Poliedros

En clase de Tecnología, los alumnos están construyendo una estructura para una maqueta. Han diseñado un poliedro que tiene $7$ caras y $10$ vértices. Utiliza el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para calcular cuántas varillas (aristas) necesitarán para montar la estructura completa.

Observa a tu alrededor en el salón de clases o en tu habitación y nombra:

1. a) Un objeto que tenga forma de prisma rectangular.
2. b) ¿Cuántas caras tiene ese objeto?
3. c) ¿Son todas sus caras iguales o hay caras diferentes? Describe cómo son.

Señala cuál de las siguientes afirmaciones sobre los poliedros es FALSA y explica por qué:

1. Un poliedro convexo es aquel que, al apoyarlo sobre cualquier cara, no "se hunde".

2. El tetraedro regular es el poliedro que tiene menos caras posibles.

3. En un poliedro regular, en cada vértice pueden concurrir un número diferente de aristas.

4. El cubo es un tipo especial de prisma cuadrangular.

Un arquitecto está diseñando un nuevo modelo de cristalera para un centro comercial con forma de prisma pentagonal recto. Observa el dibujo y contesta a las siguientes preguntas para ayudarle con el inventario de materiales:

1. a) ¿Cuántas caras tiene el prisma en total?
2. b) ¿Cuántos vértices tiene la figura?
3. c) ¿Cuántas aristas hay en total?

Calcula el área total de un cubo de Rubik si sabemos que la longitud de cada una de sus aristas es de $6\text{ cm}$. Recuerda que el cubo tiene $6$ caras cuadradas idénticas.

Un poliedro convexo tiene el mismo número de caras que un octaedro regular y el mismo número de vértices que aristas tiene un cubo. Utiliza el Teorema de Euler para determinar cuántas aristas tiene este cuerpo geométrico. Representa esquemáticamente un poliedro que cumpla estas características (por ejemplo, un prisma hexagonal).

Clasifica las siguientes pirámides según el polígono de su base y determina si son regulares o irregulares justificando tu respuesta:

1. a) Una pirámide cuya base es un cuadrado de $5\text{ cm}$ de lado y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
2. b) Una pirámide cuya base es un rectángulo de $4\text{ cm}$ por $6\text{ cm}$.

Marta quiere fabricar una caja de cartón para un regalo con forma de cubo. Para ello, dibuja diferentes plantillas en su cuaderno. Indica razonadamente cuál de los dos siguientes desarrollos planos permite formar un cubo perfecto y cuál no.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un escultor quiere crear una pieza tallando un cubo de madera de $10 \text{ cm}$ de arista. Si le quita las cuatro esquinas superiores cortando por los puntos medios de las aristas que concurren en cada vértice (en la figura, los cortes aparecen en naranja), cuenta cuidadosamente cuántas caras, vértices y aristas tendrá la figura resultante. Comprueba si sigue cumpliendo el Teorema de Euler.

Un estudio de diseño de videojuegos está creando un nuevo "power-up" con forma de poliedro convexo. Los artistas han decidido que el objeto tenga exactamente $14$ caras y $24$ aristas.

1. a) Según el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$), ¿cuántos vértices debe tener el modelo 3D para que sea geométricamente posible?

1. b) Si el poliedro final resulta ser un cuboctaedro (un poliedro formado por cuadrados y triángulos equiláteros) y sabemos que en cada uno de sus vértices concurren exactamente $4$ aristas, comprueba si tu resultado del apartado a) coincide con la estructura real de este cuerpo. Para ello, cuenta las aristas a partir del número de vértices y de las aristas que llegan a cada uno.

Imagina un tetraedro regular y un octaedro regular, ambos con la misma longitud de arista $a$. Un científico afirma que si unimos dos de estos poliedros por una de sus caras, el número de caras expuestas al exterior del nuevo cuerpo será siempre la suma de las caras de ambos menos dos.

1. a) Calcula el número de caras, vértices y aristas del cuerpo resultante de unir dos tetraedros por una cara.
2. b) ¿Se sigue cumpliendo el Teorema de Euler en este nuevo poliedro resultante? Justifica tu respuesta.

Los dados que se utilizan en los juegos de rol suelen tener las formas de los poliedros regulares. Si estás jugando con un dado que tiene forma de octaedro (observa la figura, donde las aristas ocultas aparecen discontinuas):

1. a) ¿Qué forma tienen sus caras?

1. b) ¿Cuántas caras tiene este dado?

1. c) ¿Cuántas aristas se encuentran en cada uno de sus vértices?

