Sistemi di equazioni

Osserva la rappresentazione grafica delle due rette che formano un sistema di equazioni. Determina, senza eseguire calcoli algebrici, qual è la soluzione del sistema e classificalo come determinato, indeterminato o impossibile.

Copia e completa sul tuo quaderno la seguente tabella di valori per le due equazioni del sistema. Poi indica qual è la soluzione comune osservando i risultati:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Due amici, Lucia e Marco, stanno accumulando punti nel loro videogioco preferito per sbloccare una nuova ricompensa. Le missioni stealth sono rappresentate dall'incognita $x$ e le missioni d'assalto dall'incognita $y$. Il sistema di equazioni che descrive gli obiettivi che devono raggiungere oggi è il seguente:

Verifica numericamente se la coppia di valori $(x = 3, y = 2)$ è la soluzione del sistema. Osservando il seguente grafico, indica se gli amici sono riusciti a trovare il punto esatto in cui sono soddisfatte entrambe le condizioni (missioni totali e punti accumulati).

Osserva la seguente rappresentazione grafica di un sistema di due equazioni lineari in due incognite e rispondi alle domande poste:

1. a) Indica le coordinate del punto di intersezione $P$ delle due rette.
2. b) Che cosa rappresenta quel punto in relazione al sistema di equazioni?
3. c) Classifica il sistema in base al numero di soluzioni che presenta.
4. d) Il punto $P$ è soluzione del seguente sistema?

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Spiega brevemente perché lo è o perché non lo è, verificando entrambe le uguaglianze.

Risolvi con il metodo di sostituzione il seguente sistema, sfruttando il fatto che una delle incognite è già isolata nella prima equazione:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Carlo prova a risolvere il seguente sistema di equazioni sul suo quaderno:

Per farlo, scrive i seguenti passaggi:

1. Ricavo $x$ nella prima equazione: $x = 8 - 2y$.

2. Sostituisco tale espressione nella prima equazione: $(8 - 2y) + 2y = 8$.

3. Svolgo i calcoli e ottengo: $8 = 8$.

4. Conclusione: poiché $8 = 8$ è sempre vera, il sistema è indeterminato e ha infinite soluzioni.

1. a) Spiega qual è l'errore concettuale commesso da Carlo nel passaggio 2 e chiarisci perché la sua conclusione finale è falsa.
2. b) Correggi l'esercizio sostituendo nell'equazione adatta e calcola la soluzione reale $(x, y)$ del sistema.

Nell'organizzazione di un evento di E-sports sono stati venduti in totale 250 biglietti. Esistono due tipi di posti: i "Gamer", che costano $15\ €$, e i "Pro", che costano $25\ €$. Se l'incasso totale è stato di $4\ 700\ €$, imposta un sistema di equazioni e calcola quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti utilizzando il metodo di sostituzione.

Risolvi con il metodo del confronto il seguente sistema di equazioni. Nota che l'incognita $x$ è già isolata in entrambe le espressioni:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Si sta progettando una nuova area giochi rettangolare nel cortile della scuola. L'architetto ha stabilito che il perimetro totale deve essere di $56$ metri. Inoltre, affinché ci sia spazio sufficiente per i canestri, la lunghezza dell'area deve essere di $4$ metri inferiore al triplo della larghezza.

Calcola le dimensioni dell'area giochi impostando un sistema di equazioni e risolvendolo con il metodo del confronto.

Risolvi con il metodo di riduzione il seguente sistema. Osserva che i coefficienti dell'incognita $y$ sono uguali ma di segno opposto, per cui puoi sommare direttamente le equazioni:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Osserva i seguenti due sistemi di equazioni lineari senza ancora risolverli:

Sistema A: $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Per il Sistema A, giustifica perché il metodo di sostituzione è la strada più diretta rispetto a quello di riduzione.
2. b) Per il Sistema B, giustifica perché il metodo di riduzione è l'opzione più conveniente a colpo d'occhio.
3. c) Scegli uno dei due sistemi e risolvilo passo dopo passo applicando il metodo che hai giustificato.

In un negozio di prodotti sfusi, vogliamo preparare una miscela speciale di $20\ kg$ di frutta secca che venga a un prezzo di $8,50\ €/kg$. Per farlo, utilizzeremo anacardi che costano $10\ €/kg$ e arachidi che costano $6\ €/kg$.

Applica il metodo di riduzione per scoprire quanti chilogrammi di anacardi e quanti di arachidi dobbiamo mescolare.

