Regla de Laplace
En una bolsa hay 5 canicas rojas y 3 azules. Sin ver, metes la mano y sacas una. ¿Qué es más probable, que salga roja o azul? A simple vista lo sospechas, pero con matemáticas podemos decirlo con un número exacto.
Casos favorables y casos posibles
Cuando todos los resultados de un experimento son igual de probables (un dado sin trucar, las cartas de una baraja, canicas idénticas salvo el color), se usa la regla de Laplace:
$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}}$$Cambia las cantidades y observa cómo las frecuencias se acercan a la probabilidad calculada:
Se lanza un dado justo. Calcula la probabilidad de cada evento: a) Sacar un $3$. b) Sacar un número par. c) Sacar un número mayor que $4$. d) No sacar un $6$.
Se lanza un dado justo. Calcula la probabilidad de cada evento:
a) Sacar un $3$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un número mayor que $4$.
d) No sacar un $6$.
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de: a) Sacar bola roja. b) Sacar bola verde. c)…
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar.
Calcula la probabilidad de:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
Asigna su probabilidad a cada evento y explica por qué: a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$. b) Al lanzar un dado, sacar un $8$. c) Al extraer una carta…
Asigna su probabilidad a cada evento y explica por qué:
a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$.
b) Al lanzar un dado, sacar un $8$.
c) Al extraer una carta de una baraja española, que sea de oros, copas, espadas o bastos.
El evento complementario
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros? b) Si $P(A) = 0.35$, ¿cuánto vale la probabilidad…
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros?
b) Si $P(A) = 0.35$, ¿cuánto vale la probabilidad del evento complementario de $A$?
c) En una urna solo hay bolas rojas, azules y verdes. Si la probabilidad de sacar bola roja es $\frac{2}{7}$ y la de sacar bola azul es $\frac{3}{7}$, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola verde?
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) No sea blanca. b) Sea blanca o azul. c) Sea…
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) No sea blanca.
b) Sea blanca o azul.
c) Sea amarilla.
d) No sea amarilla.
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) De fresa. b) De limón o de menta. c) Que no sea de…
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar.
Calcula la probabilidad de que sea:
a) De fresa.
b) De limón o de menta.
c) Que no sea de manzana.
d) De naranja.
Eventos con «o»
Para «sacar A o B» se cuentan los casos favorables de cualquiera de los dos. Si un caso cumple ambas condiciones, se cuenta una sola vez.
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea: a) Múltiplo de $4$. b) Múltiplo de $5$. c) Múltiplo de $4$ y de $5$. d) Múltiplo de $4$ o…
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Múltiplo de $4$.
b) Múltiplo de $5$.
c) Múltiplo de $4$ y de $5$.
d) Múltiplo de $4$ o de $5$.
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de que sea: a) De oros o una figura. b) De copas o un as. c) Ni figura ni as. d) Del…
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de que sea:
a) De oros o una figura.
b) De copas o un as.
c) Ni figura ni as.
d) Del palo de bastos o una carta numerada menor que $4$ (el as cuenta como $1$).
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado: a) Contenga…
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado:
a) Contenga la cifra $7$.
b) Sea múltiplo de $10$.
c) Empiece por la cifra $1$.
d) Tenga sus tres cifras iguales.
Experimentos compuestos
Con dos dados, dos monedas o una moneda y un dado, primero se cuentan todos los casos posibles con una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol, y luego se aplica Laplace.
Se lanzan una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener: a) Águila y un $6$. b) Sol y un número impar. c) Águila y un número menor que $5$.
Se lanzan una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Águila y un $6$.
b) Sol y un número impar.
c) Águila y un número menor que $5$.
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de obtener: a) Exactamente dos águilas. b) Algún sol. c) Tres resultados iguales. d)…
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de obtener:
a) Exactamente dos águilas.
b) Algún sol.
c) Tres resultados iguales.
d) Exactamente un águila.
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es…
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es $\frac{1}{3}$».
a) Explica por qué su razonamiento es incorrecto.
b) Escribe el espacio muestral correcto, teniendo en cuenta el orden de nacimiento, y calcula la probabilidad correcta.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una chica?
Ruletas, relojes y sectores desiguales
Si una ruleta no tiene sectores iguales, cada sector ya no es «un caso». Lo que sí es proporcional a la probabilidad es su ángulo.
El mismo razonamiento sirve para el reloj: si giras la manecilla de las horas al azar, la vuelta completa son $12$ horas. Por ejemplo, que marque entre las $3$ y las $4$ tiene probabilidad $\dfrac{1}{12}$.
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector verde. c) Un…
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector verde.
c) Un sector que no sea amarillo.
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector amarillo. c)…
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector amarillo.
c) El sector azul o el verde.
d) Un sector que no sea rojo.
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora: a) Entre las $3$ y las $4$. b) Anterior a las $6$. c)…
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora:
a) Entre las $3$ y las $4$.
b) Anterior a las $6$.
c) Posterior a las $10$.
d) Entre las $2$ y las $8$.
Tablas de datos y casos que cambian
A veces los casos posibles salen de una tabla de datos, o se reducen porque ya sabemos algo («sabiendo que…», o «sin devolver» la carta o la bola).
Cuando faltan datos: plantear una ecuación
Los alumnos de una escuela que practican deporte extraescolar se distribuyen así: | | fútbol | natación | tenis | |---|---|---|---| | $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ | $4$ |…
Los alumnos de una escuela que practican deporte extraescolar se distribuyen así:
| fútbol | natación | tenis | |
|---|---|---|---|
| $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ | $4$ |
| $1.º$-$2.º$ Secundaria | $16$ | $4$ | $15$ |
Se elige un alumno al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea de Primaria.
b) Practique natación.
c) Sea de Primaria y juegue tenis.
d) Sabiendo que es de Secundaria, practique tenis.
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso. a) Construye…
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso.
a) Construye una tabla de doble entrada (chicas/chicos frente a todo aprobado/algún suspenso).
b) Si elegimos a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y haya aprobado todo?
c) Sabiendo que la persona elegida tiene algún suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación…
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación y resuélvela.
Vuelve al principio: en la bolsa hay $5+3=8$ casos posibles, así que $P(\text{roja}) = \dfrac{5}{8} = 0.625 = 62.5\,\%$ y $P(\text{azul}) = \dfrac{3}{8} = 0.375 = 37.5\,\%$. Como $0.625 > 0.375$, es más probable sacar una canica roja.