Parámetros estadísticos
Dos modelos de celular tienen la misma duración media de batería. ¿Son igual de confiables? Un solo número no lo cuenta todo: hace falta saber dónde está el «centro» de los datos y si están muy juntos o muy repartidos.
Media, mediana y moda
Cambia los datos y mira dónde quedan la media (línea rosa) y la mediana (línea verde):
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son: $$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$ Calcula…
Siete estudiantes han cronometrado cuánto tiempo tardan (en segundos) en resolver un cubo de Rubik. Los tiempos registrados son:
$$45, 52, 38, 60, 41, 55, 48$$Calcula la mediana de estos tiempos. Recuerda que debes ordenar los datos previamente.
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido: $$\$100, \$160, \$120, \$140, \$1,080$…
Un joven ahorra semanalmente distintas cantidades de dinero. Durante las últimas $5$ semanas, sus ahorros han sido:
$$\$100, \$160, \$120, \$140, \$1,080$$-
a) Calcula la media de sus ahorros.
-
b) Calcula la mediana.
-
c) ¿Cuál de los dos parámetros crees que representa mejor el ahorro "normal" de este joven? Justifica tu respuesta mencionando el efecto del valor $\$1\,080$.
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar a videojuegos online. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de amigos ha anotado el número de horas semanales que dedican a jugar a videojuegos online. Los datos obtenidos son los siguientes:
$12, 15, 9, 12, 18, 20, 12, 14, 15, 10$
Calcula los parámetros de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$).
Tipos de variable y qué parámetro se puede calcular
Antes de calcular, pregúntate qué tipo de dato tienes.
-
Cualitativa: es una cualidad (color favorito, marca de celular, tipo de videos). No son números.
-
Cuantitativa discreta: se cuenta y toma valores sueltos (número de «me gusta», de hermanos).
-
Cuantitativa continua: se mide y puede tomar cualquier valor de un intervalo (tiempo, estatura, peso).
| Parámetro | Cualitativa | Cuantitativa |
|---|---|---|
| Moda | Sí | Sí |
| Mediana | No (no hay orden numérico) | Sí |
| Media | No (no se puede sumar «azul» con «rojo») | Sí |
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se han analizado los perfiles de $50$ estudiantes de una secundaria.…
Para realizar un estudio sobre los hábitos de consumo de los adolescentes en una red social, se han analizado los perfiles de $50$ estudiantes de una secundaria. Clasifica las siguientes variables estadísticas obtenidas en el estudio como cualitativas o cuantitativas (indicando si son discretas o continuas):
-
a) Marca del teléfono celular utilizado.
-
b) Número de "me gusta" recibidos en la última publicación.
-
c) Tiempo total (en minutos) de uso de la aplicación durante el día.
-
d) Temática principal de los videos que visualiza (deportes, humor, música, etc.).
Un grupo de amigos ha anotado el número de mensajes de WhatsApp que tienen sin leer al final del día. Los datos obtenidos son: $$12, 15, 12, 10, 18, 12, 14, 20, 12, 15$$…
Un grupo de amigos ha anotado el número de mensajes de WhatsApp que tienen sin leer al final del día. Los datos obtenidos son:
$$12, 15, 12, 10, 18, 12, 14, 20, 12, 15$$Calcula la moda de esta distribución y explica brevemente qué representa este valor en el contexto del ejercicio.
En una encuesta sobre el color favorito de los alumnos de 2.° de secundaria, se obtuvieron los siguientes resultados: | Color | Frecuencia ($n_i$) | | :--- | :---: | |…
En una encuesta sobre el color favorito de los alumnos de 2.° de secundaria, se obtuvieron los siguientes resultados:
| Color | Frecuencia ($n_i$) |
|---|---|
| Azul | $12$ |
| Rojo | $8$ |
| Verde | $5$ |
| Negro | $5$ |
- a) ¿Qué tipo de variable estadística se está estudiando?
- b) Calcula, si es posible, la media, la mediana y la moda. En caso de que algún parámetro no se pueda calcular, explica razonadamente el porqué.
