:

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Copia en tu cuaderno este esquema de descomposición factorial y rellena los huecos vacíos (marcados con la letra $x$) con los números correspondientes:

Observa la descomposición factorial de los siguientes números:

$A = 2^{2} \times 3 \times 7$

$B = 2 \times 3^{2} \times 5$

Sin realizar las multiplicaciones, contesta razonadamente:

1. a) ¿Es el número $A$ múltiplo de $7$?
2. b) ¿Es el número $B$ divisible por $10$? (Pista: observa si tiene los factores necesarios para formar el $10$).
3. c) ¿Es el número $3$ un divisor de $A$?

Un profesor de Educación Física quiere organizar a sus $28$ alumnos en grupos iguales de más de $2$ personas pero menos de $10$, de modo que no sobre ningún alumno.

Utiliza la descomposición factorial de $28$ para encontrar todas las formas posibles de hacer los grupos.

Encuentra el número cuya descomposición factorial es $2^3 \times 3^2 \times 11$. Una vez hallado, explica si ese número es múltiplo de $6$ y de $22$ fijándote únicamente en sus factores primos (sin realizar divisiones).

A partir de la descomposición en factores primos del número $150$, responde a las siguientes cuestiones razonando tu respuesta:

1. a) ¿Es $150$ divisible por $10$?
2. b) ¿Es $150$ divisible por $4$?
3. c) ¿Es $150$ divisible por $15$?

Un diseñador de videojuegos quiere organizar un almacén virtual de objetos. Para ello, necesita saber cuántos divisores tiene el número de cajas disponibles, que es $360$.

1. a) Realiza la descomposición factorial de $360$.
2. b) Utilizando la regla de los exponentes (sumar uno a cada exponente de la descomposición y multiplicarlos), calcula el número total de divisores que tiene $360$.

El volumen de una caja con forma de cubo es exactamente $1728$ cm$^3$.

1. a) Descompón factorialmente el número $1728$.
2. b) Sabiendo que el volumen de un cubo se calcula como $V = l^3$ (donde $l$ es la arista), utiliza la descomposición anterior para agrupar los factores en tres grupos idénticos y halla la medida de la arista.

Decimos que un número es un cuadrado perfecto si todos los exponentes de su descomposición factorial son números pares.

1. a) Descompón factorialmente el número $180$. ¿Es un cuadrado perfecto?
2. b) ¿Cuál es el número más pequeño por el que tendrías que multiplicar $180$ para que el resultado sí sea un cuadrado perfecto? Justifica tu respuesta analizando los exponentes.

Realiza la descomposición en factores primos de los números $720$ y $1260$ utilizando el método de la barra vertical. Una vez obtenidas las expresiones en forma de potencia, indica qué factores primos tienen en común y cuál es el mayor exponente con el que aparece cada uno en ambas descomposiciones.

Un fotógrafo profesional de Instagram quiere organizar su muro de fotos. Tiene $210$ imágenes y quiere publicarlas en bloques iguales.

1. a) Descompón $210$ en factores primos.
2. b) Escribe cuatro formas diferentes de agrupar las fotos (por ejemplo: "3 bloques de 70 fotos") utilizando combinaciones de sus factores primos.

Considera dos números naturales, $A$ y $B$, cuyas descomposiciones factoriales son las siguientes:

$A = 2^{3} \times 3^{x} \times 5^{2}$

$B = 2^{y} \times 3^{3} \times 7^{1}$

Sabiendo que el Máximo Común Divisor de ambos es $M.C.D.(A, B) = 36$, averigua el valor de las incógnitas $x$ e $y$. Una vez halladas, calcula el valor del mínimo común múltiplo $m.c.m.(A, B)$ expresado también en su forma de descomposición factorial.

Un alumno de 2° de secundaria afirma que ha encontrado un número $X$ cuya descomposición factorial es $2^{2} \times 3^{4} \times 6^{2} \times 5$.

1. Explica por qué esa expresión no es una descomposición factorial válida.

2. Corrige la expresión para que sea una descomposición en factores primos real.

3. Sin calcular el valor numérico de $X$, determina cuántos divisores tiene. Muestra el proceso de cálculo paso a paso.