Potenze con esponente razionale: radicali

Esprimi come radicale le seguenti potenze con esponente frazionario e calcola il loro valore esatto se è un numero intero:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Scrivi in forma di potenza con esponente frazionario i seguenti radicali e semplifica la frazione dell'esponente:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Elena deve calcolare il valore esatto della potenza $32^{-2/5}$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

Arrivata a quel punto, si ferma e afferma che il risultato non si può calcolare a mano perché $32^5$ è un numero troppo grande.

1. a) Individua e spiega in modo motivato i due errori concettuali commessi da Elena nell'applicare le proprietà degli esponenti e dei radicali.
2. b) Mostra lo svolgimento corretto passo dopo passo per ottenere il valore numerico come frazione ridotta ai minimi termini.
3. c) Giustifica perché, nel calcolare a mano un'espressione della forma $a^{m/n}$, è molto più conveniente applicare prima la radice e poi la potenza, invece che nell'ordine inverso.

Porta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili dai seguenti radicali:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Porta i fattori dentro il segno di radice e semplifica l'espressione ottenuta, se possibile:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$

Si vuole stimare il valore numerico della potenza con esponente razionale $50^{3/2}$ senza ricorrere alla calcolatrice.

1. a) Fai una stima preliminare motivata: scrivi $50^{3/2}$ in forma di radicale e osserva che il numero $50$ è molto vicino al quadrato perfetto $49$. A quale numero intero dovrebbe essere molto vicino il risultato finale? Giustifica la tua congettura.
2. b) Scrivi $50^{3/2}$ come radicale della forma $\sqrt{50^3}$, scomponi il radicando in fattori primi e porta fuori dalla radice tutti i fattori possibili.
3. c) Prendendo l'approssimazione $\sqrt{2} \approx 1,414$, calcola il valore decimale approssimato a partire dall'espressione semplificata del punto precedente e verifica se la tua stima iniziale del punto a) era coerente, calcolando la differenza tra i due valori.

Esegui i seguenti prodotti di radicali con lo stesso indice e porta fuori dalla radice i fattori del risultato, se possibile:

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calcola e semplifica il risultato delle seguenti divisioni di radicali:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcola le seguenti potenze di radicali, portando l'esponente dentro il radicando ed esprimendo il risultato nella forma più semplice possibile:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Un architetto paesaggista sta progettando un'area verde a forma di triangolo scaleno e deve calcolarne il perimetro per ordinare una recinzione. Le planimetrie indicano che i lati misurano $\sqrt{48}$ m, $\sqrt{75}$ m e $\sqrt{12}$ m. Semplifica i radicali portando fuori i fattori e calcola il perimetro esatto espresso come un unico radicale.

Esprimi come un unico radicale utilizzando la proprietà della radice di una radice e semplifica l'indice, se possibile:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Per la fabbricazione di tre componenti elettronici sono necessarie lamine protettive i cui spessori, misurati in millimetri, sono dati dalle espressioni $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ e $C = \sqrt[6]{24}$. Riduci i radicali allo stesso indice per ordinare gli spessori delle lamine dal minore al maggiore.

Esegui le seguenti operazioni riducendo preliminarmente allo stesso indice e porta fuori dalla radice i fattori possibili del risultato finale:

• a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$

• b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$

Opera utilizzando le proprietà delle potenze frazionarie ed esprimi il risultato finale in forma di radice semplificata:

Semplifica la seguente espressione con radicali nidificati portando progressivamente i fattori dentro i radicali più interni ed esprimendo il risultato finale come un'unica radice:

Per semplificare l'espressione con radicali $E = \frac{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{32}}$, si possono seguire due strategie risolutive:

• Metodo 1 (esponente razionale): esprimere ogni radicando in base $2$, trasformare tutte le radici in potenze frazionarie e operare applicando le proprietà del prodotto e del quoziente di potenze con la stessa base.

• Metodo 2 (indice comune): esprimere ogni radicando in base $2$, ridurre tutti i radicali al minimo comune indice e operare all'interno di un'unica radice per poi semplificare e portare fuori i fattori.

1. a) Applica il Metodo 1 specificando ogni passaggio e scrivi il risultato finale come radicale irriducibile con i fattori portati fuori.
2. b) Applica il Metodo 2 specificando ogni passaggio e verifica che si ottenga esattamente lo stesso risultato.
3. c) Confronta i due procedimenti: quale relazione matematica esiste tra il minimo comune multiplo dei denominatori nelle potenze frazionarie e l'indice comune dei radicali? Quale dei due metodi ti è sembrato più diretto e perché?

Per l'elaborazione digitale di un segnale elettrico positivo $a$, un gruppo di telecomunicazioni deve combinare due filtri rappresentati da radicali in modo che valga l'uguaglianza:

dove gli indici dei filtri, $m$ e $n$, devono essere numeri interi strettamente positivi che soddisfano la condizione $m < n$.

1. a) Scrivi il primo membro come un'unica potenza di base $a$ ed esponente frazionario in funzione di $m$ e $n$.
2. b) A partire dall'uguaglianza degli esponenti, deduci in modo motivato quali sono le uniche due coppie di interi $(m, n)$ possibili che verificano la condizione con $m < n$. Giustifica perché non può esserci nessun'altra combinazione.
3. c) Per ciascuna delle due coppie trovate, verifica l'uguaglianza riducendo i radicali del primo membro allo stesso indice.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, supponendo che $a$ e $b$ siano numeri reali positivi. Esprimi il risultato finale con la notazione dei radicali, senza lasciare esponenti negativi né frazionari nella soluzione:

Dimostra, utilizzando rigorosamente le proprietà delle potenze con esponente razionale, che per ogni numero reale positivo $x$ l'espressione $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ è equivalente a $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. Quindi applica questa proprietà o il passaggio alle potenze per calcolare il valore numerico esatto della seguente somma:

Semplifica la seguente espressione con radicali nidificati, riducendo a un unico indice comune e portando fuori dalla radice risultante i fattori possibili:

In un laboratorio di biologia, il numero di batteri di una determinata coltura segue l'espressione $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore. Esprimi questa formula utilizzando i radicali e calcola il numero esatto di batteri presenti quando sono trascorse $2$ ore.

