Disequazioni in due incognite
Una pizzeria da asporto vuole preparare pizze e calzoni con la farina che ha in magazzino: quante pizze $x$ e quanti calzoni $y$ può fare? Non c'è una sola risposta, ma tante coppie $(x; y)$ possibili. Una disequazione in due incognite non ha come soluzione una retta, bensì un'intera regione del piano. Vedremo come disegnarla e come usarla per descrivere problemi reali, alla base della programmazione lineare. Alla fine del paragrafo troverai la risposta alla domanda iniziale.
La retta divide il piano in due semipiani
Verifica quali dei seguenti punti sono soluzione della disequazione $3x - 2y \le 6$: $A(0, 0)$ $B(4, 1)$ $C(2, -1)$ $D(-2, -5)$
Verifica quali dei seguenti punti sono soluzione della disequazione $3x - 2y \le 6$:
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$A(0, 0)$
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$B(4, 1)$
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$C(2, -1)$
-
$D(-2, -5)$
Data la disequazione $4x - 5y < 20$, indica con ragionamento se i punti situati esattamente sulla retta $4x - 5y = 20$ fanno parte della regione soluzione.
Data la disequazione $4x - 5y < 20$, indica con ragionamento se i punti situati esattamente sulla retta $4x - 5y = 20$ fanno parte della regione soluzione.
Lucia deve risolvere la disequazione $2x - y < 0$. Sul suo quaderno scrive quanto segue: «Passo 1: Disegno la retta continua di equazione $2x - y = 0$. Passo 2: Siccome…
Lucia deve risolvere la disequazione $2x - y < 0$. Sul suo quaderno scrive quanto segue:
«Passo 1: Disegno la retta continua di equazione $2x - y = 0$.
Passo 2: Siccome il punto $(0, 0)$ è il più facile da sostituire, verifico se soddisfa la disuguaglianza: $2\cdot 0 - 0 < 0 \implies 0 < 0$.
Passo 3: Siccome $0 < 0$ è falso, coloro il semipiano in cui non si trova il punto $(0, 0)$».
Individua i due errori concettuali commessi da Lucia, spiega perché il suo ragionamento è sbagliato e descrivi come va corretto l'esercizio scegliendo un punto di prova adeguato.
Dal grafico alla disequazione, e viceversa
Per scrivere l'equazione di una retta che passa per due punti $(x_1; y_1)$ e $(x_2; y_2)$ si calcola il coefficiente angolare $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ e poi si usa $y - y_1 = m(x - x_1)$, cioè $y = mx + q$. Le rette verticali hanno equazione $x = k$, quelle orizzontali $y = k$.
Per leggere una regione da un grafico, individua prima le rette di frontiera: dove tagliano gli assi, se sono continue o tratteggiate, da che parte è colorato. Ogni retta dà una disequazione; l'insieme delle disequazioni descrive tutta la regione.
Scrivi la disequazione lineare in due incognite la cui regione soluzione è rappresentata nel seguente grafico. Tieni conto se la retta di frontiera è continua o…
Scrivi la disequazione lineare in due incognite la cui regione soluzione è rappresentata nel seguente grafico. Tieni conto se la retta di frontiera è continua o tratteggiata.
Rappresenta graficamente nel piano cartesiano la regione soluzione della disequazione $x + 2y > 4$. Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Rappresenta graficamente nel piano cartesiano la regione soluzione della disequazione $x + 2y > 4$.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Trova il sistema di disequazioni che definisce la regione colorata nel seguente grafico:
Trova il sistema di disequazioni che definisce la regione colorata nel seguente grafico:
Sistemi: la regione ammissibile
Determina se i punti $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ e $R(4, 0)$ appartengono alla regione ammissibile definita dal seguente sistema di disequazioni: $x + y \le 5$ $2x - y > -1$
Determina se i punti $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ e $R(4, 0)$ appartengono alla regione ammissibile definita dal seguente sistema di disequazioni:
$x + y \le 5$
$2x - y > -1$
Scrivi il sistema di disequazioni la cui soluzione è la striscia verticale compresa tra $x = -2$ e $x = 3$, includendo entrambe le frontiere.
Scrivi il sistema di disequazioni la cui soluzione è la striscia verticale compresa tra $x = -2$ e $x = 3$, includendo entrambe le frontiere.
