Proporcionalidad inversa
Cuatro personas limpian el patio de la secundaria en 30 minutos. Si llegan 2 más, ¿tardarán lo mismo, más o menos? Y, ¿cuánto exactamente? Cuantas más personas trabajan, menos tiempo se tarda. En estos problemas, al multiplicar una cantidad por un número, la otra se divide entre ese mismo número. Eso es la proporcionalidad inversa.
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
Por ejemplo: si el número de personas se duplica, el tiempo se reduce a la mitad; si se triplica, el tiempo se reduce a la tercera parte.
La gráfica de una proporcionalidad inversa es una curva llamada hipérbola. Fíjate: no es una recta, y por eso no se parece a la de la proporcionalidad directa.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de personas que pintan una valla y el tiempo que tardan en terminarla.
- b) El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.
- c) La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que emplea en recorrer la distancia entre dos ciudades.
- d) El número de páginas de un libro y su peso.
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que…
Para montar el escenario de un festival de música, $4$ operarios han trabajado durante $12$ horas. Si el festival decide contratar a un total de $8$ operarios que trabajen al mismo ritmo, ¿cuántas horas tardarán en montar el mismo escenario?
El producto constante
En la proporcionalidad directa la constante es el cociente $y/x$. En la inversa, la constante es el producto $x \times y$.
Completar tablas
En una tabla de proporcionalidad inversa, calcula primero $k$ con un par completo y luego divide $k$ entre el otro dato. Por ejemplo, si $k = 12$:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 |
Si ves que el producto $x \times y$ no es siempre el mismo, la relación no es de proporcionalidad inversa.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$. |…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$.
| Magnitud $A$ | $2$ | $4$ | $8$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|
| Magnitud $B$ | $12$ | $6$ | ... | ... |
Un grupo de amigos quiere rentar una camioneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $300$ pesos. Calcula cuánto tendría que pagar cada uno si…
Un grupo de amigos quiere rentar una camioneta para ir de excursión. Si van $6$ amigos, cada uno debe pagar $300$ pesos. Calcula cuánto tendría que pagar cada uno si finalmente se suman $10$ personas al viaje.
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ pesos en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar…
Un grupo de amigos ha ganado un premio de $300$ pesos en un concurso de robótica y han decidido repartirlo a partes iguales. Completa la siguiente tabla para averiguar cuánto dinero recibiría cada uno dependiendo del número de personas que formen el grupo. Indica también cuál es la constante de proporcionalidad inversa.
| Número de amigos ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero por persona ($y$) | $150$ | ? | ? | ? | ? |
En la gráfica puedes ver marcado el caso de $2$ amigos.
Regla de tres inversa
Cuidado con las unidades y los cambios de ritmo
A veces el problema no habla de personas, sino de velocidad y tiempo (distancia fija), de caudal y tiempo (capacidad fija), o de base y altura (área fija). En todos, el producto es la cantidad fija. Por ejemplo, si un viaje de 4 horas a 90 km/h se hace a 60 km/h: $90 \times 4 = 360$ km, y $360 \div 60 = 6$ horas.
Si tienes dos cambios (personas y ritmo), calcula primero la cantidad total de trabajo y después divide entre lo nuevo.
Marta hizo un viaje en auto a una velocidad constante de $90$ km/h y tardó $4$ horas. Si para el viaje de regreso decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ km/h,…
Marta hizo un viaje en auto a una velocidad constante de $90$ km/h y tardó $4$ horas. Si para el viaje de regreso decide ir más despacio, a una velocidad de $60$ km/h, ¿cuánto tiempo tardará en hacer el mismo recorrido?
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h…
Un dron de reparto tarda $12$ minutos en entregar un paquete desplazándose a una velocidad de $40$ km/h. Si el centro de control decide aumentar su velocidad a $60$ km/h para el siguiente envío al mismo lugar, ¿cuánto tiempo tardará en llegar?
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar…
Seis impresoras de alta velocidad tardan $4$ horas y $30$ minutos en imprimir $5000$ folletos publicitarios. Si dos de las impresoras sufren una avería antes de empezar el trabajo, ¿cuántas horas y minutos tardarán las impresoras restantes en realizar el mismo encargo?
Engranes y repartos inversos
Dos engranes conectados: el que tiene más dientes gira más despacio. Dientes × vueltas por minuto es constante.
También se puede repartir inversamente: quien tardó menos recibe más. Se reparte en partes proporcionales a $\dfrac{1}{\text{tiempo}}$.
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos engranajes están conectados. El primero tiene $12$ dientes y da $20$ vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará el segundo engranaje si tiene $24$ dientes?
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$…
Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene $48$ dientes y gira a $150$ vueltas por minuto (rpm). ¿A qué velocidad girará la segunda rueda si tiene $30$ dientes?
Tres amigos deciden repartirse los $282$ pesos obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en…
Tres amigos deciden repartirse los $282$ pesos obtenidos en un premio de un concurso de robótica de forma inversamente proporcional a los minutos que han tardado en resolver su prueba final. Si el primer amigo tardó $12$ minutos, el segundo $15$ minutos y el tercero $20$ minutos, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Vuelve al principio: si 4 personas tardan 30 minutos, el trabajo total es $4 \times 30 = 120$ persona-minutos. Con 6 personas tardan $120 \div 6 = 20$ minutos.