Eventi composti
Lanciare due monete, estrarre due carte da un mazzo da 40 carte, oppure scegliere prima un'urna e poi una pallina: sono esperimenti composti, formati da più fasi. In una gara a squadre, quanto è probabile che una squadra vinca al meglio delle tre partite? Per rispondere devi imparare a combinare le probabilità delle singole fasi. In questa pagina si usano i diagrammi ad albero senza la formalità della probabilità condizionata: basta il buon senso, contando ciò che resta dopo ogni fase.
Esperimenti in più fasi
Se le fasi non si influenzano (due lanci di moneta, un dado e una moneta) la probabilità di una combinazione di esiti è il prodotto delle probabilità. Perché? Con una moneta e un dado ci sono $2 \cdot 6 = 12$ coppie ugualmente possibili: i casi possibili si moltiplicano, e lo stesso fanno le frazioni.
Lanciamo due monete in modo indipendente. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due croci.
Lanciamo due monete in modo indipendente. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due croci.
Lanciamo un dado cubico equilibrato (con le facce numerate da $1$ a $6$) e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?
Lanciamo un dado cubico equilibrato (con le facce numerate da $1$ a $6$) e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta?
In una strada ci sono due semafori indipendenti. La probabilità che il primo sia verde è $0,4$ e la probabilità che il secondo sia verde è $0,5$. Trova la probabilità di…
In una strada ci sono due semafori indipendenti. La probabilità che il primo sia verde è $0,4$ e la probabilità che il secondo sia verde è $0,5$. Trova la probabilità di trovare entrambi i semafori verdi passando per quella strada.
Il prodotto lungo un cammino
Senza reinserimento
Quando si estrae senza reinserimento, la composizione dell'urna cambia: nella seconda fase contano le carte rimaste.
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline azzurre. Si estrae una pallina, si annota il suo colore, si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina.…
In una scatola ci sono $5$ palline rosse e $3$ palline azzurre. Si estrae una pallina, si annota il suo colore, si rimette nella scatola e si estrae una seconda pallina. Trova la probabilità che entrambe le palline siano rosse.
Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estraggono due carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le due carte siano Re.
Da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo) si estraggono due carte consecutivamente senza reinserimento. Calcola la probabilità che le due carte siano Re.
In un ristorante, il $60\%$ dei clienti ordina il menù del giorno e il $40\%$ ordina alla carta. Tra quelli che ordinano il menù, il $70\%$ prende il dolce. Tra quelli…
In un ristorante, il $60\%$ dei clienti ordina il menù del giorno e il $40\%$ ordina alla carta. Tra quelli che ordinano il menù, il $70\%$ prende il dolce. Tra quelli che ordinano alla carta, il $50\%$ prende il dolce. Calcola la probabilità che un cliente scelto a caso ordini il menù del giorno e prenda il dolce.
Si estraggono tre carte consecutivamente e senza reinserimento da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Calcola la probabilità di ottenere tre carte del seme di…
Si estraggono tre carte consecutivamente e senza reinserimento da un mazzo di $40$ carte (mazzo spagnolo). Calcola la probabilità di ottenere tre carte del seme di denari.
Due cammini verso lo stesso risultato
Se un risultato si può ottenere in più modi diversi (più cammini dell'albero), calcoli la probabilità di ciascun cammino con il prodotto e poi le sommi.
Abbiamo due urne. L'urna $A$ contiene $4$ palline bianche e $2$ nere. L'urna $B$ contiene $3$ palline bianche e $5$ nere. Lanciamo una moneta equilibrata; se esce testa,…
Abbiamo due urne. L'urna $A$ contiene $4$ palline bianche e $2$ nere. L'urna $B$ contiene $3$ palline bianche e $5$ nere. Lanciamo una moneta equilibrata; se esce testa, estraiamo una pallina dall'urna $A$, e se esce croce, estraiamo una pallina dall'urna $B$. Trova la probabilità che la pallina estratta sia bianca.
Una fabbrica di componenti elettronici ha due macchine. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei componenti e la macchina $M_2$ il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei…
Una fabbrica di componenti elettronici ha due macchine. La macchina $M_1$ produce il $60\%$ dei componenti e la macchina $M_2$ il restante $40\%$. Si sa che il $2\%$ dei componenti prodotti da $M_1$ è difettoso, mentre il $5\%$ di quelli prodotti da $M_2$ è difettoso. Se si seleziona un componente a caso in magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso?
«Almeno uno» con l'evento contrario
Due giocatrici di basket, Marta e Laura, effettuano un tiro libero ciascuna. La probabilità che Marta segni è $0,8$ e la probabilità che Laura segni è $0,7$. I loro tiri…
Due giocatrici di basket, Marta e Laura, effettuano un tiro libero ciascuna. La probabilità che Marta segni è $0,8$ e la probabilità che Laura segni è $0,7$. I loro tiri sono eventi indipendenti. Calcola la probabilità che almeno una delle due segni il proprio tiro libero.
Un arciere ha una probabilità $0,85$ di colpire il centro del bersaglio a ogni tiro. Se effettua tre tiri consecutivi e indipendenti, trova la probabilità che sbagli…
Un arciere ha una probabilità $0,85$ di colpire il centro del bersaglio a ogni tiro. Se effettua tre tiri consecutivi e indipendenti, trova la probabilità che sbagli tutti e tre i tiri.
Lo schema seguente mostra un sistema di tubature con tre valvole $A$, $B$ e $C$. L'acqua scorre da sinistra a destra. Perché l'acqua arrivi alla fine, deve passare per…
Lo schema seguente mostra un sistema di tubature con tre valvole $A$, $B$ e $C$. L'acqua scorre da sinistra a destra. Perché l'acqua arrivi alla fine, deve passare per la valvola $A$ oppure per il ramo inferiore che contiene le valvole $B$ e $C$ in serie. Le probabilità che le valvole siano aperte sono $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,9$. Sapendo che il funzionamento di ciascuna valvola è indipendente, calcola la probabilità che l'acqua riesca ad attraversare il sistema.