El conjunto de los números naturales
Un boleto del Metro cuesta $\$5$, y puedes comprar 1, 2, 3 boletos... Pero ¿existe un número natural que sea el más grande? ¿Y uno que esté entre el $7$ y el $8$? Los números naturales tienen reglas propias que conviene dejar claras antes de operar con ellos.
Los naturales y el valor posicional
Valor posicional, lectura y descomposición
Nuestro sistema es decimal y posicional: el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Cada lugar vale $10$ veces el de su derecha.
| Millones | Millares | Unidades |
|---|---|---|
| C D U | C D U | C D U |
(C = centenas, D = decenas, U = unidades de cada grupo de tres dígitos.)
Para leer un número, lo separas en grupos de tres dígitos con comas y lees cada grupo con su nombre. Por ejemplo, $3{,}052{,}400$ se lee «tres millones cincuenta y dos mil cuatrocientos».
La descomposición polinómica escribe el número como suma de cada dígito por su potencia de $10$:
$$47{,}082 = 4\times10^4 + 7\times10^3 + 0\times10^2 + 8\times10 + 2$$El valor posicional de un dígito es lo que vale por el lugar donde está: en $47{,}082$, el $7$ vale $7{,}000$ y el $8$ vale $80$.
Centenas completas y redondeo
Para saber cuántas centenas completas hay en un número, cuenta cuántas veces cabe $100$: es el cociente de dividir entre $100$, o sea, el número que queda al quitar los dos últimos dígitos. En $47{,}082$ hay $470$ centenas completas, y sobran $82$ unidades.
Para redondear a una decena, centena o millar, mira el dígito que sigue al lugar que redondeas:
-
Si es $5$ o más, el dígito del lugar sube una unidad.
-
Si es menos de $5$, se queda igual.
-
Los dígitos de la derecha se convierten en ceros.
El número más cercano que termina en ceros es justo el redondeo a ese lugar.
En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7,475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por…
En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7,475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por la izquierda) y qué valor representa el segundo "7". ¿Cuántas veces es mayor el primero respecto al segundo?
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1,205,040,300$ usuarios activos. a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano. b)…
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1,205,040,300$ usuarios activos.
- a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano.
- b) Realiza su descomposición polinómica utilizando potencias de base $10$.
- c) ¿Cuál es el valor posicional de la cifra $5$ en dicho número?
Considera el número natural $N = 47,082$. a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número…
Considera el número natural $N = 47,082$.
- a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número original y el nuevo número obtenido?
- b) ¿Cuántas centenas completas hay en total en el número $N$?
- c) Escribe el número natural más cercano a $N$ que termine en tres ceros.
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión mezcla varias operaciones, el orden no es libre.
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para…
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para que se cumpla la igualdad:
$$5 + 3 \times 8 - 6^2 : 4 + 2 = 23$$Una vez resuelto, explica paso a paso la jerarquía de operaciones que has seguido para llegar al resultado de $23$.
Cuadrados y cubos perfectos
Un cuadrado perfecto es un natural que se puede acomodar en un cuadrado completo de puntos, sin que sobre ninguno. Es el resultado de multiplicar un natural por sí mismo: $n^2$.
Un cubo perfecto es $n^3$: las piezas forman un cubo completo.
Los primeros cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\ldots$ Los primeros cubos: $1, 8, 27, 64, 125\ldots$
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado…
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado para que no le sobre ninguna? Dibuja un esquema sencillo de la solución.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta…
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta alcanzar la misma altura para formar un cubo:
- a) ¿Cuántas cajas hay en total en la estantería? Exprésalo en forma de potencia y calcula el valor.
- b) Si se venden $150$ cajas, ¿cuál es el número máximo de cajas que pueden seguir formando un cuadrado perfecto en el suelo del almacén? ¿Cuántas cajas sobrarían en ese caso?
Números con patrones especiales
Algunos números esconden un patrón. Además de los cuadrados perfectos, están los números hexagonales, que se acomodan en hexágonos cada vez más grandes, y los capicúas, que se leen igual al derecho y al revés.
Un capicúa de cuatro dígitos tiene la forma $abba$ (el primer dígito igual al último, y el segundo igual al tercero). Esto te sirve para plantear condiciones sobre sus dígitos, como la suma de ellos o la relación entre dos de ellos.
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde: 1. Dibuja o describe cómo sería la figura del…
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde:
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Dibuja o describe cómo sería la figura del cuarto número hexagonal ($H_4$).
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¿Cuántos puntos tendrá la figura $H_5$?
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Sabiendo que la fórmula para calcular el número hexagonal que ocupa la posición $n$ es $H_n = 2n^2 - n$, calcula el valor para $H_{12}$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones: Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). La suma de…
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones:
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Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
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La suma de sus cifras es $24$.
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La cifra de las unidades de millar es el triple que la cifra de las centenas.
Determina razonadamente de qué número se trata y represéntalo mediante su descomposición polinómica.
Números romanos
Se escriben con siete letras: $I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1{,}000$. Una letra menor a la derecha de una mayor se suma ($VII=7$); a la izquierda, se resta ($XC=90$). Ninguna letra se repite más de tres veces seguidas ($4$ es $IV$) y el valor de una letra no depende de su posición, por eso no hay cero romano.
Por ejemplo, $MCMXCIV = 1{,}000 + 900 + 90 + 4 = 1{,}994$.
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a…
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a nuestro sistema de numeración decimal.
Resumen
Vuelve al principio: no hay un natural más grande, pues siempre puedes sumar $1$, y entre el $7$ y el $8$ no hay ningún natural.