Similitudine

Tre rette parallele tagliano due rette incidenti $r$ e $s$. I segmenti determinati su $r$ misurano $5 \text{ cm}$ e $x \text{ cm}$. I segmenti corrispondenti determinati su $s$ misurano $7 \text{ cm}$ e $21 \text{ cm}$. Calcola il valore di $x$.

Trova i valori di $x$ e $y$ nella figura seguente, sapendo che i segmenti orizzontali sono paralleli.

Calcola il valore di $x$ nella figura seguente, sapendo che le tre rette orizzontali sono parallele.

Verifica se due triangoli sono simili sapendo che i lati del primo misurano $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$, e quelli del secondo misurano $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ e $18 \text{ cm}$. Giustifica la risposta indicando il criterio di similitudine utilizzato.

I lati di un quadrilatero misurano $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$. Costruiamo un quadrilatero simile ad esso il cui perimetro è $99 \text{ cm}$. Calcola la lunghezza di ciascun lato del nuovo quadrilatero.

In una carta in scala $1:250\,000$, la distanza tra due città è di $8 \text{ cm}$. Calcola la distanza reale tra le due città espressa in chilometri.

La pianta di un terreno è disegnata in scala $1:400$. Si fa una fotocopia della pianta applicando un ingrandimento al $150\%$ (ogni lunghezza della copia è il $150\%$ di quella originale). Qual è la nuova scala della pianta ottenuta? Se nella fotocopia il terreno occupa una superficie di $12 \text{ cm}^2$, qual è la sua area reale in metri quadrati?

Due pentagoni regolari sono simili con rapporto di similitudine $k = 4$. Se il perimetro del pentagono minore è $15 \text{ cm}$, qual è il perimetro del pentagono maggiore?

Lucia vuole ingrandire una fotografia rettangolare di $10 \text{ cm} \times 15 \text{ cm}$ per realizzare un cartellone scolastico, triplicando tutte le sue lunghezze lineari (rapporto di similitudine $k = 3$). Per calcolare quanto cartoncino occuperà il nuovo cartellone, fa il seguente ragionamento: «L'area iniziale è $10 \cdot 15 = 150 \text{ cm}^2$. Poiché il rapporto di similitudine è $3$, il nuovo cartellone avrà un'area di $150 \cdot 3 = 450 \text{ cm}^2$». Individua l'errore concettuale commesso da Lucia, spiega perché il suo ragionamento non funziona a partire dalla relazione tra rapporto tra lunghezze e rapporto tra aree, e calcola l'area corretta del cartellone ingrandito.

La pianta di un'abitazione è disegnata in scala $1:120$. Se la superficie del salotto sulla pianta è $60 \text{ cm}^2$, qual è la superficie reale del salotto espressa in metri quadrati ($m^2$)?

Un modellino di un serbatoio industriale è costruito in scala $1:40$. Se il volume del modellino è $0,5 \text{ litri}$, qual è il volume reale del serbatoio espresso in metri cubi ($m^3$)?

Due sfere sono simili e il rapporto tra le loro aree (superfici) è $9$. Se il volume della sfera più piccola è $20 \text{ cm}^3$, qual è il volume della sfera più grande?

In una mappa catastale disegnata in scala $1 : 2\,500$, un terreno agricolo triangolare nella pianura padana è rappresentato da un triangolo di base $6,4 \text{ cm}$ e altezza relativa $4,5 \text{ cm}$. a) Modellizza la superficie calcolando prima l'area sulla mappa e applicando poi il rapporto di similitudine adeguato per ottenere l'area reale dell'appezzamento in ettari ($1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2$). b) Se il proprietario acquista un secondo appezzamento simile al precedente la cui area reale è esattamente quattro volte maggiore, per quale fattore risulterà moltiplicata la quantità di recinzione necessaria per delimitare tutto il suo perimetro? Giustifica la risposta.

Una statua di bronzo alta $1,2 \text{ m}$ pesa $150 \text{ kg}$ e il costo per verniciarla con uno strato protettivo è $40 \text{ €}$. Si ordina una replica esatta della statua, fatta dello stesso materiale, ma alta $3,6 \text{ m}$. Calcola quanto peserà la nuova statua e quanto costerà verniciarla.

Un calice ha la forma di un cono rovesciato con un'altezza interna di $15 \text{ cm}$. Si versa acqua fino a raggiungere un'altezza di $10 \text{ cm}$ dal vertice inferiore. Quale frazione del volume totale del calice è piena d'acqua? Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini.

Una squadra antincendio boschivo utilizza una cisterna portatile d'acqua a forma di cono rovesciato (con il vertice appoggiato al suolo). Quando l'acqua raggiunge un'altezza di $1,20 \text{ m}$ rispetto al fondo, il volume contenuto è di $3\,000 \text{ litri}$. a) Dopo un rifornimento, il livello dell'acqua sale fino a $2,40 \text{ m}$ (il doppio dell'altezza). Un operaio sostiene che ora ci sono $6\,000 \text{ litri}$, mentre un altro sostiene che ce ne sono $24\,000 \text{ litri}$. Modella i due volumi come solidi simili e dimostra con un ragionamento quale dei due operai ha ragione. b) Se la capacità massima della cisterna piena fino all'orlo è di $81\,000 \text{ litri}$, calcola l'altezza totale della cisterna e determina a quale percentuale della sua altezza totale deve arrivare l'acqua affinché la cisterna sia esattamente al $50\,\%$ della sua capacità massima.

