Ejercicios y aplicaciones de la semejanza

La maqueta de una nueva unidad deportiva está construida a escala $1:200$. Si la alberca olímpica mide $25 \text{ cm}$ de largo en la maqueta, ¿cuántos metros medirá la alberca en la realidad?

Un mapa de carreteras tiene una escala $1:50,000$. Si la distancia entre dos pueblos vecinos en el mapa es de $12 \text{ cm}$, ¿cuántos kilómetros de distancia real los separan?

Dos municipios, A y B, están separados por $18$ km en la realidad. En un mapa de carreteras, esa distancia se representa mediante un segmento de $12$ cm.

1. Calcula la escala del mapa.

2. Si otros dos pueblos están separados en el mismo mapa por $7.5$ cm, ¿cuál es su distancia real en kilómetros?

Tenemos dos rectángulos semejantes. El primero mide $8 \text{ cm}$ de ancho y $12 \text{ cm}$ de alto. Si el segundo tiene un ancho de $20 \text{ cm}$, ¿cuál debe ser su altura para que mantenga la misma forma?

Un smartphone de $6 \text{ pulgadas}$ de diagonal tiene una pantalla que mide $13.2 \text{ cm}$ de alto y $7.4 \text{ cm}$ de ancho. Si queremos ver el mismo contenido en una tablet que es exactamente el doble de grande (razón de semejanza $k=2$), ¿cuáles serán las dimensiones de la pantalla de la tablet?

Una fotografía rectangular de $10 \times 15$ cm se quiere ampliar para hacer un póster. Si queremos que el lado más largo de la ampliación sea de $1.2$ metros:

1. ¿Cuánto medirá el lado corto del póster?

2. ¿Cuántas veces es mayor el área del póster que el área de la fotografía original?

En el plano de una vivienda a escala $1:75$, el salón tiene forma rectangular con unas dimensiones de $8$ cm de largo y $6$ cm de ancho. Calcula la superficie real del salón en metros cuadrados ($m^2$).

En un mapa de escala $1:25,000$, una reserva natural tiene forma de trapecio. En el papel, sus bases miden $4 \text{ cm}$ y $6 \text{ cm}$, y su altura es de $3 \text{ cm}$.

1. a) Calcula el área de la reserva en el mapa en $\text{cm}^2$.
2. b) Utilizando la razón de semejanza de las áreas, calcula el área real de la reserva en kilómetros cuadrados ($\text{km}^2$).
3. c) Si el gobierno decide ampliar la reserva aumentando todas sus dimensiones lineales un $20\%$, ¿cuál será la nueva superficie real?

Un diseñador de videojuegos está creando dos modelos de una torre defensiva. El modelo pequeño tiene una superficie lateral de $150 \text{ cm}^2$ y un volumen de $250 \text{ cm}^3$. Si el modelo grande debe tener una superficie lateral de $600 \text{ cm}^2$ para que los detalles se vean bien:

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre las longitudes de ambos modelos?
2. b) ¿Cuál será el volumen del modelo grande?
3. c) Si para fabricar el modelo pequeño se han necesitado 40 gramos de resina, ¿cuántos kilos de resina se necesitarán para fabricar 10 modelos grandes?

Un artista ha realizado una escultura de bronce que pesa $12$ kg y mide $40$ cm de altura. Si quiere realizar una réplica exacta del mismo material pero con una altura de $1$ metro, ¿cuánto pesará la nueva escultura? (Ten en cuenta que el peso es proporcional al volumen).

Para medir la altura de un árbol en el patio de la escuela, aprovechamos un día soleado. Un listón clavado verticalmente en el suelo que mide $1.5 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $0.9 \text{ m}$. Si en ese mismo instante la sombra del árbol mide $6 \text{ m}$, ¿cuál es la altura del árbol?

Un creador de contenido está grabando un video en el exterior. Para calcular la altura de una escultura moderna, coloca su trípode, que mide $1.20$ metros de altura, de forma que proyecta una sombra de $90$ cm en el suelo. En ese mismo instante, la sombra de la escultura mide $4.5$ metros. ¿Qué altura tiene la escultura?

Calcula la altura del edificio ($x$) utilizando la semejanza de los triángulos que se forman en la figura. Los ojos de la persona están a $1.60$ m del suelo, la distancia de la persona a la valla es de $2$ m y la distancia de la valla al edificio es de $10$ m. La altura de la valla es de $2.40$ m.

