Equazioni di secondo grado
Il Giro d'Italia passa sotto casa tua e vuoi sapere in quali istanti un ciclista, lanciato in discesa, supera una certa quota. Oppure: quanto deve essere largo un passepartout perché una fotografia raggiunga una certa area? In tutti questi casi l'incognita compare al quadrato: servono le equazioni di secondo grado. Alla fine della pagina torneremo sul problema del passepartout.
Forma normale e formula risolutiva
Perché $a \neq 0$? Se $a = 0$ il termine in $x^2$ sparisce e l'equazione diventa di primo grado.
Se l'equazione contiene prodotti notevoli, sviluppali e riduci i termini simili prima di leggere i coefficienti. Ricorda: $(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$ e $(x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2$ (il doppio prodotto non va dimenticato!).
Le soluzioni si trovano con la formula risolutiva:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Da dove viene? Dividiamo per $a$ e completiamo il quadrato: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$. Aggiungiamo $\frac{b^2}{4a^2}$ a entrambi i membri: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Estraendo la radice si ottiene $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, cioè la formula.
Formula ridotta. Se $b$ è pari, $b = 2b'$, conviene usare
$$x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a} \qquad \text{con } \frac{\Delta}{4} = b'^2 - ac$$Legame con la parabola. Le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ sono le ascisse dei punti in cui la parabola $y = ax^2 + bx + c$ interseca l'asse $x$ (risoluzione grafica). Muovi i parametri e osserva.
Applica la formula risolutiva per trovare le radici della seguente equazione di secondo grado completa: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Applica la formula risolutiva per trovare le radici della seguente equazione di secondo grado completa:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Sviluppa i prodotti notevoli, riduci i termini simili e risolvi la seguente equazione: $(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
Sviluppa i prodotti notevoli, riduci i termini simili e risolvi la seguente equazione:
$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
Equazioni pure, spurie e monomie
Se mancano $b$ o $c$ l'equazione si dice incompleta e non serve la formula.
Risolvi la seguente equazione di secondo grado incompleta ricavando direttamente l'incognita: $4x^2 - 64 = 0$
Risolvi la seguente equazione di secondo grado incompleta ricavando direttamente l'incognita:
$4x^2 - 64 = 0$
Calcola le soluzioni della seguente equazione di secondo grado incompleta mediante raccoglimento a fattor comune: $3x^2 + 15x = 0$
Calcola le soluzioni della seguente equazione di secondo grado incompleta mediante raccoglimento a fattor comune:
$3x^2 + 15x = 0$
Luca sta risolvendo l'equazione $2x^2 - 10x = 0$ alla lavagna ed esegue i seguenti passaggi sul quaderno: $$2x^2 = 10x \implies \frac{2x^2}{x} = \frac{10x}{x} \implies…
Luca sta risolvendo l'equazione $2x^2 - 10x = 0$ alla lavagna ed esegue i seguenti passaggi sul quaderno:
$$2x^2 = 10x \implies \frac{2x^2}{x} = \frac{10x}{x} \implies 2x = 10 \implies x = 5$$Consultando le soluzioni del libro, scopre con sorpresa che l'equazione ha in realtà due soluzioni: $x_1 = 0$ e $x_2 = 5$.
- a) Spiega con precisione matematica quale errore concettuale ha commesso Luca dividendo entrambi i membri per l'incognita $x$ e perché questa operazione ha eliminato una delle soluzioni valide.
- b) Risolvi correttamente l'equazione mediante raccoglimento a fattor comune e giustifica ogni passaggio applicando la legge di annullamento del prodotto.
Il discriminante
Determina se l'equazione $2x^2 + 3x + 5 = 0$ ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali calcolando prima il valore del suo discriminante $\Delta$.
Determina se l'equazione $2x^2 + 3x + 5 = 0$ ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali calcolando prima il valore del suo discriminante $\Delta$.
Trova il valore del coefficiente $c$ nell'equazione $x^2 + 4x + c = 0$ affinché abbia un'unica soluzione reale doppia.
Trova il valore del coefficiente $c$ nell'equazione $x^2 + 4x + c = 0$ affinché abbia un'unica soluzione reale doppia.
Determina il valore numerico del parametro $k$ affinché l'equazione $3x^2 - kx + 12 = 0$ abbia un'unica soluzione reale doppia.
Determina il valore numerico del parametro $k$ affinché l'equazione $3x^2 - kx + 12 = 0$ abbia un'unica soluzione reale doppia.
Relazioni tra soluzioni e coefficienti
Conseguenza: si può scomporre il trinomio, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, e costruire un'equazione date somma $s$ e prodotto $p$: $x^2 - sx + p = 0$.
Scrivi un'equazione di secondo grado nella forma $x^2 + bx + c = 0$ sapendo che le sue uniche soluzioni sono $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.
