Cuerpos de revolución
Pega un rectángulo de cartulina a un palillo por uno de sus lados y hazlo girar muy rápido: verás "aparecer" un cilindro, como cuando un trompo da vueltas y parece un cuerpo sólido. Por eso el cilindro y el cono se llaman cuerpos de revolución. En esta página aprenderás a generarlos y a desplegarlos, y después, como ampliación, a calcular cuánto material o cuánto líquido caben en ellos. Por ejemplo: ¿cuánta lámina necesitas para una lata de refresco?
Cómo se generan
Mueve el deslizador para ver cómo la figura plana, al girar, va "barriendo" el espacio y formando el cuerpo:
| Figura que gira | Eje de giro | Cuerpo que se forma |
|---|---|---|
| Rectángulo | uno de sus lados | Cilindro |
| Triángulo rectángulo | uno de sus catetos | Cono |
| Semicírculo (ampliación) | su diámetro | Esfera |
Los elementos del cilindro y del cono tienen nombre propio:
Imagina que pegas las siguientes figuras planas a un palillo y las haces girar rápidamente sobre él. Identifica qué cuerpo de revolución se genera en cada caso: a) Un…
Imagina que pegas las siguientes figuras planas a un palillo y las haces girar rápidamente sobre él. Identifica qué cuerpo de revolución se genera en cada caso:
- a) Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados.
- b) Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos.
- c) Un semicírculo que gira sobre su diámetro.
Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar la siguiente figura plana alrededor del eje indicado. ¿Qué nombre recibe el cuerpo obtenido?…
Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar la siguiente figura plana alrededor del eje indicado. ¿Qué nombre recibe el cuerpo obtenido? Describe sus elementos principales (bases, altura y generatriz).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El desarrollo del cilindro
Si cortas una lata por una línea vertical y la "desenrollas", obtienes su desarrollo plano: dos círculos (las bases) y un rectángulo (la superficie lateral).
¿Por qué la base del rectángulo es $2\pi r$? Porque al enrollarlo, esa base da la vuelta completa a la circunferencia de la tapa.
Una lata de refresco cilíndrica tiene una altura de $12$ cm y el radio de su base mide $3$ cm. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano (las figuras que…
Una lata de refresco cilíndrica tiene una altura de $12$ cm y el radio de su base mide $3$ cm. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano (las figuras que obtendrías si cortaras la lata y la extendieras sobre una mesa) e indica las medidas conocidas en el dibujo.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Identifica cuál de estos desarrollos planos no podría formar nunca un cilindro y explica por qué.
Identifica cuál de estos desarrollos planos no podría formar nunca un cilindro y explica por qué.
El desarrollo del cono
El desarrollo del cono es un sector circular (un "trozo de pizza") de radio la generatriz $g$, más el círculo de la base.
El arco del sector, al cerrarse, forma el borde de la base. Por eso mide lo mismo: $2\pi r$.
Además, el radio $r$, la altura $h$ y la generatriz $g$ forman un triángulo rectángulo (la figura que giró), así que se cumple el teorema de Pitágoras:
En el siguiente dibujo de un cono, identifica el nombre de los elementos señalados con las letras $r$, $h$ y $g$. Explica brevemente qué representa cada uno de ellos.
En el siguiente dibujo de un cono, identifica el nombre de los elementos señalados con las letras $r$, $h$ y $g$. Explica brevemente qué representa cada uno de ellos.
Para fabricar un gorro de fiesta con forma de cono, necesitamos conocer su generatriz ($g$). Si el gorro tiene una altura de $8$ cm y un radio en la base de $6$ cm,…
Para fabricar un gorro de fiesta con forma de cono, necesitamos conocer su generatriz ($g$). Si el gorro tiene una altura de $8$ cm y un radio en la base de $6$ cm, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular cuánto debe medir la generatriz.
La esfera (ampliación)
La esfera se genera al girar un semicírculo sobre su diámetro.
