Sistemi di equazioni non lineari

Risolvi il sistema formato da un'equazione lineare e una quadratica:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

Risolvi il seguente sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

Trova la soluzione del sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Vogliamo costruire un sistema di equazioni non lineari formato da una parabola con asse verticale della forma $y = x^2 + b$ e da una retta della forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Trova i valori dei parametri $b$, $m$ e $n$ affinché le uniche soluzioni del sistema siano esattamente i punti $(0, 2)$ e $(3, 11)$. Giustifica come deduci ciascun valore a partire dalle coordinate date.
2. b) Scrivi il sistema completo risultante e verifica algebricamente, risolvendolo con il metodo del confronto, che non esiste nessun altro punto di intersezione tra le due figure.

Risolvi il seguente sistema che contiene un'equazione irrazionale:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

In un sistema di posizionamento e guida di droni, un drone di sorveglianza descrive una traiettoria parabolica data dall'equazione $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, mentre un fascio di luce di segnalazione viene emesso in linea retta secondo l'equazione $y = 2\cdot x + k$, dove $k$ è un parametro reale che si può regolare variando l'inclinazione dell'emettitore.

1. a) Imposta il sistema di equazioni formato dalle due traiettorie e uguaglia le espressioni per ottenere un'equazione di secondo grado della forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dipendente da $k$.
2. b) Senza assegnare valori a caso a $k$, usa il discriminante ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) per determinare analiticamente quale condizione deve soddisfare $k$ affinché:

• Il fascio di luce intersechi la traiettoria del drone in due punti distinti.

• Il fascio di luce non raggiunga mai la traiettoria del drone.

• Il fascio di luce sia tangente alla traiettoria del drone (un unico punto di contatto).

1. c) Per il valore di $k$ che produce la tangenza, calcola le coordinate esatte del punto di contatto $(x, y)$ e spiega quale significato geometrico ha il fatto che l'equazione quadratica associata abbia una radice doppia.

Trova la soluzione del sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

La somma dei quadrati di due numeri è $25$ e uno di essi è minore dell'altro di $1$ unità. Imposta un sistema di equazioni e trova i numeri.

Per risolvere il seguente sistema simmetrico di equazioni non lineari:

due studenti del secondo anno di liceo propongono strade diverse:

• Metodo di Laura (Sostituzione): ricavare $y = 15 - x$ dalla prima equazione, sostituire nella seconda, sviluppare il quadrato del binomio e risolvere l'equazione di secondo grado in $x$.

• Metodo di Marco (Prodotti notevoli): elevare al quadrato entrambi i membri della prima equazione per ottenere $(x + y)^2 = 225$, applicare lo sviluppo $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2\cdot x\cdot y$, sostituire $x^2 + y^2 = 117$ per calcolare direttamente il prodotto $x\cdot y$, e impostare a partire dalla somma $S$ e dal prodotto $P$ l'equazione $t^2 - S\cdot t + P = 0$.

1. a) Risolvi il sistema seguendo in dettaglio il metodo di Laura.
2. b) Risolvi il sistema seguendo in dettaglio il metodo di Marco.
3. c) Confronta i due procedimenti: quale dei due richiede calcoli aritmetici più semplici e presenta minor rischio di errori di segno? Giustifica quale sceglieresti se i numeri del testo fossero molto più grandi.

Risolvi il seguente sistema di equazioni simmetrico:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

L'area di un tappeto rettangolare è $6 \text{ m}^2$ e il suo perimetro misura $10 \text{ m}$. Imposta un sistema di equazioni non lineari e calcola le dimensioni del tappeto.

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $13 \text{ cm}$. Si sa che uno dei cateti misura $7 \text{ cm}$ in più dell'altro. Imposta un sistema di equazioni non lineari per calcolare la lunghezza dei due cateti.

L'area di un rombo è $24 \text{ cm}^2$ e la somma delle lunghezze delle sue diagonali è $14 \text{ cm}$. Determina la lunghezza di entrambe le diagonali impostando un sistema di equazioni.

In un parco si deve costruire un'area giochi rettangolare circondata da un camminamento di erba sintetica largo $1 \text{ m}$ lungo tutto il perimetro. L'area della zona giochi deve essere $48 \text{ m}^2$ e l'area totale (zona giochi più camminamento) deve essere $96 \text{ m}^2$. Imposta un sistema di equazioni per trovare le dimensioni della zona giochi.

Il prodotto di due numeri interi positivi è $156$ e uno di essi è il consecutivo dell'altro. Imposta un sistema di equazioni e trova tali numeri.

Sara cerca di risolvere il seguente sistema di equazioni non lineari, che descrive due numeri la cui differenza è $3$ e la somma dei cui quadrati è $29$:

Per farlo, ricava $x = y + 3$ dalla prima equazione e sostituisce nella seconda, scrivendo sul quaderno:

E conclude che l'unica soluzione è $y = \sqrt{10}$, $x = 3 + \sqrt{10}$.

1. a) Individua i due gravi errori concettuali commessi da Sara nel suo svolgimento e spiega in dettaglio perché sono scorretti.
2. b) Risolvi il sistema in modo corretto, mostrando tutti i passaggi algebrici, e indica tutte le coppie di soluzioni $(x, y)$ valide.

Un gruppo di studenti compra un regalo per un compagno per $120$ euro, da pagare in parti uguali. All'ultimo momento si aggiungono altri $2$ studenti, per cui ciascuno di quelli iniziali paga $3$ euro in meno. Quanti studenti c'erano all'inizio e quanto pagava ciascuno?

Un filo di $40 \text{ cm}$ di lunghezza viene tagliato in due pezzi. Con uno dei pezzi si forma un quadrato e con l'altro si forma un rettangolo la cui base è il doppio dell'altezza. Se la somma delle aree delle due figure è $48 \text{ cm}^2$, quanto misura ciascun pezzo di filo?