Calcolo combinatorio e statistica descrittiva

Il principio fondamentale e le permutazioni

Se una scelta si può fare in $m$ modi e, per ciascuno, una seconda scelta si può fare in $n$ modi, le due scelte insieme si possono fare in $m \cdot n$ modi. È il principio fondamentale del calcolo combinatorio, ed è lo stesso ragionamento del diagramma ad albero.

Per sistemare $5$ amici su $5$ sedie: il primo posto si può assegnare in $5$ modi, il secondo in $4$, il terzo in $3$, il quarto in $2$, l'ultimo in $1$. In tutto $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ modi.

Disposizioni e anagrammi

Se dei $5$ amici se ne siedono solo $3$ e conta l'ordine, il primo posto si assegna in $5$ modi, il secondo in $4$, il terzo in $3$: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. Sono le disposizioni semplici di $5$ oggetti a $3$ a $3$.

Anagrammi con lettere ripetute

Se tra gli $n$ oggetti ce ne sono alcuni uguali, le permutazioni si contano troppe volte. Se un oggetto compare $a$ volte, un altro $b$ volte, ecc., le permutazioni con ripetizione sono

Perché? Scambiando tra loro le $a$ lettere uguali non cambia la parola, e quegli scambi sono $a!$.

Esempio: gli anagrammi di «PAPA» sono $\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$.

Combinazioni e coefficiente binomiale

Se invece si scelgono $3$ studenti da un gruppo di $8$ per formare una delegazione, l'ordine non conta: {Anna, Luca, Sara} è lo stesso gruppo di {Sara, Anna, Luca}. Le disposizioni $D_{8,3}$ contano ogni gruppo $3! = 6$ volte (tutti i suoi ordinamenti), quindi si divide per $3!$.

La formula di Stifel

Vale $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$. Ragionamento: in un gruppo di $n$ persone fissa Giulia. I gruppi di $k$ persone sono di due tipi: quelli con Giulia (le altre $k-1$ si scelgono tra $n-1$: $\binom{n-1}{k-1}$) e quelli senza Giulia ($k$ persone tra $n-1$: $\binom{n-1}{k}$). Non ce ne sono altri e i due tipi non si sovrappongono: si sommano. Questa regola genera il triangolo di Tartaglia.

Media, mediana e moda

I voti di una verifica in una classe sono $4, 6, 6, 7, 8$. Come riassumerli?

• Media aritmetica: somma dei valori divisa per il loro numero, $\bar{x} = \dfrac{x_1 + \dots + x_n}{n}$.

• Mediana: il valore centrale dei dati ordinati (se i dati sono in numero pari, la media dei due centrali).

• Moda: il valore che compare più spesso.

Qui $\bar{x} = \dfrac{31}{5} = 6{,}2$, mediana $6$, moda $6$.

Varianza e scarto quadratico medio

Due classi hanno la stessa media $6$: nella A tutti prendono $6$; nella B i voti sono $2, 4, 6, 8, 10$. La media non le distingue. Serve una misura di quanto i dati si disperdono attorno alla media.

Si usano gli scarti $x_i - \bar{x}$. La loro somma è sempre $0$ (si compensano), quindi si elevano al quadrato.

Cosa succede aggiungendo un dato uguale alla media? La media non cambia, la somma dei quadrati degli scarti neppure, ma i dati sono $n+1$: la varianza diminuisce (dividi per $n+1$). Per la classe B con un $6$ in più: $\sigma^2 = 40/6 \approx 6{,}67$.

Torna all'inizio: cinque amici su cinque sedie si dispongono in $5! = 120$ modi; su tre sedie, scegliendone tre con ordine, in $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ modi.

In sintesi

• Principio fondamentale: le scelte successive si moltiplicano. Permutazioni: $n!$.

• Disposizioni (ordine conta): $\dfrac{n!}{(n-k)!}$. Combinazioni (ordine non conta): $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

• Con lettere ripetute si divide per i fattoriali delle ripetizioni. Stifel: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.

• Media, mediana e moda sono indici di posizione; varianza $\sigma^2$ e scarto quadratico medio $\sigma$ misurano la dispersione.