Scrivi un'equazione di secondo grado nella forma $x^2 + bx + c = 0$ sapendo che le sue uniche soluzioni sono $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.
Si vuole costruire un'equazione di secondo grado a coefficienti interi della forma $ax^2 + bx + c = 0$ le cui soluzioni esatte siano $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$. a)…
Si vuole costruire un'equazione di secondo grado a coefficienti interi della forma $ax^2 + bx + c = 0$ le cui soluzioni esatte siano $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$.
- a) Applica le relazioni tra coefficienti e radici (formule di Viète) per dedurre il valore esatto della somma ($S = x_1 + x_2$) e del prodotto ($P = x_1 \cdot x_2$) delle soluzioni sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.
- b) Scrivi un'equazione equivalente a coefficienti interi ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), senza denominatori, con $a > 0$ e tale che i coefficienti non abbiano fattori comuni (cioè siano primi tra loro).
- c) L'equazione ottenuta nel punto precedente è l'unica equazione di secondo grado che ha esattamente queste due soluzioni? Giustifica la risposta ragionando su che cosa accade moltiplicando tutti i coefficienti per una costante $k \neq 0$.
Sapendo che una delle soluzioni dell'equazione $2x^2 + bx - 15 = 0$ è $x_1 = 3$, calcola, senza risolvere completamente l'equazione, il valore dell'altra soluzione $x_2$…
Sapendo che una delle soluzioni dell'equazione $2x^2 + bx - 15 = 0$ è $x_1 = 3$, calcola, senza risolvere completamente l'equazione, il valore dell'altra soluzione $x_2$ e il valore del coefficiente $b$.
Equazioni parametriche
In un'equazione parametrica compare una lettera in più (il parametro, ad esempio $m$ o $k$) e bisogna discutere il numero di soluzioni al variare di essa. Si usa $\Delta$, ma attenzione: se $a$ dipende dal parametro, va studiato a parte il valore che lo annulla, perché l'equazione diventa di primo grado.
Per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba e Matteo propongono strategie diverse: Alba propone di sviluppare il prodotto notevole del binomio, sottrarre $25$,…
Per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba e Matteo propongono strategie diverse:
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Alba propone di sviluppare il prodotto notevole del binomio, sottrarre $25$, raccogliere i termini nella forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ e applicare la formula risolutiva con il discriminante.
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Matteo propone di isolare direttamente la potenza, scrivendo $(3x - 1)^2 = 25$, ed estrarre la radice quadrata a entrambi i membri considerando il doppio segno $\pm$.
- a) Risolvi l'equazione seguendo passo passo il procedimento di Alba e poi quello di Matteo, verificando che entrambi portano alle stesse soluzioni.
- b) Confronta i due percorsi e giustifica quale dei due è più efficiente e presenta minor rischio di errori di calcolo (segni, operazioni con numeri grandi).
- c) Il metodo abbreviato di Matteo sarebbe applicabile direttamente per risolvere l'equazione $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Giustifica perché sì o perché no.
Discuti, al variare del parametro $m$, il numero di soluzioni reali della seguente equazione di secondo grado: $mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$ Assicurati di analizzare che cosa…
Discuti, al variare del parametro $m$, il numero di soluzioni reali della seguente equazione di secondo grado:
$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$
Assicurati di analizzare che cosa accade quando il discriminante è positivo, nullo o negativo e non dimenticare il caso particolare in cui il coefficiente del termine di secondo grado si annulla.
Considera la seguente famiglia di equazioni in cui interviene un parametro reale $k$: $$(k - 2)x^2 - 2kx + (k + 3) = 0$$ a) Uno studente afferma che se $k = 2$…
Considera la seguente famiglia di equazioni in cui interviene un parametro reale $k$:
$$(k - 2)x^2 - 2kx + (k + 3) = 0$$- a) Uno studente afferma che se $k = 2$ l'equazione non ha alcuna soluzione perché, applicando la formula risolutiva, il denominatore $2a$ si annulla ($2 \cdot 0 = 0$). Confuta la sua affermazione spiegando che tipo di equazione si ottiene in realtà sostituendo $k = 2$ e calcola la sua soluzione.
- b) Per i casi in cui $k \neq 2$, calcola l'espressione semplificata del discriminante $\Delta$ in funzione di $k$ e determina formalmente per quali valori del parametro l'equazione ha due soluzioni reali distinte, una soluzione reale doppia o nessuna soluzione reale.
- c) Senza calcolare le soluzioni dell'equazione, utilizza in modo giustificato le relazioni tra coefficienti e radici per stabilire se esiste un valore di $k$ per cui le due radici siano opposte ($x_1 + x_2 = 0$). In caso affermativo, determina tale valore di $k$, verifica se le sue radici sono reali e trova il valore di entrambe le soluzioni.
Equazioni che si riconducono al secondo grado
Alcune equazioni, dopo qualche passaggio, diventano di secondo grado.
