Medida del volumen
Un garrafón de agua trae 20 litros y la cisterna de una casa se mide en metros cúbicos. ¿Cuántos garrafones caben en una cisterna de $2\ \text{m}^3$? Para contestar hay que saber moverse entre unidades de volumen y de capacidad.
La escalera de las unidades de volumen
El volumen se mide en unidades cúbicas: $1\ \text{cm}^3$ es el espacio que ocupa un cubito de 1 cm de arista. En longitud cada escalón es $\times 10$, pero en volumen cada unidad es 1,000 veces la siguiente, porque $10 \times 10 \times 10 = 1{,}000$.
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura. a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo? b) Usando la escalera,…
Observa la escalera de unidades de volumen de la figura.
a) ¿Por qué número se multiplica al bajar un peldaño? ¿Y por cuál se divide al subirlo?
b) Usando la escalera, expresa $2.4\ \text{m}^3$ en decímetros cúbicos y en centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas: a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos. b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos. c) $0.75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Convierte a las unidades indicadas:
a) $3\ \text{m}^3$ a decímetros cúbicos.
b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metros cúbicos.
c) $0.75\ \text{dm}^3$ a centímetros cúbicos.
Al convertir $2.5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2.5\ \text{m}^3 = 2.5 \times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$. a) Explica el error que…
Al convertir $2.5\ \text{m}^3$ a centímetros cúbicos, Mihai escribe en su cuaderno: $2.5\ \text{m}^3 = 2.5 \times 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.
a) Explica el error que ha cometido.
b) Realiza la conversión correcta.
c) ¿Cuántos litros son $2.5\ \text{m}^3$?
¿Qué unidad elegir?
Elige la unidad según el tamaño del objeto: $\text{cm}^3$ para un terrón de azúcar o una lata, $\text{dm}^3$ para una mochila o una lavadora, $\text{m}^3$ para una alberca o una cisterna, y $\text{hm}^3$ o $\text{km}^3$ para una presa.
¿En qué unidad expresarías el volumen de cada uno de estos objetos? Elige entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifica tu elección: a)…
¿En qué unidad expresarías el volumen de cada uno de estos objetos? Elige entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ y $\text{hm}^3$, y justifica tu elección:
a) Un terrón de azúcar.
b) Una mochila.
c) El agua de una presa.
d) Una alberca municipal.
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta: a) Una lata de refresco: $3.3\ \text{cm}^3$,…
De los tres valores propuestos para cada volumen, solo uno es razonable. Elígelo y justifica tu respuesta:
a) Una lata de refresco: $3.3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ o $3.3\ \text{dm}^3$.
b) Una lavadora: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ o $2.5\ \text{m}^3$.
c) Un vaso de agua: $25$ ml, $250$ ml o $2.5$ l.
Volumen y capacidad
La capacidad mide cuánto líquido cabe en un recipiente y se expresa en litros. Volumen y capacidad son la misma idea con distintas unidades, y la relación es muy sencilla.
Con esto se cierra la pregunta del inicio: caben 100 garrafones.
Otras unidades de capacidad que aparecen: el hectolitro, con $1\ \text{hL} = 100\ \text{L}$. Por ejemplo, $2{,}500\ \text{L} = 2{,}500 \div 100 = 25\ \text{hL}$. Ojo: no lo confundas con el $\text{hm}^3$, que es una unidad de volumen enorme.
Litros por metro cuadrado y milímetros de lluvia
Cuando el pronóstico dice que cayeron «30 litros por metro cuadrado», se refiere a que sobre cada $1\ \text{m}^2$ de suelo cayeron 30 L. Un litro es $1\ \text{dm}^3$ y un metro cuadrado mide $10\ \text{dm} \times 10\ \text{dm}$, así que 1 L repartido en $1\ \text{m}^2$ forma una capa de $\frac{1\ \text{dm}^3}{100\ \text{dm}^2} = 0.01\ \text{dm}$ de altura, es decir, 1 mm.