Si cortas un cuerpo con un plano, la figura que queda en el corte se llama sección:
| Corte | Cilindro | Cono | Esfera |
|---|---|---|---|
| Paralelo a la base | círculo | círculo (más pequeño) | círculo |
| Vertical por el eje | rectángulo | triángulo | círculo máximo |
Tienes un cilindro y un cono rectos. En la figura aparece, con línea discontinua naranja, un corte horizontal (paralelo a la base) y, con línea discontinua roja, un…
Tienes un cilindro y un cono rectos. En la figura aparece, con línea discontinua naranja, un corte horizontal (paralelo a la base) y, con línea discontinua roja, un corte vertical que pasa por el centro de las bases (el eje del cuerpo).
- a) Si realizamos el corte horizontal (paralelo a la base) a un cilindro y a un cono, ¿qué figura geométrica plana obtendremos en la sección del corte en cada uno?
- b) ¿Obtendremos la misma figura en cada cuerpo si el corte es vertical y pasa por el centro de las bases? Indica qué figura sale en el cilindro y cuál en el cono.
Ampliación: área del cilindro y del cono
Del desarrollo plano sale todo: el área es la de las figuras que lo forman.
En el cono, el área del sector circular es $\dfrac{\text{arco} \times \text{radio}}{2}$. Aquí el arco mide $2\pi r$ y el radio es $g$, así que queda $\dfrac{2\pi r \cdot g}{2} = \pi r g$.
Un bote de pelotas de tenis tiene forma de cilindro. La base tiene un diámetro de $7$ cm y la altura del bote es de $22$ cm. Calcula el área de la superficie lateral del…
Un bote de pelotas de tenis tiene forma de cilindro. La base tiene un diámetro de $7$ cm y la altura del bote es de $22$ cm. Calcula el área de la superficie lateral del bote (sin contar las tapas).
Una marca de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3.5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula la…
Una marca de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3.5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula la cantidad de metal (superficie total) necesaria para fabricar una de estas latas. Redondea el resultado a dos decimales.
Para una fiesta de disfraces, Lucía está fabricando sombreros en forma de cono. Si cada sombrero tiene una generatriz de $25\text{ cm}$ y el diámetro de la base es de…
Para una fiesta de disfraces, Lucía está fabricando sombreros en forma de cono. Si cada sombrero tiene una generatriz de $25\text{ cm}$ y el diámetro de la base es de $14\text{ cm}$, ¿qué altura tendrá el sombrero? Utiliza el teorema de Pitágoras para hallarla.
Un cono de señalización de tráfico tiene una altura de $60\text{ cm}$ y un radio de la base de $15\text{ cm}$. Calcula su área lateral (la superficie que habría que…
Un cono de señalización de tráfico tiene una altura de $60\text{ cm}$ y un radio de la base de $15\text{ cm}$. Calcula su área lateral (la superficie que habría que pintar de color naranja). Para ello, primero deberás hallar la generatriz del cono usando el teorema de Pitágoras.
Disponemos de un trozo de cartulina con forma de sector circular como el de la imagen. Al unir los bordes rectos, formamos la superficie lateral de un cono. Calcula el…
Disponemos de un trozo de cartulina con forma de sector circular como el de la imagen. Al unir los bordes rectos, formamos la superficie lateral de un cono. Calcula el área total de dicho cono sabiendo que el radio del sector (que será la generatriz) es de $10\text{ cm}$ y que la longitud del arco es de $18.84\text{ cm}$.
Ampliación: la esfera y sus cortes
Cuando cortas una esfera de radio $R$ a una distancia $d$ del centro, el radio $r$ del círculo de corte sale de un triángulo rectángulo con hipotenusa $R$ y catetos $d$ y $r$:
El corte divide la esfera en dos casquetes. La altura $h$ de un casquete es la distancia entre el plano de corte y el punto más alejado de la esfera de ese lado. Si el casquete no contiene el centro, $h = R - d$; si lo contiene, $h = R + d$.