Media con tablas de frecuencias e intervalos
Cuando los datos están en una tabla, cada valor pesa según su frecuencia: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i\, n_i}{N}$. Si están agrupados en intervalos, se usa la marca de clase (el punto medio del intervalo) en lugar de $x_i$, y el resultado es una estimación.
Datos agrupados: intervalo modal e intervalo mediano
Con intervalos no hay una moda ni una mediana exactas, sino un intervalo:
-
Intervalo modal: el de mayor frecuencia.
-
Intervalo mediano: el primero cuya frecuencia acumulada llega a $N/2$ o lo pasa.
La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de una clase de $2º$ de secundaria durante el primer trimestre: | Libros leídos ($x_i$) |…
La siguiente tabla muestra la cantidad de libros que han leído los alumnos de una clase de $2º$ de secundaria durante el primer trimestre:
| Libros leídos ($x_i$) | Número de alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $4$ |
| $1$ | $10$ |
| $2$ | $7$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media aritmética del número de libros leídos por alumno.
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:…
En un entrenamiento de básquetbol, se ha registrado el número de triples encestados por cada jugador en 25 intentos. Los resultados se muestran en la siguiente gráfica:
A partir de la gráfica de barras:
- a) Elabora la tabla de frecuencias absolutas.
- b) Calcula la media, la mediana y la moda de los triples encestados.
Se ha realizado una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de una escuela utilizando redes sociales. Los datos se han agrupado en la…
Se ha realizado una encuesta sobre el tiempo diario (en minutos) que pasan los adolescentes de una escuela utilizando redes sociales. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla:
| Tiempo (min) | $[0, 30)$ | $[30, 60)$ | $[60, 90)$ | $[90, 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Núm. de alumnos ($n_i$) | $12$ | $25$ | $x$ | $8$ |
Sabiendo que el tiempo promedio de uso es de $57$ minutos:
- a) Calcula el valor de $x$ (frecuencia absoluta del intervalo $[60, 90)$).
- b) Determina la moda (intervalo modal) y la mediana (intervalo mediano) de la distribución.
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos dedica $90$ minutos o más a las redes sociales?
El rango: la medida más sencilla de dispersión
Aquí están los 10 datos de duración de batería (en horas) de cada modelo. Cada punto es una prueba; si un valor se repite, los puntos se apilan.
Los dos modelos de celular tienen la misma media de batería (15 h), pero el A siempre dura algo parecido: rango $= 16 - 14 = 2$. El B es muy irregular: rango $= 20 - 10 = 10$. Para confiabilidad, un rango pequeño es buena señal.
Las temperaturas máximas registradas durante una semana de abril en Monterrey fueron: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ y $21$ °C. Calcula el rango de las temperaturas…
Las temperaturas máximas registradas durante una semana de abril en Monterrey fueron: $22$, $25$, $19$, $24$, $27$, $26$ y $21$ °C. Calcula el rango de las temperaturas de esa semana.
En dos grupos de $2.º$ de secundaria se han anotado los minutos que tardan los alumnos en llegar a la escuela. En $2.º$ A los tiempos van de $5$ a $40$ minutos y en…
En dos grupos de $2.º$ de secundaria se han anotado los minutos que tardan los alumnos en llegar a la escuela. En $2.º$ A los tiempos van de $5$ a $40$ minutos y en $2.º$ B van de $15$ a $25$ minutos.
a) Calcula el rango de los tiempos de cada grupo.
b) ¿En qué grupo son los tiempos más parecidos entre sí? ¿Por qué?
Los diagramas de puntos muestran los puntos anotados por dos jugadoras en sus últimos $6$ partidos. a) Calcula la media de puntos de cada jugadora. b) Calcula el rango…
Los diagramas de puntos muestran los puntos anotados por dos jugadoras en sus últimos $6$ partidos.
a) Calcula la media de puntos de cada jugadora.
b) Calcula el rango de cada una.
c) A la vista de los gráficos y de los cálculos, ¿cuál de las dos es más regular? Explica qué significa eso.
La desviación media
El rango solo mira los dos extremos. La desviación media toma en cuenta todos los datos: cuánto se aleja, en promedio, cada uno de la media.