Costruisci un sistema di due equazioni lineari in due incognite ($x$ e $y$) che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. La sua unica soluzione deve essere la coppia ordinata $(x, y) = (3, -2)$.

2. Nessuno dei coefficienti delle incognite né dei termini noti può essere uguale a $0$, $1$ né $-1$.

3. I coefficienti dell'incognita $y$ nelle due equazioni devono essere numeri interi opposti (per esempio, $4$ e $-4$), in modo che il sistema sia già pronto per eliminarla sommando direttamente le due equazioni con il metodo di riduzione.

Scrivi il sistema che hai costruito e verifica formalmente che $(3, -2)$ soddisfa entrambe le uguaglianze.

Osserva la seguente rappresentazione grafica di due funzioni lineari che formano un sistema di equazioni.

1. a) Individua le equazioni delle due rette a partire dalle loro intersezioni e dal loro coefficiente angolare.
2. b) Determina graficamente la soluzione del sistema.
3. c) Classifica il sistema in base al suo numero di soluzioni (determinato, indeterminato o impossibile).

Osserva la rappresentazione grafica delle rette $r$ e $s$ che formano un sistema di equazioni.

1. a) Individua le equazioni delle due rette a partire dalle loro intersezioni con gli assi.
2. b) Determina, analiticamente e mediante il grafico, se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.
3. c) Trova il punto di intersezione $(x, y)$.

Traduci in linguaggio algebrico la seguente situazione e imposta un sistema di due equazioni in due incognite, indicando chiaramente che cosa rappresenta ciascuna variabile:

"In un bar, un gruppo di amici ha pagato $11 \text{ €}$ per $2$ bibite e $3$ sacchetti di patatine. Un altro gruppo ha pagato $13 \text{ €}$ per $4$ bibite e $1$ sacchetto di patatine".

In un negozio di videogiochi si vendono controller e giochi usati. Marco ha comprato un controller e un gioco per $50 \text{ €}$. Se il prezzo del gioco è il triplo di quello del controller, quanto costa ciascun articolo?

Imposta un sistema di equazioni e risolvilo con il metodo che preferisci.

Due noti streamer stanno confrontando i loro anni di esperienza sulla piattaforma. La somma delle loro età attuali è di $44$ anni. Tra $10$ anni, l'età del maggiore sarà esattamente il doppio dell'età che il minore ha attualmente.

Imposta un sistema di equazioni lineari e scopri l'età attuale di ciascuno.

Un numero di due cifre ha una proprietà curiosa: la cifra delle decine è il doppio della cifra delle unità. Se sottraiamo $27$ a tale numero, otteniamo il numero che risulta dall'inversione dell'ordine delle sue cifre.

Traduci l'enunciato in un sistema di equazioni (ricorda di esprimere il numero in forma polinomiale: $10x + y$) e trova di quale numero si tratta.

In un ufficio turistico vengono messi in vendita due tipi di abbonamenti ai trasporti urbani: l'abbonamento 'Base' a $8,50$ € e l'abbonamento 'Plus' a $15,00$ €. Alla chiusura di cassa sono stati venduti in totale $50$ abbonamenti e l'incasso totale è stato di $542,00$ €.

1. a) Individua con precisione le incognite e imposta il sistema di due equazioni lineari che rappresenta la situazione.
2. b) Risolvi il sistema con il metodo algebrico che ritieni più adatto per determinare quanti abbonamenti di ciascun tipo sono stati venduti.
3. c) Se per un errore informatico l'incasso registrato fosse stato di $540,00$ €, dimostra algebricamente perché tale importo non sarebbe possibile nella realtà con quei prezzi e quel numero di abbonamenti.

Un'azienda di spedizioni utilizza droni e furgoni per le consegne. Sappiamo che il doppio del numero di droni supera di 2 unità il triplo del numero di furgoni. Inoltre, se acquistasse 2 droni in più e perdesse un furgone, avrebbe il triplo di droni rispetto ai furgoni. Imposta un sistema di equazioni lineari e trova quanti veicoli di ciascun tipo possiede l'azienda.

In un laboratorio di chimica si vogliono mescolare due soluzioni saline. La prima ha una concentrazione di sale del $15\%$ e la seconda del $40\%$. Se occorre ottenere esattamente $20$ litri di una miscela con una concentrazione del $30\%$, quanti litri di ciascuna soluzione si devono utilizzare? Imposta e risolvi il sistema di equazioni.