Completa en tu cuaderno: a) $75\ \text{l} =$ $\text{dm}^3$ b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ litros c) $0.5\ \text{m}^3 =$ litros
Completa en tu cuaderno:
a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$
b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litros
c) $0.5\ \text{m}^3 =$ ____ litros
Un depósito de agua tiene un volumen de $2.5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito de agua tiene un volumen de $2.5\ \text{m}^3$. ¿Cuántos litros de agua caben en él? ¿Cuántas garrafas de $5$ litros se podrían llenar?
Un depósito contiene $1.2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Un depósito contiene $1.2\ \text{m}^3$ de agua. ¿Cuántas botellas de $750$ ml se pueden llenar con ella?
Una alberca desmontable mide $3\ \text{m}$ de largo, $2\ \text{m}$ de ancho y $0.75\ \text{m}$ de profundidad. a) ¿Cuántos litros de agua caben en la alberca? b) Si se…
Una alberca desmontable mide $3\ \text{m}$ de largo, $2\ \text{m}$ de ancho y $0.75\ \text{m}$ de profundidad.
a) ¿Cuántos litros de agua caben en la alberca?
b) Si se llena con una manguera que vierte $15$ litros por minuto, ¿cuántas horas tarda en llenarse?
Durante una tormenta han caído $45$ litros por metro cuadrado. a) ¿A cuántos milímetros de altura de agua equivale esa lluvia? b) ¿Cuántos litros han caído sobre un…
Durante una tormenta han caído $45$ litros por metro cuadrado.
a) ¿A cuántos milímetros de altura de agua equivale esa lluvia?
b) ¿Cuántos litros han caído sobre un jardín de $60\ \text{m}^2$?
c) ¿Cuántos metros cúbicos son?
Un garaje de $45\ \text{m}^2$ de superficie se ha inundado y el agua alcanza $0.6\ \text{m}$ de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca $45$ litros por minuto.…
Un garaje de $45\ \text{m}^2$ de superficie se ha inundado y el agua alcanza $0.6\ \text{m}$ de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca $45$ litros por minuto.
a) ¿Cuántos litros de agua hay en el garaje?
b) ¿Cuánto tiempo tardará la bomba en vaciarlo? Expresa el resultado en horas.
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro. b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litros. c) $1\ \text{cm}^3$ de agua…
Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:
a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro.
b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litros.
c) $1\ \text{cm}^3$ de agua tiene una masa de $1$ gramo.
d) Para pasar de $\text{m}^3$ a $\text{cm}^3$ se multiplica por $1\,000$.
Forma compleja
A veces un volumen se escribe repartido en varias unidades, como $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3$. Es la forma compleja: cada parte debe estar entre 0 y 999 (salvo la mayor).
Volúmenes muy grandes: notación científica
Una presa guarda millones de litros, y escribirlos con todos sus ceros es incómodo. La notación científica los escribe como $a \times 10^n$, con $1 \le a < 10$. Como $1\ \text{hm}^3 = 1{,}000{,}000\ \text{m}^3 = 1{,}000{,}000{,}000\ \text{L}$, entonces $1\ \text{hm}^3 = 10^9\ \text{L}$.
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en forma compleja: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Expresa en metros cúbicos y calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresa el resultado también en hectolitros.
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua. a) Expresa esa cantidad en litros. b) Si el consumo se reparte por igual…
Una comunidad de regantes consume en una semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de agua.
a) Expresa esa cantidad en litros.
b) Si el consumo se reparte por igual entre los $7$ días de la semana, ¿cuántos litros se consumen al día?
c) Expresa el consumo diario en metros cúbicos.
Un embalse tiene una capacidad de $0.45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad. a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene? b)…
Un embalse tiene una capacidad de $0.45\ \text{km}^3$. Tras un año de sequía está al $62\%$ de su capacidad.
a) ¿Cuántos hectómetros cúbicos de agua contiene?
b) ¿Cuántos litros son? Expresa el resultado en notación científica.
c) ¿Cuántos hectómetros cúbicos faltan para llenarlo por completo?
Volumen, capacidad y masa
El agua tiene una propiedad muy útil: 1 litro de agua pesa 1 kg, o sea $1\ \text{dm}^3$ de agua tiene masa de 1 kg y $1\ \text{cm}^3$ tiene masa de 1 g.
