Funzioni elementari e valore assoluto
Un parcheggio di Padova fa pagare 1 € la prima ora e 2 € ogni ora successiva, fino a un massimo di 9 €. Il costo non cresce con una sola formula: cambia "regola" a seconda del tempo di sosta. Come si descrive una funzione così? Lo vedremo in questa pagina, insieme a due funzioni elementari molto importanti: $|x|$ e $\frac{a}{x}$.
Il valore assoluto e la funzione |x|
Il valore assoluto di un numero è la sua distanza dallo zero sulla retta: non importa se sta a destra o a sinistra.
Nota che $-x$ è positivo quando $x$ è negativo: per questo $|x|$ non è mai negativo. Per esempio $|-3| = 3$ e $|5| = 5$.
Il grafico di $f(x) = |x|$ è formato da due semirette: per $x \ge 0$ coincide con $y = x$, per $x < 0$ con $y = -x$. Ha la forma di una "V" con vertice nell'origine.
Il grafico di $g(x) = |x - a|$ si ottiene traslando quello di $|x|$ di $a$ unità verso destra (se $a > 0$): il vertice passa da $(0; 0)$ a $(a; 0)$. Infatti $|x-a|$ è la distanza tra $x$ e $a$.
Disegna il grafico della funzione $f(x) = |x|$ e di $g(x) = |x - 2|$. Descrivi come si ottiene il secondo dal primo.
Disegna il grafico della funzione $f(x) = |x|$ e di $g(x) = |x - 2|$. Descrivi come si ottiene il secondo dal primo.
Equazioni con valore assoluto
Poiché $|A|$ è la distanza di $A$ dallo zero, l'equazione $|A| = k$ con $k > 0$ dice che $A$ dista $k$ dallo zero: quindi $A = k$ oppure $A = -k$.
Quando l'equazione ha la forma $|A| = B$ con $B$ un'espressione in $x$, si discutono due casi e si verifica che sia $B \ge 0$.
Risolvi le seguenti equazioni con valore assoluto: a) $|x - 3| = 5$ b) $|2x + 1| = 7$ c) $|x + 4| = -2$
Risolvi le seguenti equazioni con valore assoluto:
- a) $|x - 3| = 5$
- b) $|2x + 1| = 7$
- c) $|x + 4| = -2$
Risolvi l'equazione $|2x - 1| = x + 4$, discutendo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo e verificando le soluzioni trovate.
Risolvi l'equazione $|2x - 1| = x + 4$, discutendo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo e verificando le soluzioni trovate.
Disequazioni con valore assoluto
Ragioniamo ancora con le distanze. Per $k > 0$:
Per esempio $|x| < 3$ dà $]-3; 3[$, mentre $|x| > 3$ dà $]-\infty; -3[\ \cup\ ]3; +\infty[$.
Per $|A| \le B$ con $B$ variabile si usa $-B \le A \le B$ (come sistema), purché $B \ge 0$. Altrimenti si possono studiare i due casi, come nelle equazioni.
Risolvi la disequazione $|x^2 - 4| \le 3x$ e interpreta il risultato dal punto di vista grafico, confrontando il grafico di $y = |x^2 - 4|$ con la retta $y = 3x$.
Risolvi la disequazione $|x^2 - 4| \le 3x$ e interpreta il risultato dal punto di vista grafico, confrontando il grafico di $y = |x^2 - 4|$ con la retta $y = 3x$.
Funzioni lineari a tratti
Una funzione lineare a tratti usa formule di primo grado diverse in intervalli diversi. Il grafico è una spezzata. Ogni valore assoluto si "spezza" in due casi.
Anche il parcheggio di Padova è una funzione a tratti. Con $t$ in ore intere, il costo è $c = 1 + 2(t-1) = 2t - 1$ per $t \le 5$ (a $t = 5$ costa $9$ €), poi resta $9$ € fino a $24$ ore.
Una tariffa di un parcheggio a Padova prevede: $1$ € per la prima ora (anche se non completa), $2$ € per ogni ora successiva, con un massimo di $9$ € al giorno. Scrivi…
Una tariffa di un parcheggio a Padova prevede: $1$ € per la prima ora (anche se non completa), $2$ € per ogni ora successiva, con un massimo di $9$ € al giorno. Scrivi la funzione lineare a tratti che esprime il costo $c$ in funzione delle ore $t$ di sosta, per $0 < t \le 24$ (considera per semplicità sosta in ore intere) e disegnane il grafico.
Data $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$: a) riscrivila come funzione lineare a tratti; b) disegna il grafico e determina il suo valore minimo; c) discuti, al variare di $k$, il…
Data $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$:
- a) riscrivila come funzione lineare a tratti;
- b) disegna il grafico e determina il suo valore minimo;
- c) discuti, al variare di $k$, il numero di soluzioni dell'equazione $f(x) = k$.
Proporzionalità inversa: y = k/x
Tre operai impiegano 12 giorni per un lavoro. Con 6 operai (il doppio) bastano 6 giorni (la metà). Il prodotto $n \cdot g = 36$ resta costante: due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante.
Se $x$ raddoppia, $y$ dimezza: per questo la curva si avvicina agli assi senza toccarli mai.
Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{6}{x}$: a) completa la tabella per $x = 1, 2, 3, 6, -2, -3$; b) indica il dominio e il tipo di curva che…
Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \frac{6}{x}$:
- a) completa la tabella per $x = 1, 2, 3, 6, -2, -3$;
- b) indica il dominio e il tipo di curva che rappresenta il grafico.
Tre operai di una ditta di Torino impiegano $12$ giorni per terminare un lavoro. Supponendo che la velocità di lavoro sia uguale per tutti: a) scrivi la funzione che dà…
Tre operai di una ditta di Torino impiegano $12$ giorni per terminare un lavoro. Supponendo che la velocità di lavoro sia uguale per tutti:
- a) scrivi la funzione che dà il numero di giorni $g$ in funzione del numero di operai $n$;
- b) calcola i giorni con $4$, $6$ e $9$ operai;
- c) spiega perché è una proporzionalità inversa.
Determina le intersezioni tra l'iperbole $y = \frac{4}{x}$ e la retta $y = x + k$ al variare di $k$. Stabilisci per quali valori di $k$ la retta è tangente all'iperbole,…
Determina le intersezioni tra l'iperbole $y = \frac{4}{x}$ e la retta $y = x + k$ al variare di $k$. Stabilisci per quali valori di $k$ la retta è tangente all'iperbole, motivando con il discriminante.
In sintesi
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$|x|$ è la distanza dallo zero; il grafico è una V con vertice in $(0;0)$; $|x-a|$ la trasla di $a$ a destra.
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$|A| = k$ ($k>0$) dà $A=\pm k$; se $k<0$ non ci sono soluzioni. Per $|A|=B$ si discutono due casi e si verifica $B\ge0$.
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$|A|
k \iff A<-k$ o $A>k$. -
Una funzione lineare a tratti si ottiene spezzando i valori assoluti nei punti critici; il grafico è una spezzata.
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$y = \frac{k}{x}$ è la proporzionalità inversa: dominio $x\neq0$, grafico iperbole equilatera, prodotto $xy=k$ costante.
Vuoi tornare al parcheggio? Il costo è lineare a tratti: $2t-1$ fino a 5 ore, poi costante a $9$ €.