Se corta una naranja esférica de $10\text{ cm}$ de diámetro por un plano que pasa a una distancia de $3\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos trozos, la sección del…
Se corta una naranja esférica de $10\text{ cm}$ de diámetro por un plano que pasa a una distancia de $3\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos trozos, la sección del corte es un círculo. Calcula el radio de ese círculo de corte aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.
Se corta una esfera de radio $13 \text{ cm}$ mediante un plano horizontal que pasa a una distancia de $5 \text{ cm}$ del centro. Este corte genera un círculo (sección).…
Se corta una esfera de radio $13 \text{ cm}$ mediante un plano horizontal que pasa a una distancia de $5 \text{ cm}$ del centro. Este corte genera un círculo (sección). Calcula el área de ese círculo de corte y el área del casquete esférico superior resultante, sabiendo que la superficie de un casquete esférico se calcula como $S = 2 \times \pi \times R \times h$, donde $h$ es la altura del casquete.
Un helado de cucurucho tiene forma de cono de $15 \text{ cm}$ de altura y $3 \text{ cm}$ de radio en la abertura superior. Se coloca una bola de helado que es una esfera…
Un helado de cucurucho tiene forma de cono de $15 \text{ cm}$ de altura y $3 \text{ cm}$ de radio en la abertura superior. Se coloca una bola de helado que es una esfera perfecta de $3.5 \text{ cm}$ de radio. Debido al tamaño, parte de la bola queda fuera del cucurucho y parte queda dentro. Si la bola se apoya justo en el borde circular del cono, ¿qué distancia hay desde el punto más bajo de la bola de helado hasta el vértice inferior del cucurucho? (Utiliza el teorema de Pitágoras).
Ampliación: volumen
El volumen mide cuánto cabe dentro. Se expresa en unidades cúbicas ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$).
¿Por qué el cono es un tercio? Si llenas un cono con agua y lo vacías en un cilindro de la misma base y altura, necesitas exactamente tres conos para llenarlo.
Para pasar a litros: $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$, $1\text{ m}^3 = 1{,}000\text{ L}$ y $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$. Y si conoces la densidad $\rho$, la masa es $m = \rho \cdot V$.
Calcula el volumen de una bola de bolos (que es una esfera perfecta) sabiendo que su radio mide $11$ cm. Utiliza la fórmula $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$ y…
Calcula el volumen de una bola de bolos (que es una esfera perfecta) sabiendo que su radio mide $11$ cm. Utiliza la fórmula $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$ y toma como valor de $\pi \approx 3.14$.
Calcula el volumen de una bola de helado perfectamente esférica que tiene un radio de $3\text{ cm}$. Si el helado se derrite dentro de un recipiente cilíndrico de la…
Calcula el volumen de una bola de helado perfectamente esférica que tiene un radio de $3\text{ cm}$. Si el helado se derrite dentro de un recipiente cilíndrico de la misma base y la misma altura que la esfera, ¿qué altura alcanzará el helado líquido? (Supón que el volumen no varía al derretirse).
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con un radio de $2\text{ metros}$ y una altura de $5\text{ metros}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes…
Un depósito de agua tiene forma de cilindro con un radio de $2\text{ metros}$ y una altura de $5\text{ metros}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, ¿cuántos litros de agua contiene? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).
Ampliación: tronco de cono
Si a un cono le cortas la punta con un plano paralelo a la base, lo que queda es un tronco de cono. Un vaso o un tinaco con forma de cubeta tienen esa figura. Su truco: completar el cono grande y restar el cono pequeño que quitaste.
Los dos conos son semejantes: sus radios y sus alturas guardan la misma proporción.
El área lateral se obtiene igual: la del cono grande menos la del pequeño.
Un depósito de agua tiene forma de tronco de cono invertido. El radio de la base superior (abierta) es de $4 \text{ metros}$ y el de la base inferior (fondo) es de…
Un depósito de agua tiene forma de tronco de cono invertido. El radio de la base superior (abierta) es de $4 \text{ metros}$ y el de la base inferior (fondo) es de $2 \text{ metros}$. La altura total del depósito es de $6 \text{ metros}$. Si el depósito se llena hasta la mitad de su altura ($3 \text{ metros}$), utiliza la semejanza de triángulos para hallar el radio de la superficie del agua en ese momento y calcula el volumen de agua acumulado.