¿Es posible construir un poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares? Justifica tu respuesta analizando cuántos grados sumarían los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice. Repite el razonamiento para explicar por qué solo existen cinco poliedros regulares convexos.

En una exposición de arte moderno, hay una vitrina con forma de prisma rectangular cuyas dimensiones son $80 \text{ cm}$ de largo, $60 \text{ cm}$ de ancho y $1 \text{ m}$ de alto. El artista quiere colocar una vara metálica que atraviese la vitrina desde un vértice inferior hasta el vértice opuesto superior. ¿Cuál debe ser la longitud exacta de la vara?

Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y cuya arista lateral mide $13 \text{ cm}$. Para resolverlo, deberás calcular primero la apotema de la pirámide y después su altura utilizando el Teorema de Pitágoras.

Estás armando una computadora por piezas y quieres instalar una tarjeta gráfica de última generación. El gabinete de la computadora (la torre) es un prisma rectangular de dimensiones $45\text{ cm}$ de alto, $20\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de largo. La tarjeta gráfica es muy larga y quieres saber si cabría colocándola de forma diagonal, uniendo un vértice inferior de la parte delantera con el vértice superior opuesto de la parte trasera. Calcula la longitud de la diagonal del prisma rectangular y determina si una tarjeta de $62\text{ cm}$ de largo cabría en su interior.

Un cristalógrafo está estudiando una piedra preciosa que tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base inferior es un cuadrado de $10\text{ cm}$ de lado, la base superior es un cuadrado de $4\text{ cm}$ de lado, y la altura del tronco (distancia entre bases) es de $4\text{ cm}$.

1. a) Calcula la longitud de la apotema de las caras laterales (que son trapecios).
2. b) Calcula el área total de la piedra preciosa.

Una conocida marca de chocolates vende sus productos en cajas con forma de prisma triangular regular. Si el lado del triángulo de la base mide $6 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $20 \text{ cm}$, calcula el área total de cartón necesaria para fabricar una caja. (Recuerda que primero debes hallar la altura del triángulo de la base usando el Teorema de Pitágoras).

Se desea pintar el exterior de una carpa publicitaria que tiene forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $4 \text{ m}$ y la apotema de la cara lateral mide $7 \text{ m}$. Si el bote de pintura cubre $10 \text{ m}^2$ y no se pinta el suelo de la carpa, ¿cuántos botes de pintura se deben comprar como mínimo?

Calcula el volumen de un prisma de base trapezoidal (un depósito de agua). Las bases del trapecio miden $2 \text{ m}$ y $3 \text{ m}$, su altura es de $1.5 \text{ m}$ y la longitud total del depósito (altura del prisma) es de $5 \text{ m}$. Si el depósito está lleno hasta la mitad, ¿cuántos litros de agua contiene?

Una empresa de joyería artesana quiere fabricar un colgante de plata con la forma de un octaedro regular. Si cada arista del octaedro mide $12\text{ mm}$, calcula la superficie total de plata que necesitarán para cubrir el colgante (el área total). Pista: Recuerda que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros iguales. Necesitarás calcular primero la altura de uno de esos triángulos usando el Teorema de Pitágoras.

Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un centro comercial con forma de pirámide cuadrangular regular. La base es un cuadrado de $6\text{ m}$ de lado. Si el área de la superficie de cristal (el área lateral de la pirámide) es de $60\text{ m}^2$, calcula la altura real de la pirámide desde el centro de la base hasta la cúspide. Nota: Ten cuidado, primero deberás hallar la apotema de la pirámide a través del área lateral y luego aplicar Pitágoras para hallar la altura.

Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una bocina con forma de prisma hexagonal regular. El perímetro de la base hexagonal es de $42\text{ cm}$ y la altura de la bocina es de $30\text{ cm}$. Para que el sonido sea óptimo, debes forrar las paredes laterales con una tela especial que cuesta $300\text{ \$/m}^2$. Calcula el costo total de la tela necesaria para forrar la superficie lateral de cinco bocinas iguales. (Recuerda realizar los cambios de unidades de $\text{cm}^2$ a $\text{m}^2$).

Se quiere fabricar una caja metálica sin tapa que tenga forma de cubo y cuya diagonal mida exactamente $10\sqrt{3}\text{ cm}$.

1. a) Calcula cuánto debe medir la arista de dicha caja.
2. b) Si el metal utilizado pesa $2.5\text{ gramos}$ por cada $\text{cm}^2$, ¿cuál será la masa total de la caja una vez fabricada? (Recuerda que la caja no tiene tapa superior).