Distanza tra due punti

Calcola la distanza esatta tra i punti $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$ nel piano cartesiano.

Trova la lunghezza del segmento i cui estremi sono l'origine delle coordinate $O(0, 0)$ e il punto $M(-8, 6)$.

Marco vuole calcolare la distanza tra i punti $A(-1, 5)$ e $B(3, 2)$ in un piano cartesiano. Sul quaderno scrive il seguente svolgimento:

1. a) Indica con precisione l'errore concettuale e algebrico che commette Marco nell'ultimo passaggio e spiega perché la radice quadrata di una somma non è uguale alla somma delle radici.
2. b) Correggi il procedimento e calcola il valore numerico esatto della distanza euclidea tra $A$ e $B$.

I vertici di un triangolo sono $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$. Calcola il perimetro di questo triangolo sommando le lunghezze dei suoi tre lati.

Nella pianta di un edificio, tre colonne principali verranno collocate nelle coordinate $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ e $R(5, 0)$. Dimostra matematicamente se il triangolo formato da queste tre colonne è isoscele.

Dimostra, calcolando le lunghezze dei tre lati e usando il teorema di Pitagora, che il triangolo di vertici $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e $C(2, 4)$ è un triangolo rettangolo.

I vertici di un terreno di forma triangolare sono $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ e $C(6, 3)$. Dimostra prima che il terreno forma un triangolo rettangolo e poi calcola il suo perimetro e la sua area esatta.

La distanza tra i punti $A(1, 2)$ e $B(x, 5)$ è esattamente di $5$ unità. Trova i due possibili valori della coordinata $x$.

Trova le coordinate di tutti i punti situati sull'asse delle ascisse (asse X) che si trovano a distanza esattamente $10$ unità dal punto $M(-6, 8)$.

Una tubatura rettilinea deve collegare un pozzo situato nel punto $A(-3, 2)$ con una pompa dell'acqua $P$ che deve obbligatoriamente essere installata sull'asse delle ordinate (asse Y). Se per vincoli di pressione la lunghezza della tubatura deve essere esattamente di $\sqrt{29}$ unità, trova le possibili coordinate per la pompa $P$.

Un fattorino in bicicletta parte dal negozio situato in $O(0,0)$, va in linea retta fino alla prima consegna in $A(6, 8)$ e poi cambia direzione per dirigersi alla seconda consegna in $B(15, -4)$. Se ogni unità del piano rappresenta $100$ metri, qual è la distanza totale percorsa in chilometri?

Trova le coordinate di un punto $P$ situato sulla bisettrice del primo quadrante (la retta $y = x$) che sia equidistante dai punti fissi $A(2, 0)$ e $B(0, 4)$.

Un sistema di irrigazione automatizzato è composto da un irrigatore circolare con centro in $C(x, y)$ che deve innaffiare in modo uguale tre alberi situati nelle coordinate $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ e $T_3(0, 8)$. Determina le coordinate in cui deve essere collocato l'irrigatore $C$ e quale sarà il suo raggio d'azione esatto.

Determina se i punti $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ e $C(7, 7)$ sono perfettamente allineati. Per farlo, calcola le distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$, e verifica se vale l'uguaglianza $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Per verificare se i punti $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$ e $C(3, 6)$ sono allineati sulla stessa retta, si propongono due strategie matematiche diverse:

• Metodo 1 (Metrico): Calcolare le tre distanze $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$ mediante il modulo degli spostamenti e verificare se la somma delle due minori è uguale alla maggiore.

• Metodo 2 (Vettoriale): Calcolare le componenti dei vettori $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ e verificare se sono direttamente proporzionali.

1. a) Applica il Metodo 1 semplificando al massimo i radicali per operare con valori esatti.
2. b) Applica il Metodo 2.
3. c) Confronta i due percorsi e argomenta quale dei due è preferibile dal punto di vista dell'economia di calcolo e della sicurezza nell'evitare errori di arrotondamento quando le distanze risultano essere numeri irrazionali.

I punti $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -2)$ sono tre vertici consecutivi di un parallelogramma $ABCD$. Trova le coordinate del quarto vertice $D$ e calcola la lunghezza esatta di entrambe le diagonali del parallelogramma.

In un simulatore di volo spaziale 3D, una nave si muove dalla coordinata $P_1(2, -1, 4)$ alla stazione orbitale in $P_2(5, 3, 16)$. Calcola la distanza in linea retta esatta percorsa dalla nave nello spazio.