Una empresa de perfumes está diseñando un nuevo frasco de cristal. El frasco tiene una base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de radio y $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre esta…
Una empresa de perfumes está diseñando un nuevo frasco de cristal. El frasco tiene una base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de radio y $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre esta base, se apoya un tronco de cono cuya base superior tiene $1 \text{ cm}$ de radio y su generatriz mide $5 \text{ cm}$. Sabiendo que el tapón es una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la abertura superior de $1 \text{ cm}$ de radio, calcula la superficie total exterior del frasco (sin contar la base de apoyo).
Ampliación: cuerpos combinados
Muchos objetos reales mezclan cuerpos: un cucurucho con helado, una boya, un rodillo hueco. La estrategia es siempre la misma:
-
Descompón el objeto en cuerpos conocidos.
-
Calcula el volumen o el área de cada parte.
-
Suma o resta, según la parte esté pegada o sea un hueco.
Si el objeto sale de girar una figura, identifica qué pieza gira y sobre qué eje: un rectángulo pegado al eje da un cilindro; un triángulo rectángulo con un cateto en el eje da un cono. Al juntar piezas, se suman los volúmenes.
Una boya marítima está formada por la unión de dos conos idénticos por sus bases. La longitud total de la boya de punta a punta es de $2 \text{ metros}$ y el diámetro de…
Una boya marítima está formada por la unión de dos conos idénticos por sus bases. La longitud total de la boya de punta a punta es de $2 \text{ metros}$ y el diámetro de la sección circular central donde se unen es de $120 \text{ cm}$. Calcula el volumen total de la boya en litros y su superficie exterior total.
Calcula el volumen del cuerpo generado al girar $360^\circ$ el siguiente polígono irregular alrededor del eje vertical indicado. El polígono está formado por un…
Calcula el volumen del cuerpo generado al girar $360^\circ$ el siguiente polígono irregular alrededor del eje vertical indicado. El polígono está formado por un rectángulo de $2 \times 4 \text{ cm}$ y un triángulo rectángulo de base $3 \text{ cm}$ unido a su lateral.
Más combinados con rodillos y piezas huecas:
Un rodillo industrial de acero tiene forma de cilindro hueco. El diámetro exterior del rodillo es de $20 \text{ cm}$, el diámetro interior es de $16 \text{ cm}$ y su…
Un rodillo industrial de acero tiene forma de cilindro hueco. El diámetro exterior del rodillo es de $20 \text{ cm}$, el diámetro interior es de $16 \text{ cm}$ y su longitud total es de $50 \text{ cm}$. Si la densidad del acero es de $7.85 \text{ g/cm}^3$, calcula la masa total del rodillo en kilogramos. (Recuerda que para hallar el volumen del cilindro hueco debes restar el volumen del cilindro interior al exterior).
Para una exhibición de arte, se ha construido una pieza de metal formada por un cono que encaja perfectamente dentro de un cilindro de la misma altura ($12 \text{ cm}$)…
Para una exhibición de arte, se ha construido una pieza de metal formada por un cono que encaja perfectamente dentro de un cilindro de la misma altura ($12 \text{ cm}$) y mismo radio de la base ($5 \text{ cm}$). El cono está invertido, de modo que su vértice toca el centro de la base inferior del cilindro. Calcula el volumen de agua que se necesitaría para llenar el espacio vacío que queda entre las paredes del cilindro y el cono.
Vuelve al principio: la lata de refresco se arma con el desarrollo plano, dos círculos y un rectángulo de base $2\pi r$. La lámina que necesitas es la suma de sus áreas, $2\pi r h + 2\pi r^2$, y lo que cabe dentro lo da $\pi r^2 h$.