Trova un numero di due cifre sapendo che la somma delle sue cifre è $12$ e che, se si inverte l'ordine di tali cifre, il numero risultante è maggiore di $18$ unità rispetto al numero originale.

Nota: ricorda che un numero di cifre $xy$ si scrive algebricamente come $10x + y$.

Due ciclisti, Paola e Sergio, percorrono una pista circolare di $400$ metri. Se corrono in versi opposti, si incrociano ogni $20$ secondi. Se corrono nello stesso verso, Paola (che è più veloce) sorpassa Sergio ogni $100$ secondi.

Sapendo che lo spazio percorso è uguale alla velocità per il tempo ($e = v \cdot t$), imposta un sistema di equazioni per calcolare la velocità di ciascun ciclista in metri al secondo.

Due ciclisti, Ioana e Boris, partecipano a una gara di lunga distanza. Boris parte dal traguardo a una velocità costante di $24\text{ km/h}$. Mezz'ora dopo, Ioana parte al suo inseguimento a una velocità di $32\text{ km/h}$.

1. a) Quanto tempo impiegherà Ioana a raggiungere Boris?
2. b) A quale distanza dalla linea del traguardo avverrà l'incontro?

Suggerimento: usa il sistema di equazioni basato sulla formula $e = v \cdot t$.

Una cooperativa agricola confeziona taniche da $5$ litri mescolando due tipi di olio: olio extravergine di oliva (EVO), con un costo di produzione di $9,00$ € al litro, e olio di girasole, con un costo di $2,00$ € al litro. Si desidera che il costo medio risultante al litro della miscela in ogni tanica sia esattamente di $4,80$ € (il che comporta un costo totale di $24,00$ € per tanica).

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima in modo giustificato se nella tanica ci saranno più di $2,5$ litri di EVO o più di $2,5$ litri di girasole. A tal fine, confronta la vicinanza del prezzo medio ($4,80$ €) ai prezzi di ciascuno dei componenti.
2. b) Imposta e risolvi il sistema di equazioni lineari per calcolare con esattezza quanti litri di EVO e quanti di girasole contiene ciascuna tanica. Il risultato conferma la tua stima precedente?
3. c) Se la cooperativa volesse ottenere una miscela di $5$ litri il cui costo finale fosse di $48,00$ € usando esclusivamente questi due tipi di olio, analizza algebricamente che cosa accadrebbe risolvendo il sistema e spiega quale significato fisico ha quel risultato nella pratica.

Due aziende di spedizioni urgenti applicano le seguenti tariffe per la consegna dei pacchi:

• Azienda Veloce: applica una quota fissa di $12,00$ € più $0,80$ € per ogni chilometro percorso.

• Azienda Rapida: applica una quota fissa di $k$ € più un prezzo al chilometro di $m$ €/km.

Chiamiamo $x$ i chilometri di distanza del tragitto e $y$ il costo finale in euro.

1. a) Scrivi l'equazione che modellizza il costo dell'Azienda Veloce.
2. b) Determina, motivando, quali valori devono avere i parametri $k$ e $m$ affinché il sistema formato dalle due tariffe sia:

• Impossibile (le due rette sono parallele e non coincidono mai nel prezzo per nessun chilometraggio). Spiega la conseguenza per il cliente.

• Indeterminato (le due tariffe risultano identiche a qualsiasi distanza).

1. c) Se l'Azienda Rapida fissa $k = 18,00$ € e $m = 0,50$ €/km, imposta il sistema di equazioni, trova il punto di intersezione e interpreta a partire da quanti chilometri contrattati l'Azienda Rapida risulta più economica rispetto all'Azienda Veloce.

Risolvi la seguente equazione di primo grado, prestando particolare attenzione alla semplificazione delle frazioni e al segno negativo che precede le parentesi:

Studia il discriminante della seguente equazione di secondo grado e determina per quale valore del parametro $k$ l'equazione ha un'unica soluzione reale (soluzione doppia). Una volta trovato $k$, risolvi l'equazione:

Trova le dimensioni di una cornice rettangolare di legno sapendo che il suo perimetro è di $60\text{ cm}$ e che la sua area è di $216\text{ cm}^2$. Per risolverlo, dovrai impostare un sistema in cui una delle equazioni sia di secondo grado oppure risolverlo mediante un'equazione di secondo grado usando la relazione tra somma e prodotto delle radici.