Experiencias aleatorias y espacio muestral
Antes de que empiece un partido de la Liga MX, el árbitro lanza una moneda para decidir quién saca. ¿Puede alguien saber de antemano qué saldrá? ¿Y qué suma darán dos dados en un juego de mesa? Hay situaciones en las que, por mucho que sepas, no puedes adivinar el resultado. Eso tiene un nombre en matemáticas: azar.
Experimentos aleatorios y espacio muestral
Indica si cada uno de estos experimentos es aleatorio o determinista, y justifica tu respuesta: a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve. b) Lanzar una…
Indica si cada uno de estos experimentos es aleatorio o determinista, y justifica tu respuesta:
a) Calentar agua hasta $100$ °C y comprobar si hierve.
b) Lanzar una moneda y anotar si sale águila.
c) Medir cuánto tarda en caer al piso una hoja arrugada lanzada desde una mesa.
d) Anotar el color del primer carro que pase por la calle.
e) Calcular el precio de $3$ kg de naranjas a $\$48$ el kilo.
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio: a) Lanzar un dado y anotar la cara superior. b) Lanzar dos monedas y anotar el número de águilas. c) Extraer…
Escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio:
a) Lanzar un dado y anotar la cara superior.
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de águilas.
c) Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo.
Escribe el espacio muestral de estas experiencias: a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$. b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras…
Escribe el espacio muestral de estas experiencias:
a) Sacar una bola de un bombo con bolas numeradas del $1$ al $10$.
b) Lanzar un dado tetraédrico con las caras numeradas del $1$ al $4$.
c) Anotar el número de goles que marcará un equipo en su próximo partido.
Eventos: seguro, posible e imposible
Un evento es un resultado o un conjunto de resultados del experimento. Si el evento tiene un solo resultado, es elemental; si tiene varios, es compuesto.
| Evento | Qué significa | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Seguro | Ocurre siempre | «sacar un número menor que 7» |
| Posible | Puede ocurrir o no | «sacar un 4» |
| Imposible | No puede ocurrir nunca | «sacar un 8» |
Ejemplos de elemental y compuesto con un dado: «sacar 5» es elemental; «sacar un número par» es compuesto, porque lo forman $\{2, 4, 6\}$.
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar. Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible: a)…
En la bolsa de la figura hay $6$ bolas rojas y $1$ verde. Se extrae una bola al azar.
Clasifica estos eventos como seguro, muy probable, poco probable o imposible:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
d) Sacar una bola que sea roja o verde.
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»: a) Escribe un evento seguro. b) Escribe un evento imposible. c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro…
En el experimento «lanzar dos dados y sumar los puntos»:
a) Escribe un evento seguro.
b) Escribe un evento imposible.
c) Escribe un evento posible que no sea ni seguro ni imposible.
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos: a) Sacar el $5$. b) Sacar un número par.…
De una urna con bolas numeradas del $1$ al $8$ se extrae una bola al azar. Indica si estos eventos son elementales o compuestos:
a) Sacar el $5$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un múltiplo de $3$.
d) Sacar el $8$.
Resultados con más o menos posibilidades
Dos resultados son equiprobables si tienen las mismas posibilidades de salir. En un dado equilibrado, los seis números lo son. Pero no siempre es así: en una ruleta con sectores de distinto tamaño, el color que ocupa más espacio tiene más posibilidades.
En la urna de arriba hay más bolas rojas que azules: el espacio muestral es $\{\text{roja}, \text{azul}\}$, pero los dos resultados no son equiprobables.
Observa la ruleta de la figura. a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos? b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles? c)…
Observa la ruleta de la figura.
a) ¿Qué color tiene más probabilidades de salir al girar la aguja? ¿Y cuál menos?
b) ¿Hay colores con la misma probabilidad? ¿Cuáles?
c) Ordena los colores de más probable a menos probable.