Rappresenta graficamente la regione ammissibile determinata dal seguente sistema di disequazioni: $2x + y \le 6$ $x - y \ge -1$ $y \ge 0$ Puoi farlo su carta e inviare…
Rappresenta graficamente la regione ammissibile determinata dal seguente sistema di disequazioni:
$2x + y \le 6$
$x - y \ge -1$
$y \ge 0$
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Risolvi graficamente il seguente sistema e trova analiticamente le coordinate dei vertici della regione ammissibile: $y \le 2x + 2$ $y \le -x + 5$ $y \ge 1$
Risolvi graficamente il seguente sistema e trova analiticamente le coordinate dei vertici della regione ammissibile:
$y \le 2x + 2$
$y \le -x + 5$
$y \ge 1$
Programmazione lineare: problemi di produzione e di scelta
Distribuire un budget, dei pezzi o del tempo tra due prodotti porta in modo naturale a un sistema di disequazioni in due incognite: ogni vincolo (denaro, ore, unità disponibili) è una disequazione e le combinazioni possibili formano la regione ammissibile.
Ed ecco la risposta alla domanda iniziale: le quantità di pizze e calzoni che la pizzeria può preparare sono le coppie intere $(x; y)$ della regione ammissibile definita dai vincoli di farina, e non ce n'è una sola.
Traduci il seguente enunciato in una disequazione lineare in due incognite: "Il triplo del peso di una scatola grande ($x$) più il doppio del peso di una scatola piccola…
Traduci il seguente enunciato in una disequazione lineare in due incognite: "Il triplo del peso di una scatola grande ($x$) più il doppio del peso di una scatola piccola ($y$) non supera i $50$ kg".
Per organizzare una festa, si comprano bottiglie di bibita a $2$ € l'una e buste di snack a $3$ € l'una. Se il budget massimo è di $30$ € e si desidera comprare almeno…
Per organizzare una festa, si comprano bottiglie di bibita a $2$ € l'una e buste di snack a $3$ € l'una. Se il budget massimo è di $30$ € e si desidera comprare almeno un'unità di ciascun prodotto, imposta il sistema di disequazioni corrispondente e indica due possibili combinazioni di acquisto valide.
Un laboratorio produce biciclette e triciclli. Ogni bicicletta richiede $2$ ruote e ogni triciclo $3$ ruote. In magazzino restano $60$ ruote. Inoltre, si sa che il…
Un laboratorio produce biciclette e triciclli. Ogni bicicletta richiede $2$ ruote e ogni triciclo $3$ ruote. In magazzino restano $60$ ruote. Inoltre, si sa che il numero di biciclette prodotte deve essere almeno il doppio di quello dei tricicli. Imposta il sistema di disequazioni che modellizza questa situazione.
Un'azienda di trasporti dispone di camion di tipo A (capacità di $3$ tonnellate) e camion di tipo B (capacità di $5$ tonnellate). Devono trasportare almeno $45$…
Un'azienda di trasporti dispone di camion di tipo A (capacità di $3$ tonnellate) e camion di tipo B (capacità di $5$ tonnellate). Devono trasportare almeno $45$ tonnellate di merce. Per vincoli di personale, non possono usare più di $12$ camion in totale. Imposta il sistema di disequazioni e verifica analiticamente se è possibile effettuare il trasporto usando $4$ camion di tipo A e $7$ di tipo B.
Disequazioni di secondo grado in due incognite
Quando la frontiera non è una retta ma una parabola, il ragionamento è lo stesso: la curva $y = ax^2 + bx + c$ divide il piano in due regioni, quella «sopra» ($y > \dots$) e quella «sotto» ($y < \dots$).
Se il grafico è dato da vertice e zeri, si ricava la parabola con $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ (conoscendo gli zeri) oppure con $y = a(x - x_V)^2 + y_V$ (conoscendo il vertice). Il valore di $a$ si trova imponendo il passaggio per un altro punto noto.
Le due tipologie si possono combinare in un unico sistema: si colora l'intersezione delle regioni, come prima.
Rappresenta graficamente la soluzione della disequazione di secondo grado in due incognite $y \ge x^2 - 4x + 3$. Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua…
Rappresenta graficamente la soluzione della disequazione di secondo grado in due incognite $y \ge x^2 - 4x + 3$.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Rappresenta graficamente la regione del piano definita dal seguente sistema misto (una disequazione quadratica e una lineare): $y \le -x^2 + 2x + 3$ $x - y \le 1$ Puoi…
Rappresenta graficamente la regione del piano definita dal seguente sistema misto (una disequazione quadratica e una lineare):
$y \le -x^2 + 2x + 3$
$x - y \le 1$
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.