Las notas de los últimos $5$ exámenes de Inglés de Salma son: $6$, $7$, $8$, $5$ y $9$. a) Calcula la media de las notas. b) Calcula la desviación de cada nota respecto…
Las notas de los últimos $5$ exámenes de Inglés de Salma son: $6$, $7$, $8$, $5$ y $9$.
a) Calcula la media de las notas.
b) Calcula la desviación de cada nota respecto de la media (en valor absoluto) y la desviación media.
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas: $8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$…
Una aplicación de salud ha registrado los pasos diarios (en miles) de una adolescente durante las últimas dos semanas:
$8, 10, 12, 8, 9, 11, 15, 8, 10, 12, 14, 8, 9, 10$
Representa estos datos en una tabla de frecuencias y calcula:
- a) El rango o recorrido de la distribución.
- b) La desviación media ($DM$) respecto a la media aritmética.
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de smartphones, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno. Modelo…
Se ha realizado un estudio sobre la duración de la batería (en horas) de dos modelos diferentes de smartphones, $A$ y $B$, realizando 10 pruebas con cada uno.
Modelo $A$: $14, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 14, 15, 16$
Modelo $B$: $10, 20, 15, 12, 18, 11, 19, 15, 14, 16$
- a) Calcula la media de ambos modelos. ¿Qué observas?
- b) Calcula el rango y la desviación media de cada modelo.
- c) Si tuvieras que comprar uno basándote en la fiabilidad de la duración, ¿cuál elegirías y por qué?
Desviación estándar
Otra forma de medir la dispersión es elevar al cuadrado las desviaciones en lugar de usar el valor absoluto.
Los goles marcados por un equipo de fútbol sala en sus últimos $5$ partidos han sido: $2$, $5$, $1$, $4$ y $3$. a) Calcula la media de goles por partido. b) Calcula la…
Los goles marcados por un equipo de fútbol sala en sus últimos $5$ partidos han sido: $2$, $5$, $1$, $4$ y $3$.
a) Calcula la media de goles por partido.
b) Calcula la varianza y la desviación típica, redondeando a las centésimas.
Dos atletas entrenan los $100$ metros lisos y registran sus tiempos con el reloj inteligente. Sus últimos $5$ tiempos, en segundos, son: Mei: $13.2$; $13.0$; $13.1$;…
Dos atletas entrenan los $100$ metros lisos y registran sus tiempos con el reloj inteligente. Sus últimos $5$ tiempos, en segundos, son:
-
Mei: $13.2$; $13.0$; $13.1$; $13.2$; $13.0$
-
Bea: $12.6$; $13.8$; $12.9$; $13.4$; $12.8$
a) Calcula la media y el rango de los tiempos de cada atleta.
b) Calcula la desviación típica de cada una, redondeando a las centésimas.
c) El entrenador debe elegir a una de las dos para la final y busca regularidad. ¿A quién elegirías? Justifica la respuesta.
Mateo compara dos aplicaciones de transporte para ir a la escuela. En los últimos $8$ viajes, los minutos de espera han sido: App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$,…
Mateo compara dos aplicaciones de transporte para ir a la escuela. En los últimos $8$ viajes, los minutos de espera han sido:
-
App A: $4$, $6$, $5$, $7$, $5$, $6$, $4$, $7$
-
App B: $2$, $9$, $3$, $10$, $4$, $8$, $3$, $5$
a) Calcula la media de espera de cada aplicación.
b) Calcula la desviación estándar de cada una, redondeando a las centésimas.
c) Si Mateo dispone de $10$ minutos justos cada mañana, ¿qué aplicación le recomendarías? Justifica tu respuesta usando la media y la dispersión.
Cuartiles y diagrama de caja
La mediana divide los datos en dos mitades. Los cuartiles dividen en cuatro partes con el mismo número de datos.
-
$Q_1$: mediana de la mitad inferior (deja abajo el 25 % de los datos).
-
$Q_2 = Me$.
-
$Q_3$: mediana de la mitad superior (deja abajo el 75 %).