-
Equazioni fratte. Scomponi i denominatori, scrivi le condizioni di esistenza (C.E.), riduci allo stesso denominatore e risolvi il numeratore. Scarta le soluzioni che non rispettano le C.E.
-
Equazioni irrazionali. Isola la radice, eleva al quadrato (con radicando $\geq 0$ e, dopo l'isolamento, secondo membro $\geq 0$) e verifica sempre le soluzioni nell'equazione di partenza.
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Equazioni biquadratiche $ax^4 + bx^2 + c = 0$: sostituzione $t = x^2$ con $t \geq 0$; ogni $t > 0$ dà due valori di $x$, $t = 0$ dà $x = 0$.
Risolvi la seguente equazione operando prima con le frazioni algebriche. Verifica le soluzioni ottenute per scartare eventuali radici false che annullano i denominatori:…
Risolvi la seguente equazione operando prima con le frazioni algebriche. Verifica le soluzioni ottenute per scartare eventuali radici false che annullano i denominatori:
$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$
L'area di un rettangolo è $60\text{ cm}^2$ e la lunghezza della sua diagonale è $13\text{ cm}$. Indicando con $x$ la base e con $y$ l'altezza, esprimi $y$ in funzione di…
L'area di un rettangolo è $60\text{ cm}^2$ e la lunghezza della sua diagonale è $13\text{ cm}$. Indicando con $x$ la base e con $y$ l'altezza, esprimi $y$ in funzione di $x$ usando il dato dell'area. Poi sostituisci nel teorema di Pitagora per la diagonale e risolvi l'equazione biquadratica che ne risulta per trovare le dimensioni esatte del rettangolo.
Risolvi la seguente equazione in cui compare un radicale, isolando prima la radice ed elevando al quadrato entrambi i membri. È obbligatorio verificare le soluzioni…
Risolvi la seguente equazione in cui compare un radicale, isolando prima la radice ed elevando al quadrato entrambi i membri. È obbligatorio verificare le soluzioni ottenute nell'equazione di partenza per scartare eventuali radici false:
$\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Problemi di secondo grado
Per risolvere un problema: scegli l'incognita, scrivi le condizioni su di essa (ad esempio una lunghezza è positiva), imposta l'equazione, risolvila e valuta l'accettabilità delle soluzioni nel contesto.
Il grafico di $y = ax^2 + bx + c$ è una parabola con vertice $V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$. Se $a < 0$ la parabola è rivolta verso il basso e il vertice è il punto di massimo; se $a > 0$ è il punto di minimo. Per questo il vertice serve per trovare il valore massimo o minimo di una grandezza (un guadagno, una produzione, un'altezza). Perché? Per simmetria, il vertice sta a metà tra le due intersezioni con l'asse $x$, la cui somma è $-\frac{b}{a}$.
Vuoi dividere una barra di lunghezza $1$ in due parti in modo che l'intera stia alla parte maggiore come questa sta alla minore? Imposti $\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x}$ e ottieni un'equazione di secondo grado: vedrai il risultato negli esercizi.
Il quadrato di un numero naturale meno il suo triplo è esattamente uguale a $18$. Imposta un'equazione di secondo grado e calcola di quale numero si tratta.
Il quadrato di un numero naturale meno il suo triplo è esattamente uguale a $18$. Imposta un'equazione di secondo grado e calcola di quale numero si tratta.
Per ristrutturare il salotto rettangolare di un'abitazione, l'architetto indica che la lunghezza supera la larghezza di $2\text{ m}$. Se la superficie totale del salotto…
Per ristrutturare il salotto rettangolare di un'abitazione, l'architetto indica che la lunghezza supera la larghezza di $2\text{ m}$. Se la superficie totale del salotto è $35\text{ m}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola le dimensioni esatte della stanza.
In una rampa da skateboard a forma di triangolo rettangolo, il cateto maggiore supera di $7\text{ m}$ il cateto minore e l'ipotenusa supera di $2\text{ m}$ il cateto…
In una rampa da skateboard a forma di triangolo rettangolo, il cateto maggiore supera di $7\text{ m}$ il cateto minore e l'ipotenusa supera di $2\text{ m}$ il cateto maggiore. Imposta un'equazione di secondo grado utilizzando il teorema di Pitagora e calcola la lunghezza dei tre lati della rampa.
Una fotografia rettangolare di dimensioni $20\text{ cm}$ di base per $15\text{ cm}$ di altezza deve essere incorniciata con un passepartout di larghezza uniforme $x$. Se…
Una fotografia rettangolare di dimensioni $20\text{ cm}$ di base per $15\text{ cm}$ di altezza deve essere incorniciata con un passepartout di larghezza uniforme $x$. Se l'area totale dell'insieme (fotografia più passepartout) deve essere esattamente $500\text{ cm}^2$, imposta un'equazione di secondo grado e calcola la larghezza $x$ del passepartout.