Calcola l'altezza $h$ dell'albero sapendo che, alla stessa ora del giorno, un palo di $2 \text{ m}$ proietta un'ombra di $1,5 \text{ m}$ e l'albero proietta un'ombra di $4,5 \text{ m}$.

Nel cortile di una scuola di Bologna, alle 11:00 del mattino di una giornata di sole, un canestro verticale da pallacanestro alto $3,05 \text{ m}$ proietta sul suolo un'ombra di $1,90 \text{ m}$. Nello stesso istante e sullo stesso suolo orizzontale, l'ombra di un lampione del cortile misura $3,80 \text{ m}$. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo analitico, stima in modo argomentato se il lampione sarà più o meno alto di $6 \text{ m}$, basandoti sul rapporto visivo e numerico approssimato tra le due ombre. b) Modellizza i due triangoli rettangoli simili, calcola con esattezza l'altezza del lampione e verifica se la tua stima precedente era corretta.

Trova l'altezza $h$ dell'edificio utilizzando la riflessione in uno specchio posto sul suolo, sapendo che il raggio di luce rispetta la legge della riflessione (gli angoli di incidenza e di riflessione sono uguali).

Calcola la distanza $y$ indicata in figura e la larghezza del fiume sapendo che le due visuali tratteggiate sono rette che si incontrano in un punto.

Un proiettore cinematografico mostra una diapositiva alta $3,5 \text{ cm}$. La diapositiva è posta a $15 \text{ cm}$ dal centro ottico della lente del proiettore. Se lo schermo di proiezione si trova a $4,5 \text{ m}$ dalla lente, calcola l'altezza dell'immagine proiettata sullo schermo.

Nel trapezio della figura, le basi misurano $10 \text{ cm}$ e $25 \text{ cm}$, e l'altezza totale è $21 \text{ cm}$. Le diagonali si incontrano in un punto, dividendo l'altezza totale in due parti. Calcola l'area dei due triangoli evidenziati formati dalle basi e dalle diagonali.

Un pozzo cilindrico asciutto ha un diametro di $1,5 \text{ m}$. Una persona, i cui occhi si trovano a $1,6 \text{ m}$ dal suolo, si colloca a $0,5 \text{ m}$ dal bordo del pozzo. Da quella posizione, la sua visuale sfiora il bordo del pozzo e raggiunge esattamente l'angolo inferiore opposto del fondo. Calcola la profondità del pozzo.

Un lampione è alto $4,5 \text{ m}$. Una persona alta $1,8 \text{ m}$ parte dalla base del lampione e si allontana camminando in linea retta a una velocità costante di $1,5 \text{ m/s}$. Calcola la lunghezza dell'ombra proiettata dalla persona esattamente dopo $4 \text{ secondi}$ dall'inizio della camminata.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti (proiezioni) che misurano $3 \text{ cm}$ e $12 \text{ cm}$. Calcola la misura di tale altezza.

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $25 \text{ cm}$ e la proiezione di uno dei suoi cateti sull'ipotenusa misura $9 \text{ cm}$. Applica il primo teorema di Euclide (il quadrato di un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per la proiezione di tale cateto su di essa) per trovare la lunghezza di tale cateto.

I cateti di un triangolo rettangolo misurano $10 \text{ cm}$ e $24 \text{ cm}$. Calcola la lunghezza dell'ipotenusa, la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa e le lunghezze delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa misura esattamente $12 \text{ cm}$. Sapendo che la lunghezza totale dell'ipotenusa è $25 \text{ cm}$: a) Imposta un'equazione di secondo grado che permetta di ricostruire le lunghezze dei due segmenti (proiezioni $m$ e $n$) in cui tale altezza divide l'ipotenusa, basandoti sul secondo teorema di Euclide ($h^2 = m \cdot n$). b) Risolvi l'equazione e trova i valori di $m$ e $n$. c) Giustifica perché si ottengono due soluzioni numeriche simmetriche e quale significato geometrico hanno nel triangolo.

In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa misura $6 \text{ cm}$. Tale altezza divide l'ipotenusa in due proiezioni le cui lunghezze sono $x$ e $x+5$ centimetri. Imposta un'equazione, trova il valore di $x$ e calcola la misura dei tre lati del triangolo rettangolo.

In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura $50 \text{ cm}$ e la proiezione di uno dei suoi cateti su di essa misura $18 \text{ cm}$. Due studenti vogliono trovare la misura di quel cateto e discutono su quale strategia sia preferibile seguire: - Metodo di Marco: calcolare prima l'altra proiezione ($50 - 18 = 32 \text{ cm}$), applicare il secondo teorema di Euclide ($h^2 = m \cdot n$) per ottenere $h$, e poi usare il teorema di Pitagora nel triangolo minore formato dal cateto, dall'altezza e dalla proiezione di $18 \text{ cm}$. - Metodo di Sara: applicare direttamente la similitudine tra il triangolo rettangolo originale completo e il triangolo rettangolo minore che condivide quel cateto e l'angolo acuto adiacente, uguagliando il rapporto tra le ipotenuse con il rapporto tra cateti omologhi. a) Sviluppa algebricamente entrambi i metodi e calcola il valore numerico del cateto con ciascuno. b) Confronta i due percorsi in termini di numero di operazioni e di calcolo di radici intermedie, e giustifica quale dei due sia più diretto e sicuro.