Vettori, prodotto scalare e matrici
Un drone parte da un punto e si sposta di 3 m verso est e di 1 m verso sud; poi un secondo spostamento lo porta 2 m a est e 4 m a nord. Dov'è arrivato rispetto alla partenza? E come si può capire, senza disegnare, se due spostamenti sono "nella stessa direzione" oppure "ad angolo retto"? Con i vettori si risponde con semplici conti sulle coordinate.
Vettori nel piano e operazioni
Un vettore è un segmento orientato: ha una direzione, un verso e una lunghezza. Nel piano cartesiano lo descriviamo con due componenti: $\vec{v} = (v_x; v_y)$. Se $A(x_1; y_1)$ e $B(x_2; y_2)$, il vettore che va da $A$ a $B$ è
$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1).$$Il modulo è la lunghezza del vettore, cioè (per Pitagora) $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Le operazioni si fanno componente per componente:
-
somma: $(a; b) + (c; d) = (a + c;\ b + d)$;
-
differenza: $(a; b) - (c; d) = (a - c;\ b - d)$;
-
prodotto per un numero $k$: $k\,(a; b) = (ka;\ kb)$.
La somma corrisponde ad attaccare un vettore all'altro (regola del parallelogramma): per questo gli spostamenti del drone si sommano.
Dati $\vec{u} = (3; -1)$ e $\vec{v} = (2; 4)$, calcola $\vec{u} + \vec{v}$, $\vec{u} - \vec{v}$ e $2\vec{u}$.
Dati $\vec{u} = (3; -1)$ e $\vec{v} = (2; 4)$, calcola $\vec{u} + \vec{v}$, $\vec{u} - \vec{v}$ e $2\vec{u}$.
Prodotto scalare e angoli
Il prodotto scalare di $\vec{a} = (a_x; a_y)$ e $\vec{b} = (b_x; b_y)$ è un numero:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y.$$Si può anche scrivere $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori (supposti non nulli). Da qui il perché: il prodotto misura quanto i due vettori "vanno nello stesso verso". Ne segue
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.$$Il segno del prodotto scalare dice di che tipo di angolo si tratta:
| $\vec{a} \cdot \vec{b}$ | angolo $\theta$ |
|---|---|
| $> 0$ | acuto |
| $= 0$ | retto (vettori perpendicolari) |
| $< 0$ | ottuso |
Calcola il prodotto scalare di $\vec{a} = (2; 5)$ e $\vec{b} = (-3; 1)$ e il modulo di ciascun vettore.
Calcola il prodotto scalare di $\vec{a} = (2; 5)$ e $\vec{b} = (-3; 1)$ e il modulo di ciascun vettore.
Calcola il coseno dell'angolo tra $\vec{a} = (1; 2)$ e $\vec{b} = (3; -1)$ usando il prodotto scalare, e stabilisci se l'angolo è acuto, retto o ottuso.
Calcola il coseno dell'angolo tra $\vec{a} = (1; 2)$ e $\vec{b} = (3; -1)$ usando il prodotto scalare, e stabilisci se l'angolo è acuto, retto o ottuso.
Dipendenza lineare e triangoli
Due vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono linearmente dipendenti se uno è multiplo dell'altro, cioè $\vec{v} = k\vec{u}$: sono paralleli (stessa direzione). Altrimenti sono linearmente indipendenti.
In coordinate, $(a; b)$ e $(c; d)$ sono dipendenti quando le componenti sono proporzionali: $ad - bc = 0$ (lo ritroveremo come determinante).
Perché? Se $\vec{v} = k\vec{u}$, allora $c = ka$ e $d = kb$, quindi $ad - bc = a \cdot kb - b \cdot ka = 0$. Viceversa, se $ad - bc = 0$ e $\vec{u} \ne \vec{0}$ (per esempio $a \ne 0$), poniamo $k = \dfrac{c}{a}$: allora $c = ka$ e, da $ad = bc$, $d = \dfrac{bc}{a} = kb$, cioè $\vec{v} = k\vec{u}$. Se $a = 0$ e $b \ne 0$ si ragiona allo stesso modo con $k = \dfrac{d}{b}$.
