Estudio de las rectas

Dada la función lineal $y = -2x$, indica razonadamente:

• a) ¿Cuál es el valor de su pendiente ($m$)?

• b) ¿La función es creciente o decreciente?

• c) ¿Pasa la gráfica por el origen de coordenadas $(0, 0)$?

La renta de un scooter eléctrico tiene un costo de $\$20$ por el desbloqueo inicial y $\$10$ por cada minuto de uso. La función que relaciona el costo ($y$) con el tiempo en minutos ($x$) es $y = 10x + 20$.

Calcula cuánto costará un viaje que dure $10$ minutos.

Un nuevo servicio de streaming de música ofrece una suscripción que cuesta $\$60$ por cada mes contratado.

• a) Completa la siguiente tabla de valores que relaciona el tiempo en meses ($x$) con el costo total ($y$):

• b) Escribe la ecuación de la función de proporcionalidad directa que representa esta situación.

Para que una gráfica represente una función, a cada valor de la variable independiente $x$ le debe corresponder un único valor de la variable dependiente $y$. Observa las siguientes gráficas e indica razonadamente cuál de ellas no es una función. Para razonarlo, imagina rectas verticales que recorren cada gráfica y fíjate en cuántos puntos la cortan.

Un estacionamiento para bicicletas en el centro de la ciudad cobra una tarifa fija de $\$40$ al día, sin importar cuántas horas dejes la bicicleta estacionada.

• a) Representa esta situación mediante una tabla de valores (horas vs. costo).

• b) ¿Qué tipo de función es: de proporcionalidad directa (y = mx), lineal con ordenada al origen distinta de cero o constante?

• c) ¿Cuál sería su ecuación?

Asocia cada una de las siguientes ecuaciones de rectas con su descripción correspondiente:

1. $y = 3$

2. $x = -2$

3. $y = 3x$

4. $y = -x + 3$

A) Recta que pasa por el origen y tiene pendiente positiva.

B) Función constante que representa una línea horizontal.

C) Recta con pendiente negativa y ordenada al origen igual a $3$.

D) Línea vertical que no representa una función.

Encuentra la pendiente ($m$) y la ordenada al origen ($n$) de la recta representada en la siguiente gráfica. A continuación, escribe su ecuación de la forma $y = mx + n$.

Observa la siguiente gráfica que muestra el recorrido de una persona que camina a velocidad constante. Indica si la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es de proporcionalidad directa y calcula su constante de proporcionalidad (la pendiente).

Dada la siguiente gráfica que representa una función lineal, realiza los siguientes pasos:

1. a) Identifica visualmente la ordenada al origen ($n$).
2. b) Calcula la pendiente ($m$) utilizando dos puntos de la recta por los que pase exactamente (por ejemplo, los puntos de intersección con los ejes).
3. c) Escribe la ecuación explícita de la recta de la forma $y = mx + n$.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$. Para ello:

1. Calcula primero la pendiente $m$ mediante la fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Sustituye la pendiente y uno de los puntos en la ecuación $y = mx + n$ para encontrar el valor de $n$.

3. Escribe la ecuación final y di si la función es creciente o decreciente justificando tu respuesta según el valor de la pendiente.

Se sabe que una función lineal tiene como representación gráfica una recta que pasa por el punto $A(3, -2)$. Además, sabemos que esta recta forma un triángulo con los ejes de coordenadas cuya área es de $4$ unidades cuadradas, y su ordenada al origen es un número entero positivo.

a) Determina el valor de la ordenada al origen ($n$).

b) Calcula la pendiente ($m$) de la recta.

c) Escribe la ecuación de la recta y comprueba que el punto $A$ pertenece a ella.

Un dron se encuentra inicialmente a una altura de $40$ metros. Al pulsar el botón de "regreso a base", el dron comienza a descender de forma constante a una velocidad de $4$ metros por segundo. La figura muestra solo el comienzo del descenso.

1. a) Define las variables independiente y dependiente de este problema.

1. b) Escribe la ecuación de la función que relaciona la altura del dron ($y$) con el tiempo transcurrido ($x$) desde que se pulsó el botón.

1. c) ¿Cuál es la altura del dron tras $6$ segundos? ¿Cuánto tiempo tarda en aterrizar totalmente (altura $0$)?

La batería de una laptop se descarga de forma lineal. A las 10:00 de la mañana, la batería estaba al $90\%$. A las 12:30 de la tarde, el nivel había bajado al $45\%$.

a) Si llamamos $x$ al tiempo transcurrido en horas desde las 10:00, halla la ecuación de la función que da el porcentaje de batería restante.

b) ¿Cuál es la pendiente de la función? Explica su significado en este contexto realista.

c) ¿A qué hora exacta se agotará la batería por completo si el consumo sigue siendo el mismo?