Una piazza circolare ha un'area di $120\pi$ m$^2$. Sapendo che l'area di un cerchio è data dalla formula $A = \pi r^2$, calcola il raggio esatto della piazza semplificando il radicale al massimo.

Una cooperativa agricola vuole recintare un terreno a forma di quadrato la cui area totale è $1250 \text{ m}^2$. Calcola la lunghezza esatta del lato del terreno portando fuori i fattori dal radicale e determina quanti metri di recinzione serviranno in totale, lasciando il risultato nella sua forma radicale più semplice.

La diagonale principale di un serbatoio cubico per l'acqua (il segmento che unisce due vertici opposti passando per il centro del cubo) misura esattamente $\sqrt{108}$ metri. Calcola in forma esatta la lunghezza dello spigolo del cubo e, a partire da essa, determina la capacità del serbatoio in metri cubi. Esprimi tutti i risultati semplificando i radicali.

La terza legge di Keplero mette in relazione il periodo orbitale $T$ di un pianeta con il raggio medio della sua orbita $r$ mediante l'espressione $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Se per un sistema stellare fittizio la costante è $k = 4 \cdot 10^{-6}$ e un pianeta orbita a un raggio medio $r = 25 \cdot 10^4$ km, calcola il periodo orbitale esatto utilizzando le proprietà delle potenze con esponente razionale e dei radicali.

Trova il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione, trasformando preliminarmente tutte le espressioni in potenze di base $2$ con esponenti razionali:

Esprimi la soluzione finale sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.

Il capitale finale $C_f$ ottenuto investendo un capitale iniziale $C_0$ a un tasso di interesse composto annuo $r$ (espresso in forma decimale) per $t$ anni è dato dalla formula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Un'azienda investe $10000$ € a un interesse del $21$ % annuo ($r = 0,21$). Usando le potenze con esponente frazionario, calcola in modo esatto il capitale accumulato dopo $1$ anno e $4$ mesi (pari a $t = \frac{4}{3}$ di anno). Sapendo che $1,21 = 1,1^2$, semplifica il risultato portando fuori dal radicale i fattori possibili.

Nella navigazione marittima, la distanza $d$ (in chilometri) a cui si trova l'orizzonte visibile per un osservatore posto a un'altezza $h$ (in metri) sul livello del mare si approssima mediante la formula $d = \sqrt{13h}$. Due osservatori si trovano in punti diversi di una scogliera alle altezze $h_1 = 52$ m e $h_2 = 117$ m rispettivamente. Calcola la differenza esatta delle loro distanze dall'orizzonte visibile, semplificando l'espressione $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mediante l'estrazione di fattori.

Nei programmi di monitoraggio della fauna del Parco Nazionale del Gran Paradiso, il gruppo di veterinari utilizza la legge allometrica di Kleiber per stimare il metabolismo basale giornaliero $B(M)$ (energia consumata a riposo, in kilocalorie al giorno) di un mammifero in funzione della sua massa corporea $M$ (in chilogrammi):

1. a) Esprimi la formula di $B(M)$ utilizzando i radicali e calcola in modo esatto il consumo energetico giornaliero di una lince adulta di $16\text{ kg}$ e quello di una cerva di $81\text{ kg}$.
2. b) La cerva ha una massa circa $5$ volte maggiore di quella della lince ($81/16 \approx 5,06$). Dimostra se anche il suo dispendio energetico giornaliero si moltiplica per $5$ calcolando il quoziente esatto $\frac{B(81)}{B(16)}$ mediante le proprietà delle potenze frazionarie.
3. c) Il tasso metabolico specifico per unità di peso è definito come $b(M) = \frac{B(M)}{M}$. Dimostra algebricamente, applicando le proprietà delle potenze con esponente razionale, che $b(M) = \frac{70}{\sqrt[4]{M}}$. A partire da questa formula, giustifica perché i mammiferi più piccoli della fauna italiana hanno bisogno di ingerire proporzionalmente molto più cibo per ogni chilo del proprio corpo rispetto ai grandi erbivori.

In uno stabilimento automobilistico a Melfi, il tempo di taglio $T$ (in secondi) impiegato da un robot laser su una lamiera di spessore $x$ (in millimetri, con $x > 0$) è modellizzato dall'espressione:

1. a) Converti successivamente ogni radicale in potenza con esponente razionale e semplifica l'intera espressione passo dopo passo fino a ottenere un'unica potenza della forma $T(x) = x^k$, indicando il valore della frazione ridotta ai minimi termini $k$.
2. b) Per un pezzo strutturale ad alta resistenza, il robot ha impiegato esattamente $8$ secondi per eseguire il taglio. Imposta l'equazione $T(x) = 8$ e calcola lo spessore esatto $x$ della lamiera ricavandolo mediante esponenti razionali. Esprimi il risultato finale portando fuori tutti i fattori possibili da un radicale irriducibile.
3. c) Un tecnico di reparto sostiene che, se si raddoppia lo spessore della lamiera ($2x$), anche il tempo di taglio raddoppierà. Dimostra formalmente se la sua affermazione è vera o falsa calcolando il rapporto $\frac{T(2x)}{T(x)}$ ed esprimendolo come radicale irriducibile.