Experimentos de varias etapas: tablas de doble entrada
Cuando el experimento tiene varias etapas (dos dados, una moneda y un dado…), una tabla de doble entrada evita que se te pierda algún resultado: una fila por cada resultado de la primera etapa y una columna por cada resultado de la segunda.
Por ejemplo, al lanzar una moneda y un dado hay $2 \times 6 = 12$ resultados:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | A$1$ | A$2$ | A$3$ | A$4$ | A$5$ | A$6$ |
| S | S$1$ | S$2$ | S$3$ | S$4$ | S$5$ | S$6$ |
(A = águila, S = sol.)
Ahora lanza dos dados muchas veces y observa qué sumas salen más:
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles: | | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |…
Se lanzan una moneda y un dado. Copia y completa en tu cuaderno la tabla de doble entrada con todos los resultados posibles:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| C | C$1$ | |||||
| + | +$6$ |
a) ¿Cuántos resultados distintos hay?
b) ¿Cuántos incluyen cara?
c) ¿Cuántos incluyen un número par?
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles. b) Escribe el espacio muestral…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos.
a) Completa en tu cuaderno una tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles.
b) Escribe el espacio muestral del experimento.
c) ¿Cuántos casos dan suma $7$? Enuméralos.
d) ¿Son equiprobables todos los resultados del espacio muestral? Razona tu respuesta.
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma. a) Construye una tabla de doble entrada con todos…
Se lanzan un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y un dado cúbico (del $1$ al $6$), y se anota la suma.
a) Construye una tabla de doble entrada con todos los resultados.
b) Escribe el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene?
c) Escribe los casos del evento «sumar $8$».
Para retos con tablas más grandes:
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento: a) Suma par.…
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con las $36$ sumas posibles y cuenta los casos de cada evento:
a) Suma par.
b) Suma múltiplo de $3$.
c) Suma mayor que $8$.
d) Suma igual a $1$.
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos. a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles. b) ¿Cuántos casos dan un producto…
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos.
a) Construye en tu cuaderno la tabla de doble entrada con los $36$ productos posibles.
b) ¿Cuántos casos dan un producto par?
c) ¿Cuántos casos dan un producto mayor que $20$?
d) ¿Cuál es el producto que aparece con más frecuencia en la tabla?
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$…
Al lanzar dos dados y sumar los puntos, Nora afirma: «El espacio muestral es $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que son $11$ casos, así que la probabilidad de obtener suma $12$ es $\frac{1}{11}$».
a) Explica el error de su razonamiento.
b) Calcula correctamente la probabilidad de obtener suma $12$.
c) ¿Cuál es la suma más probable? ¿Por qué?
Diagramas de árbol
Cuando hay tres o más etapas, o cuando las etapas dependen unas de otras, el diagrama de árbol es más claro que una tabla. Cada rama es una posibilidad y cada resultado es un camino completo, de la raíz a la punta.
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) Escribe el espacio muestral. c) Escribe los casos de los…
Se lanzan tres monedas, como muestra el diagrama de árbol de la figura.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) Escribe el espacio muestral.
c) Escribe los casos de los eventos «salir exactamente $2$ águilas» y «salir alguna águila».
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama…
En el comedor escolar se puede elegir un primer plato (ensalada o sopa), un segundo plato (pollo, pescado o pasta) y un postre (fruta o yogur), como muestra el diagrama de la figura.
a) ¿Cuántos menús distintos se pueden formar?
b) Si un menú se elige completamente al azar, ¿cuántos incluyen pasta?
c) ¿Cuántos incluyen ensalada y yogur?
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar. a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus…
En un examen de verdadero o falso con $3$ preguntas, un alumno responde completamente al azar.
a) Con ayuda de un diagrama de árbol, escribe el espacio muestral de sus respuestas, anotando en cada pregunta si acierta ($A$) o falla ($F$).
b) Escribe los casos del evento «acertar exactamente $2$ preguntas».
c) ¿Cuántos casos tiene el evento «fallar las $3$ preguntas»?