Un depósito de agua de $1000$ litros tiene una fuga. Cada hora que pasa, el volumen de agua disminuye en una cantidad constante. A las $3$ horas de detectar la fuga, quedan $850$ litros.

a) Encuentra la ecuación de la función lineal que relaciona el tiempo transcurrido ($x$) con el volumen de agua en el depósito ($y$).

b) Si no se repara la fuga, ¿cuánta agua quedará a las $10$ horas?

c) Representa la función e indica el dominio y el rango de la función tomando en cuenta el contexto físico del problema (el tiempo no puede ser negativo y el volumen no puede ser menor que cero).

Determina la ecuación de la recta que cumple las siguientes dos condiciones:

• Es paralela a la recta $y = -3x + 5$.

• Pasa por el punto $P(0, 4)$.

Explica qué característica deben compartir dos rectas para ser paralelas y cómo utilizaste el punto $P$ para hallar la ordenada al origen.

Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$.

1. a) ¿Qué relación geométrica observas entre ambas rectas?

1. b) Justifica tu respuesta anterior comparando sus ecuaciones.

1. c) ¿Se cortarán en algún punto estas dos rectas? Razona tu respuesta.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = ax + 3$ y $g(x) = -2x + b$:

a) Si ambas rectas son paralelas y la recta $g(x)$ pasa por el punto $P(1, 4)$, calcula los valores de $a$ y $b$.

b) Una vez hallados $a$ y $b$, calcula el punto donde la recta $f(x)$ corta al eje de abscisas (eje $X$).

c) ¿Es alguna de estas funciones una función constante? Justifica tu respuesta.

En una competencia de drones, el "Dron A" sigue una trayectoria rectilínea representada por la función $y = \frac{3}{2}x + 2$. Se quiere lanzar un "Dron B" cuya trayectoria sea una línea recta paralela a la del "Dron A", pero que pase obligatoriamente por el punto donde se encuentra una baliza situada en las coordenadas $P(-4, -1)$.

a) Determina la ecuación de la función lineal que describe la trayectoria del "Dron B".

b) ¿En qué punto cortará la trayectoria del "Dron B" al eje de las ordenadas (eje $Y$)?

c) Representa gráficamente ambas trayectorias e indica si alguna de ellas es una función de proporcionalidad directa.

Dos empresas de renta de scooters eléctricos tienen tarifas diferentes. La empresa EcoRolling cobra $\$4$ por cada minuto de uso sin cuota fija. La empresa FastGlide cobra una cuota fija de $\$40$ por desbloquear el scooter y luego $\$2$ por cada minuto.

1. a) Escribe la función que relaciona el costo total ($y$) con el tiempo de uso en minutos ($x$) para cada una de las empresas.
2. b) Indica cuál de las dos es una función de proporcionalidad directa (lineal) y cuál es una función lineal con ordenada al origen distinta de cero.
3. c) ¿A partir de cuántos minutos de trayecto empieza a ser más barata la opción de FastGlide?

Dos compañías de fibra óptica ofrecen las siguientes tarifas mensuales:

• NetRápido: $400$ pesos fijos al mes más $10$ pesos por cada GB de descarga extra.

• FibraTotal: Sin costo fijo, pero cobra $26$ pesos por cada GB de descarga.

a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo mensual ($y$) con los GB extra ($x$) para cada compañía.

b) ¿A partir de cuántos GB de descarga extra empieza a ser más rentable la compañía NetRápido? (Encuentra el punto de intersección de ambas rectas).

c) Si un mes consumes $30$ GB extra, ¿cuál es la diferencia de precio entre ambas?

Un creador de contenido digital ha analizado el crecimiento de sus seguidores. Durante el primer mes, su crecimiento siguió una función lineal que pasaba por los puntos $A(2, 500)$ y $B(5, 1250)$, donde $x$ es el día del mes e $y$ el número de seguidores. Sin embargo, a partir del día 15, debido a un video viral, su crecimiento pasó a ser otra función lineal paralela a la anterior pero que en el día $x = 16$ ya alcanzaba los $5000$ seguidores.

a) Halla la ecuación de la función lineal del primer tramo (días 1 al 15).

b) Halla la ecuación de la nueva función a partir del día 15.

c) ¿Cuántos seguidores tenía el día 20 según esta segunda función?

Halla la ecuación de la recta $r$ que cumple las siguientes condiciones simultáneamente:

1. Es decreciente.

2. Su pendiente es el doble (en valor absoluto) de la pendiente de la recta que pasa por los puntos $C(0, 1)$ y $D(2, 2)$.

3. Pasa por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 5$ e $y = 3$.

a) Calcula primero la pendiente de la recta que pasa por $C$ y $D$.

b) Determina el punto de intersección mencionado en el punto 3.

c) Escribe la ecuación final de la recta $r$.

Un grupo de amigos está diseñando un nuevo logo para su club de videojuegos en un papel cuadriculado. Escribe las coordenadas de los puntos destacados en la gráfica que forman los vértices del diseño.