Interpretazione geometrica: $|ad - bc|$ è l'area del parallelogramma costruito sui due vettori. Se i vettori sono paralleli il parallelogramma si schiaccia su un segmento e la sua area è $0$.
Stabilisci per quale valore di $k$ i vettori $\vec{u} = (2; k)$ e $\vec{v} = (6; 9)$ sono linearmente dipendenti, e per quale valore sono perpendicolari.
Stabilisci per quale valore di $k$ i vettori $\vec{u} = (2; k)$ e $\vec{v} = (6; 9)$ sono linearmente dipendenti, e per quale valore sono perpendicolari.
Dati $A(1; 1)$, $B(5; 2)$, $C(4; 6)$, usa i vettori per dimostrare che il triangolo $ABC$ è isoscele e calcola l'ampiezza dell'angolo in $A$ con il prodotto scalare.
Dati $A(1; 1)$, $B(5; 2)$, $C(4; 6)$, usa i vettori per dimostrare che il triangolo $ABC$ è isoscele e calcola l'ampiezza dell'angolo in $A$ con il prodotto scalare.
Dimostra che due vettori $\vec{u}=(a; b)$ e $\vec{v}=(c; d)$ sono linearmente dipendenti se e solo se $ad - bc = 0$, e interpreta il risultato geometricamente in termini…
Dimostra che due vettori $\vec{u}=(a; b)$ e $\vec{v}=(c; d)$ sono linearmente dipendenti se e solo se $ad - bc = 0$, e interpreta il risultato geometricamente in termini di determinante.
Matrici 2×2
Una matrice è una tabella di numeri. Una matrice 2×2 ha due righe e due colonne:
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$$Somma e prodotto per un numero si fanno elemento per elemento, come per i vettori:
$$A + B = \begin{pmatrix} a + a' & b + b' \\ c + c' & d + d' \end{pmatrix}, \qquad kA = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}.$$Il determinante è il numero
$$\det A = ad - bc.$$Il prodotto righe per colonne $AB$: l'elemento in riga $i$, colonna $j$ è il prodotto scalare della riga $i$ di $A$ per la colonna $j$ di $B$.
Date le matrici $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$, calcola $A + B$, $2A$ e $\det A$.
Date le matrici $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$, calcola $A + B$, $2A$ e $\det A$.
Calcola il prodotto delle matrici $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, sia $AB$ sia $BA$, e verifica…
Calcola il prodotto delle matrici $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, sia $AB$ sia $BA$, e verifica se il prodotto è commutativo.
Matrice inversa e sistemi
Se $\det A \ne 0$, esiste la matrice inversa $A^{-1}$, tale che $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, con $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Per una matrice 2×2:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$Un sistema $\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$ si scrive $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$; moltiplicando a sinistra per $A^{-1}$ si ottiene
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}.$$Svolgendo i conti si ritrovano le formule di Cramer: $x = \dfrac{ed - bf}{\det A}$, $y = \dfrac{af - ec}{\det A}$.
Sia $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$. a) Verifica che $\det M = 1$ e determina la matrice inversa $M^{-1}$. b) Risolvi il sistema…
Sia $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$.
- a) Verifica che $\det M = 1$ e determina la matrice inversa $M^{-1}$.
- b) Risolvi il sistema $\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 5x + 3y = 9 \end{cases}$ usando $M^{-1}$.
- c) Spiega il legame con la regola di Cramer.
Vuoi tornare al drone? $\vec{u} + \vec{v} = (5; 3)$: è 5 m a est e 3 m a nord rispetto alla partenza. Gli spostamenti non sono perpendicolari, perché $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 4 = 2 \ne 0$.
In sintesi
-
Vettori: si sommano e si moltiplicano per un numero componente per componente; $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
-
Prodotto scalare: $a_x b_x + a_y b_y$; per vettori non nulli vale $0$ se e solo se i vettori sono perpendicolari, e $\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
-
Vettori dipendenti (paralleli): $ad - bc = 0$.
-
Matrici 2×2: somma e prodotto per un numero elemento per elemento; prodotto righe per colonne, non commutativo.
-
$\det A = ad - bc$; se è diverso da $0$ esiste $A^{-1}$, che risolve i sistemi (regola di Cramer).