Para otros materiales se usa la densidad: la masa de cada unidad de volumen.
También sirve para medir objetos irregulares: al sumergir uno en agua, el volumen que ocupa es igual al volumen de agua que desplaza. Así lo hizo, según la leyenda, Arquímedes con la corona del rey.
Si el recipiente es un vaso cilíndrico, el agua que sube forma un cilindro pequeño. El volumen de un cilindro es el área de su base por su altura: $V = \pi r^2 h$. Aquí la altura es lo que sube el nivel.
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del…
Para medir el volumen de una piedra, la sumergimos en un vaso cilíndrico con agua, como se muestra en la figura. El diámetro interior del vaso es $8$ cm y el nivel del agua sube de $5$ cm a $8$ cm.
a) ¿Cuánto ha subido el nivel del agua?
b) Calcula el volumen de la piedra en centímetros cúbicos (toma $\pi \approx 3.14$).
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0.85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Un depósito vacío pesa $12$ kg y, lleno de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densidad del gasoil es $0.85\ \text{kg/dm}^3$, ¿cuántos litros de gasoil contiene el depósito?
Una bañera está llena de agua hasta el borde. Marta se introduce en ella y se desbordan $35$ litros de agua. a) ¿Cuál es el volumen, en decímetros cúbicos, de la parte…
Una bañera está llena de agua hasta el borde. Marta se introduce en ella y se desbordan $35$ litros de agua.
a) ¿Cuál es el volumen, en decímetros cúbicos, de la parte del cuerpo de Marta que queda sumergida?
b) Si Marta pesa $32$ kg, ¿cuál es la densidad media de su cuerpo en $\text{kg/dm}^3$? Compárala con la densidad del agua ($1\ \text{kg/dm}^3$) y explica por qué puede flotar.
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0.24\ \text{kg/dm}^3$. a) ¿Cuál es su masa? b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta…
Un bloque de corcho tiene un volumen de $25\ \text{dm}^3$ y una densidad de $0.24\ \text{kg/dm}^3$.
a) ¿Cuál es su masa?
b) ¿Flotará en agua? Razona la respuesta comparando las densidades.
c) ¿Qué volumen de corcho se necesitaría para tener una masa de $30$ kg?
Un bloque de hormigón de $1.5\ \text{m} \times 0.8\ \text{m} \times 0.4\ \text{m}$ tiene una densidad de $2\,400\ \text{kg/m}^3$. a) Calcula su volumen y su masa. b) Una…
Un bloque de hormigón de $1.5\ \text{m} \times 0.8\ \text{m} \times 0.4\ \text{m}$ tiene una densidad de $2\,400\ \text{kg/m}^3$.
a) Calcula su volumen y su masa.
b) Una grúa puede levantar hasta $1.5$ toneladas. ¿Puede mover el bloque?
c) ¿Podría mover dos bloques a la vez? Justifica la respuesta.
Cuenta la leyenda que Arquímedes descubrió cómo comprobar si la corona del rey era de oro puro midiendo el agua que desplazaba al sumergirla. En la figura, una corona de…
Cuenta la leyenda que Arquímedes descubrió cómo comprobar si la corona del rey era de oro puro midiendo el agua que desplazaba al sumergirla. En la figura, una corona de $750$ g se sumerge en una probeta con agua.
a) ¿Cuál es el volumen de la corona?
b) Calcula su densidad en $\text{g/cm}^3$.
c) Sabiendo que la densidad del oro es $19.3\ \text{g/cm}^3$ y la de la plata es $10.5\ \text{g/cm}^3$, ¿podría la corona ser de oro macizo? Razona la respuesta.
Un bloque de hielo de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ tiene una densidad de $0.92\ \text{kg/dm}^3$. a) Calcula su volumen en decímetros cúbicos.…
Un bloque de hielo de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ tiene una densidad de $0.92\ \text{kg/dm}^3$.
a) Calcula su volumen en decímetros cúbicos.
b) ¿Cuál es su masa?
c) Al derretirse, el agua resultante tiene una densidad de $1\ \text{kg/dm}^3$. ¿Qué volumen ocupará? ¿Ocupa más o menos que el hielo? ¿A qué crees que se debe?