Otros retos de conteo y comparación:
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul. a) Dibuja un diagrama de árbol y…
Se lanzan a la vez tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con las caras verde y azul, y otra con las caras roja y azul.
a) Dibuja un diagrama de árbol y escribe el espacio muestral.
b) ¿En cuántos resultados salen los tres colores distintos?
c) ¿En cuántos resultados hay al menos dos colores iguales?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Para entrenar, un club de básquetbol tiene $3$ playeras (roja, azul y verde), $2$ shorts (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B). a) Dibuja un…
Para entrenar, un club de básquetbol tiene $3$ playeras (roja, azul y verde), $2$ shorts (negro y blanco) y $2$ pares de tenis (modelo A y modelo B).
a) Dibuja un diagrama de árbol y calcula cuántos uniformes distintos se pueden formar.
b) ¿Cuántos uniformes incluyen la playera roja?
c) ¿Cuántos incluyen el short negro y los tenis del modelo A?
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale águila, se extrae una bola de la urna A, y si sale sol, de la urna B. a) Escribe el espacio muestral del…
En el experimento de la figura se lanza una moneda: si sale águila, se extrae una bola de la urna A, y si sale sol, de la urna B.
a) Escribe el espacio muestral del experimento completo.
b) ¿Son equiprobables los cuatro resultados? Justifica tu respuesta.
c) ¿En qué urna es más probable sacar una bola roja?
Describir eventos con casos
Para un evento, escribe los casos del espacio muestral que lo cumplen. Así puedes contarlos y compararlos.
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha…
En una urna hay $10$ fichas numeradas del $1$ al $10$: las del $1$ al $4$ son rojas, las del $5$ al $7$ son verdes y las del $8$ al $10$ son azules. Se extrae una ficha al azar. Escribe los casos de cada evento:
a) A = «ficha roja».
b) B = «ficha con número par».
c) C = «ficha azul con número par».
d) D = «ficha roja o verde».
Justifica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son…
Justifica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:
a) El espacio muestral de lanzar dos monedas y anotar los resultados es $\{CC, C+, ++\}$, y los tres casos son equiprobables.
b) Un evento elemental está formado por un único resultado del espacio muestral.
c) El evento seguro tiene probabilidad $1$.
d) Al lanzar un dado, «obtener un número mayor que $2$» es un evento compuesto.
El código de un casillero de la unidad deportiva tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella. a) ¿Cuántos códigos distintos se…
El código de un casillero de la unidad deportiva tiene $3$ ruedas, cada una con $4$ símbolos: círculo, triángulo, cuadrado y estrella.
a) ¿Cuántos códigos distintos se pueden formar?
b) ¿Cuántos códigos empiezan con estrella?
c) ¿Cuántos códigos tienen los tres símbolos iguales?
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja. a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas. b)…
Un juego de dominó tiene $28$ fichas, cada una con dos números del $0$ al $6$, sin repetir ninguna pareja.
a) ¿Cuántas fichas contienen el número $6$? Enuméralas.
b) ¿Cuántas fichas son dobles (los dos números iguales)?
c) Describe el evento «la ficha contiene el $6$ o es doble» contando cuántos casos tiene.
Compara estas dos experiencias con urnas: Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar. Experiencia 2: se lanza una moneda;…
Compara estas dos experiencias con urnas:
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Experiencia 1: de una bolsa con $3$ bolas verdes y $1$ roja se extrae una bola al azar.
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Experiencia 2: se lanza una moneda; solo si sale cara, se extrae una bola de una urna con $2$ bolas rojas y $1$ verde.
a) Escribe el espacio muestral de cada experiencia.
b) ¿En cuál de las dos es más fácil obtener bola roja? Razona la respuesta calculando y comparando la probabilidad de obtener bola roja en cada una.
Vuelve al principio: al lanzar una moneda o dos dados no puedes saber qué saldrá, pero sí puedes escribir todos los casos posibles. Con dos dados, la suma más probable es $7$, con $6$ de los $36$ casos.