Disequazioni in una incognita

Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita ed esprimi la soluzione come un unico intervallo:

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Risolvi la seguente disequazione di primo grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Studia e risolvi il seguente sistema formato da una disequazione di primo grado e una di secondo grado:

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Trova i valori di $x$ che verificano la disequazione di secondo grado, già scomposta in fattori: $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Risolvi la disequazione polinomiale di grado superiore raccogliendo prima il fattore comune: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

I guadagni mensili di una fabbrica di monopattini elettrici, espressi in migliaia di euro, sono dati dalla funzione $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, dove $x$ rappresenta il numero di centinaia di monopattini prodotti. Quanti monopattini devono essere prodotti perché l'azienda non abbia perdite (cioè perché $B(x) \geq 0$)?

Risolvi la semplice disequazione razionale studiando il segno del numeratore e del denominatore: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

Risolvi la disequazione razionale: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Ricorda di portare tutti i termini a un membro e di svolgere i calcoli per ottenere un unico quoziente prima di studiare i segni.

Risolvi la disequazione razionale in cui numeratore e denominatore sono polinomi di secondo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Si vuole costruire una disequazione razionale in una incognita il cui insieme esatto delle soluzioni sia $(-3, 2] \cup (5, +\infty)$. a) Costruisci una disequazione della forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, in cui sia il numeratore $P(x)$ sia il denominatore $Q(x)$ siano polinomi scomposti in binomi monici di primo grado. Giustifica passo dopo passo, basandoti sullo studio dei segni per tratti, la posizione di ciascun fattore al numeratore o al denominatore. b) Spiega in dettaglio perché i numeri $-3$ e $5$ devono comparire con intervallo aperto (parentesi tonda) nella soluzione, mentre $2$ resta chiuso (con parentesi quadra). c) Senza rifare tutta la tabella dei segni, spiega quale trasformazione elementare dovresti applicare alla tua disequazione perché la soluzione diventi $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Risolvi la disequazione con valore assoluto ed esprimi la sua soluzione come unione di intervalli: $|2x - 5| \geq 7$.

Per risolvere la disequazione con valore assoluto $|2x - 6| \leq 10$, si propongono due strategie diverse: Via 1 (metodo algebrico), trasformare l'espressione nella doppia disuguaglianza simultanea $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ e ricavare $x$; e Via 2 (interpretazione geometrica), raccogliere il fattore comune per scrivere $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, semplificare in $|x - 3| \leq 5$ e interpretare la distanza dal valore centrale $3$ sulla retta reale. a) Sviluppa esplicitamente entrambi i procedimenti e verifica che si ottiene esattamente lo stesso intervallo soluzione. b) Giustifica con ragionamento quale dei due metodi ritieni più efficiente e quale riduce al minimo la probabilità di commettere errori con i segni. c) Spiega come si adatterebbe l'impostazione di ciascuna via se la disequazione fosse stretta e di verso opposto: $|2x - 6| > 10$.

Risolvi la disequazione con valore assoluto che contiene espressioni frazionarie: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

La somma del doppio di un numero naturale e $5$ è strettamente minore di $17$. Imposta la disequazione corrispondente e trova tutti i numeri naturali che la soddisfano.

Si vuole costruire un giardino rettangolare in modo che la sua lunghezza sia $4$ metri maggiore della sua larghezza $x$. Se si dispone di concime sufficiente a coprire al massimo $45 \text{ m}^2$, imposta una disequazione e determina i possibili valori che può assumere la larghezza $x$.

Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione di secondo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ non ha soluzioni reali. Imposta la disequazione corrispondente utilizzando il discriminante e risolvila.