Para medir la altura de la Torre Latinoamericana en la Ciudad de México sin usar instrumentos complejos, un grupo de alumnos utiliza un espejo colocado en el suelo. El alumno más alto, que mide $1.85 \text{ m}$, se coloca a una distancia tal que ve la punta de la torre reflejada en el centro del espejo. El espejo está a $120 \text{ m}$ de la base de la torre y el alumno está a $2.3 \text{ m}$ del espejo. Si los ojos del alumno están a $10 \text{ cm}$ de la parte superior de su cabeza:

1. a) Dibuja un esquema de la situación identificando los triángulos semejantes.
2. b) Calcula la altura de la torre sabiendo que el ángulo de incidencia de la luz es igual al de reflexión.
3. c) Si otro alumno de $1.60 \text{ m}$ de altura, con los ojos también $10 \text{ cm}$ por debajo de la parte superior de su cabeza, quisiera ver lo mismo sin mover el espejo, ¿a qué distancia del espejo debería colocarse?

Una cámara oscura es una caja cerrada con un pequeño agujero por el que entra la luz proyectando la imagen de un objeto exterior en la pared opuesta. Si tenemos una caja de $25 \text{ cm}$ de profundidad y queremos fotografiar un árbol de $12 \text{ m}$ de altura que se encuentra a una distancia de $30 \text{ m}$ de la cámara:

1. a) ¿Qué altura tendrá la imagen del árbol proyectada dentro de la caja?
2. b) Si acercamos la cámara al árbol hasta que la imagen proyectada mida el doble, ¿a qué distancia del árbol estaremos?
3. c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el objeto real y la imagen en este último caso?

Dos edificios verticales están separados por una calle de $20 \text{ m}$ de ancho. El edificio más alto mide $45 \text{ m}$ y el más bajo $30 \text{ m}$. Desde la azotea del edificio más bajo, se observa la base del edificio alto. En ese mismo rayo visual se interpone una farola que está a $5 \text{ m}$ del edificio bajo.

1. a) ¿Qué altura debe tener la farola para que su parte superior esté exactamente en esa línea visual?
2. b) Si desde la azotea del edificio alto lanzamos un cable recto hasta la azotea del edificio bajo, ¿qué longitud tendrá el cable?
3. c) ¿A qué altura del suelo se cruzaría ese cable con la farola (suponiendo que la farola es lo suficientemente alta)?

En la siguiente figura, las rectas $r$ y $s$ son cortadas por tres rectas paralelas entre sí. Sabiendo que los segmentos sobre la recta $r$ miden $AB = 3 \text{ cm}$ y $BC = 4 \text{ cm}$, y que el segmento correspondiente sobre la recta $s$ es $A'B' = 4.5 \text{ cm}$, calcula la longitud del segmento $B'C'$.

Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que los dos triángulos están en posición de Tales:

Para renovar el diseño de una estantería, un carpintero coloca tres baldas paralelas cortadas por dos listones laterales, como se muestra en la figura. Si las medidas de los segmentos en uno de los listones son $AB = 25$ cm y $BC = 40$ cm, y en el otro listón el segmento homólogo a $AB$ mide $A'B' = 30$ cm, ¿cuánto medirá el segmento $B'C'$?

Se quiere dividir un terreno triangular de $300 \text{ m}^2$ de superficie en dos parcelas mediante una valla paralela a uno de sus lados. La valla se coloca de modo que corta a los otros dos lados a un tercio de distancia desde el vértice superior común.

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo pequeño (superior) y el terreno original?
2. b) Calcula el área de cada una de las dos parcelas resultantes.
3. c) Si la base del terreno original medía $30 \text{ m}$, ¿cuánto medirá la nueva valla?

En el triángulo rectángulo de la figura, la hipotenusa mide $25 \text{ cm}$. La altura relativa a la hipotenusa, $h$, divide a esta en dos segmentos, $m$ y $n$. Si sabemos que el cateto $b$ mide $15 \text{ cm}$:

1. a) Calcula la medida de la proyección $m$ utilizando el Teorema del Cateto.
2. b) Calcula el valor de la altura $h$ utilizando el Teorema de la Altura.
3. c) Halla el área y el perímetro del triángulo total.

Un parque tiene forma de hexágono regular de $40 \text{ m}$ de lado. Se quiere construir una fuente circular en su centro que sea semejante a una pequeña fuente de $2 \text{ m}$ de diámetro que hay en la entrada. Si la razón de semejanza entre el radio del círculo inscrito en el hexágono (apotema) y el radio de la fuente debe ser $4$:

1. a) Calcula la apotema del hexágono (puedes usar Pitágoras).
2. b) Calcula el diámetro de la nueva fuente central.
3. c) ¿Cuál es la razón entre el área del parque y el área de la fuente central?