Si $N$ es impar, la mediana no entra en ninguna de las dos mitades. El rango intercuartílico es $Q_3 - Q_1$ y mide la dispersión del 50 % central.
El diagrama de caja resume mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$ y máximo:
Cada tramo (bigote, mitad de la caja) contiene aproximadamente el 25 % de los datos. Una caja angosta significa datos concentrados; una caja ancha, datos muy repartidos.
Las notas de $11$ alumnos en un examen han sido: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ y $10$. a) Ordena las notas y calcula la mediana. b) Calcula los…
Las notas de $11$ alumnos en un examen han sido: $5$, $7$, $3$, $8$, $6$, $9$, $4$, $7$, $5$, $6$ y $10$.
a) Ordena las notas y calcula la mediana.
b) Calcula los cuartiles primero y tercero.
c) ¿Entre qué valores se concentra, aproximadamente, el $50\%$ central de las notas?
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot*) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación: Observa el…
A continuación se presenta un diagrama de caja (box-plot) que representa las notas obtenidas por los alumnos de una clase en un examen de recuperación:
Observa el gráfico e identifica los siguientes parámetros de posición:
- a) Valor mínimo y valor máximo.
- b) Primer cuartil ($Q_1$), Mediana ($Me$) y Tercer cuartil ($Q_3$).
- c) ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido una nota superior a $8$?
En una competición de E-sports*, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de…
En una competición de E-sports, dos equipos, el "Team Alpha" y el "Team Beta", han obtenido los siguientes tiempos de respuesta (en milisegundos) en una prueba de reflejos. Los datos se presentan en los siguientes diagramas de caja (Box-plot):
Basándote en los gráficos:
- a) ¿Qué equipo tiene un tiempo de respuesta mediano más bajo?
- b) ¿Cuál de los dos equipos es más "regular" o consistente en sus reflejos? Justifica tu respuesta usando el rango intercuartílico.
- c) Si para ganar la competición se valora no superar nunca los $200$ ms, ¿qué equipo tiene mejores expectativas?
Datos que faltan: la suma total
La media $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}$ se puede despejar: $\sum x_i = \bar{x}\cdot N$. Con esto, si falta un dato, se calcula la suma total necesaria y se resta lo que ya hay.
Aisha ha realizado 4 exámenes de Matemáticas este trimestre y sus notas han sido: $6.5$; $8.2$; $7.4$ y $9.1$. a) ¿Qué nota media tiene actualmente? b) Si todavía queda…
Aisha ha realizado 4 exámenes de Matemáticas este trimestre y sus notas han sido: $6.5$; $8.2$; $7.4$ y $9.1$.
- a) ¿Qué nota media tiene actualmente?
- b) Si todavía queda un último examen, ¿qué nota debe sacar Aisha para que su media final sea exactamente de $8.0$?
Un grupo de 10 amigos tiene una media de edad de exactamente $14$ años. Al unirse al grupo el hermano mayor de uno de ellos, la media aumenta a $15$ años. a) Calcula la…
Un grupo de 10 amigos tiene una media de edad de exactamente $14$ años. Al unirse al grupo el hermano mayor de uno de ellos, la media aumenta a $15$ años.
- a) Calcula la edad del hermano mayor.
- b) Si después se une una niña de $10$ años, ¿cuál será la nueva media del grupo de 12 personas?
- c) ¿Es posible que, tras unirse la niña, la mediana del grupo siga siendo $14$? Pon un ejemplo de las edades de los 10 amigos originales que cumpla esta condición.
Un conocido streamer* está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. La media de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si…
Un conocido streamer está analizando las visualizaciones de sus últimos 5 videos. La media de visualizaciones de los primeros 4 videos es de $12\,500$ personas. Si quiere que la media total de los 5 videos suba hasta las $15\,000$ visualizaciones para atraer a un nuevo patrocinador, ¿cuántas visualizaciones debe conseguir, como mínimo, en su quinto video? Explica el proceso razonando si es posible que la mediana de visualizaciones sea mayor que la media en este caso.
Vuelve al principio: los dos celulares tienen la misma media (15 h), pero el rango y la desviación media muestran que el modelo A es mucho más confiable que el B.