Isometrie, omotetie e invarianti
Sul tabellone di una partita di tombola il cartellone si sposta, si ribalta, si ruota. Un'immagine proiettata su una LIM può invece ingrandirsi o rimpicciolirsi. In tutti questi casi la figura cambia posizione o dimensione: ma che cosa resta uguale? In questa pagina studiamo le trasformazioni del piano e rispondiamo proprio a questa domanda.
Traslazione e simmetrie assiali
Una trasformazione geometrica associa a ogni punto $P$ del piano un punto $P'$, detto immagine o trasformato di $P$.
Ogni punto si sposta della stessa quantità e nella stessa direzione: la figura non si deforma.
Le simmetrie più semplici si fanno rispetto agli assi e all'origine:
| Simmetria | Immagine di $P(x; y)$ |
|---|---|
| rispetto all'asse $x$ | $P'(x; -y)$ |
| rispetto all'asse $y$ | $P'(-x; y)$ |
| rispetto all'origine | $P'(-x; -y)$ |
Il perché: nella simmetria rispetto all'asse $x$ il punto resta alla stessa distanza dall'asse, ma dall'altra parte, quindi cambia solo il segno di $y$.
Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(2; 3)$. Determina le coordinate dei vertici del triangolo trasformato dalla traslazione di vettore…
Il triangolo $ABC$ ha vertici $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(2; 3)$. Determina le coordinate dei vertici del triangolo trasformato dalla traslazione di vettore $\vec{v}=(-2; 3)$.
Determina le coordinate dei simmetrici del punto $P(3; -2)$ rispetto: a) all'asse $x$; b) all'asse $y$; c) all'origine.
Determina le coordinate dei simmetrici del punto $P(3; -2)$ rispetto:
- a) all'asse $x$;
- b) all'asse $y$;
- c) all'origine.
Rotazione
La rotazione di centro l'origine e angolo $\alpha$ fa ruotare ogni punto lungo una circonferenza di centro $O$. Per gli angoli più comuni, in senso antiorario:
| Angolo | Immagine di $P(x; y)$ |
|---|---|
| $90^\circ$ | $(-y; x)$ |
| $180^\circ$ | $(-x; -y)$ |
| $270^\circ$ | $(y; -x)$ |
Il perché con $90^\circ$: il punto $(1; 0)$ finisce in $(0; 1)$ e il punto $(0; 1)$ finisce in $(-1; 0)$. Ciò che era sull'asse $x$ passa sull'asse $y$.
Il punto $P(4; 1)$ viene ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno all'origine. Determina $P'$. Ripeti poi la rotazione di $180^\circ$ e verifica che $P''$…
Il punto $P(4; 1)$ viene ruotato di $90^\circ$ in senso antiorario attorno all'origine. Determina $P'$. Ripeti poi la rotazione di $180^\circ$ e verifica che $P''$ coincida con il simmetrico di $P$ rispetto all'origine.
Omotetia
Se $k>1$ la figura si ingrandisce, se $0<|k|<1$ si riduce, se $k<0$ si ingrandisce o si riduce e in più si capovolge (l'immagine sta dalla parte opposta del centro).
Se il centro è $C(x_0; y_0)$: $x' = x_0 + k(x - x_0)$, $y' = y_0 + k(y - y_0)$.
Il segmento $AB$ con $A(2; 1)$, $B(6; 3)$ viene trasformato da un'omotetia di centro l'origine e rapporto $k = 3$. Trova le coordinate di $A'$ e $B'$ e confronta le…
Il segmento $AB$ con $A(2; 1)$, $B(6; 3)$ viene trasformato da un'omotetia di centro l'origine e rapporto $k = 3$. Trova le coordinate di $A'$ e $B'$ e confronta le lunghezze di $AB$ e $A'B'$.
Un'omotetia di centro $C(1; 2)$ e rapporto $k = -2$ trasforma il punto $P(3; 4)$ in $P'$. a) Determina le coordinate di $P'$. b) Un triangolo ha area $5$ cm$^2$: quale…
Un'omotetia di centro $C(1; 2)$ e rapporto $k = -2$ trasforma il punto $P(3; 4)$ in $P'$.
- a) Determina le coordinate di $P'$.
- b) Un triangolo ha area $5$ cm$^2$: quale area ha l'immagine?
- c) Indica quali proprietà (lunghezze, angoli, parallelismo) si conservano.
Composizione e isometrie
Eseguire una trasformazione e poi un'altra si chiama composizione. L'ordine conta in generale, ma non sempre.
