Poligoni inscritti e circoscritti

Inscritto e circoscritto: i due modi di incastrare

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza. In tal caso la circonferenza è circoscritta al poligono.

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In tal caso la circonferenza è inscritta nel poligono.

Attenzione al linguaggio: la parola cambia a seconda di chi guardi. Il triangolo è inscritto, la circonferenza è circoscritta (e viceversa).

Dove sta il centro? Il ragionamento è sempre lo stesso:

• Il centro della circonferenza circoscritta è equidistante dai vertici. Quindi sta sull'asse di ogni lato. Si chiama circocentro.

• Il centro della circonferenza inscritta è equidistante dai lati. Quindi sta sulla bisettrice di ogni angolo. Si chiama incentro.

Triangoli: ogni triangolo ha entrambe le circonferenze

Gli assi dei tre lati di un triangolo si incontrano sempre in un punto, e anche le tre bisettrici. Perciò ogni triangolo è inscrittibile e circoscrittibile: ha sempre una circonferenza inscritta e una circoscritta.

Dove cade il circocentro?

• Triangolo acutangolo: dentro il triangolo.

• Triangolo rettangolo: nel punto medio dell'ipotenusa. Quindi $R = \dfrac{c}{2}$: l'ipotenusa è un diametro.

• Triangolo ottusangolo: fuori dal triangolo.

L'incentro invece sta sempre dentro.

Per i raggi usiamo l'area $A$ e il semiperimetro $p$ (metà del perimetro):

(Più sotto, in un esempio, vedrai anche come calcolare la distanza tra incentro e circocentro con le coordinate.)

Perché $r = A/p$? Unendo l'incentro ai vertici, il triangolo si divide in tre triangoli di altezza $r$ e basi $a$, $b$, $c$. La somma delle loro aree è $\frac{1}{2}r(a+b+c) = r\,p$. Quindi $A = r\,p$.

Per il triangolo equilatero di lato $\ell$ i raggi si ricavano subito. Il circocentro e l'incentro coincidono (è il baricentro), e $R = 2r$:

Distanza tra incentro e circocentro

In un triangolo isoscele i due centri stanno sull'altezza relativa alla base, che è asse di simmetria. Basta mettere il triangolo nel piano cartesiano e confrontare le ordinate dei due centri.

Il triangolo rettangolo

Se i cateti sono $a$, $b$ e l'ipotenusa è $c$:

Per ricavare la seconda formula guarda la figura. Il centro $I$ è a distanza $r$ da entrambi i cateti, quindi dal vertice dell'angolo retto i punti di tangenza distano $r$ (si forma un quadrato di lato $r$). Dagli altri due vertici le tangenti misurano $a - r$ e $b - r$. Per il teorema dei segmenti di tangenza, la loro somma è l'ipotenusa: $(a - r) + (b - r) = c$, da cui $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Quadrilateri: non sempre si può

Per i quadrilateri la situazione cambia: non tutti hanno una circonferenza inscritta o circoscritta. Servono condizioni precise.

Perché valgono? Nel primo caso, due angoli opposti sono angoli alla circonferenza che insistono su archi complementari rispetto all'intera circonferenza: insieme sottendono $360^\circ$ e quindi la somma degli angoli vale $\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$. Nel secondo caso, i lati sono tangenti: da ogni vertice partono due tangenti uguali. Chiamiamole $x, y, z, w$ ai quattro vertici: $AB + CD = (x + y) + (z + w) = BC + AD$.

Casi particolari utili:

• Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile: gli angoli alla base sono uguali e gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari, quindi anche gli angoli opposti lo sono.

• Un parallelogramma è inscrittibile solo se è un rettangolo (lo dimostri nell'esercizio finale).

• Un rombo (e il quadrato) è sempre circoscrittibile: $AB + CD = BC + AD$ perché i quattro lati sono uguali.

Poligoni regolari

Un poligono è regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Ogni poligono regolare è sia inscrittibile sia circoscrittibile, e le due circonferenze hanno lo stesso centro $O$.

• Il raggio $R$ della circonferenza circoscritta è la distanza di $O$ dai vertici.

• Il raggio $r$ della circonferenza inscritta si chiama apotema: è la distanza di $O$ dai lati.

Unendo $O$ ai vertici, il poligono si divide in $n$ triangoli isosceli uguali. L'area è quindi

dove $p$ è il semiperimetro. Anche l'apotema è l'altezza di uno di questi triangoli: con Pitagora, $R^2 = r^2 + \left(\frac{\ell}{2}\right)^2$.

L'esagono è speciale: i sei triangoli in cui si divide sono equilateri, perché l'angolo al centro è $360^\circ : 6 = 60^\circ$ e il triangolo è isoscele. Quindi $R = \ell$.

Torna all'inizio: per la teglia con il trancio triangolare di lato 6 cm, il raggio vale $R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm.

In sintesi

• Poligono inscritto: vertici sulla circonferenza, centro nel punto d'incontro degli assi dei lati (circocentro).

• Poligono circoscritto: lati tangenti alla circonferenza, centro nel punto d'incontro delle bisettrici (incentro).

• Ogni triangolo ha entrambe le circonferenze: $r = \dfrac{A}{p}$, $R = \dfrac{abc}{4A}$. Nel triangolo rettangolo $R = \dfrac{c}{2}$ e $r = \dfrac{a+b-c}{2}$.

• Un quadrilatero è inscrittibile se gli angoli opposti sono supplementari, circoscrittibile se $AB + CD = BC + AD$.

• Nei poligoni regolari le due circonferenze sono concentriche; l'apotema è il raggio di quella inscritta e $A = p \cdot r$. Nell'esagono $R = \ell$.