Le trasformazioni che conservano le distanze (traslazioni, rotazioni, simmetrie) sono dette isometrie: la figura immagine è congruente a quella di partenza.
Due simmetrie rispetto a rette parallele distanti $d$: il punto $P$ va in $P_1$, poi in $P'$. Se $P$ è a distanza $u$ dalla prima retta, $P_1$ è dall'altra parte a distanza $u$, e la seconda retta dista $d$ dalla prima. Lungo la perpendicolare alle rette, $P'$ si trova a distanza $2d$ da $P$ e nel verso che va dalla prima retta alla seconda. Quindi la composizione è una traslazione di modulo $2d$, perpendicolare alle rette.
Un'applicazione è il percorso minimo con riflessione. Dati $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$ sopra l'asse $x$, per minimizzare $AP+PB$ con $P$ sull'asse si prende il simmetrico $A'(1; -2)$: poiché $AP=A'P$, si ha $AP+PB=A'P+PB\ge A'B$, con uguaglianza quando $P$ sta sul segmento $A'B$. Quindi $P$ è l'intersezione di $A'B$ con l'asse $x$.
Determina la composizione della simmetria rispetto all'asse $x$ seguita dalla simmetria rispetto all'asse $y$. Quale trasformazione si ottiene? Verificalo sul punto…
Determina la composizione della simmetria rispetto all'asse $x$ seguita dalla simmetria rispetto all'asse $y$. Quale trasformazione si ottiene? Verificalo sul punto $P(5; 2)$.
Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione e determina modulo e direzione del vettore in…
Dimostra che la composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele distanti $d$ è una traslazione e determina modulo e direzione del vettore in funzione di $d$.
Dati i punti $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$ nello stesso semipiano rispetto all'asse $x$, trova il punto $P$ sull'asse $x$ per cui $AP + PB$ è minima, usando una simmetria e…
Dati i punti $A(1; 2)$ e $B(5; 4)$ nello stesso semipiano rispetto all'asse $x$, trova il punto $P$ sull'asse $x$ per cui $AP + PB$ è minima, usando una simmetria e giustificando il ragionamento.
Invarianti
Una proprietà è invariante per una trasformazione se la figura immagine la conserva.
| Proprietà | Traslazione | Rotazione | Simmetria assiale | Omotetia ($k\neq\pm1$) |
|---|---|---|---|---|
| Lunghezze | sì | sì | sì | no (×$|k|$) |
| Ampiezza degli angoli | sì | sì | sì | sì |
| Parallelismo | sì | sì | sì | sì |
| Area | sì | sì | sì | no (×$k^2$) |
| Orientamento | sì | sì | no | sì se $k>0$; no se $k<0$ |
Qualche giustificazione. Nella traslazione tutti i punti si spostano dello stesso vettore, quindi ogni segmento $AB$ diventa un segmento $A'B'$ con $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}$: stessa lunghezza e stessa direzione. Nell'omotetia $A'B'=|k|\cdot AB$ e $A'B'\parallel AB$; per il teorema di Talete triangoli omotetici sono simili, quindi gli angoli restano uguali. Nella simmetria assiale l'orientamento si inverte: percorrendo $A\to B\to C$ in senso antiorario, nell'immagine lo stesso ordine è orario.
Individua, per ciascuna trasformazione (traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto $k \ne \pm 1$), quali tra queste grandezze sono invarianti:…
Individua, per ciascuna trasformazione (traslazione, rotazione, simmetria assiale, omotetia di rapporto $k \ne \pm 1$), quali tra queste grandezze sono invarianti: lunghezze, ampiezze degli angoli, parallelismo, orientamento, area. Giustifica le risposte con esempi o brevi dimostrazioni.
In sintesi
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Traslazione di vettore $(a; b)$: $(x; y)\to(x+a; y+b)$.
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Simmetrie: asse $x$ $(x; -y)$, asse $y$ $(-x; y)$, origine $(-x; -y)$.
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Rotazione antioraria di $90^\circ$ attorno a $O$: $(x; y)\to(-y; x)$; di $180^\circ$: $(-x; -y)$.
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Omotetia di centro $O$ e rapporto $k$: $(x; y)\to(kx; ky)$; lunghezze ×$|k|$, aree ×$k^2$.
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Traslazioni, rotazioni e simmetrie sono isometrie: conservano lunghezze, angoli, parallelismo e area. L'omotetia conserva angoli e parallelismo.
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Due simmetrie con assi paralleli (distanza $d$) compongono una traslazione di modulo $2d$.