Equivalenza di superfici
Giulia vuole sostituire un'aiuola rettangolare con una quadrata che occupi lo stesso spazio di terra, senza cambiarne la quantità. Come si trova il lato del quadrato? In questa pagina scopriamo come confrontare superfici di forma diversa.
Figure equivalenti
Attenzione: equivalenti non significa congruenti. Due figure congruenti si sovrappongono perfettamente; due figure equivalenti possono avere forme diverse. Ogni coppia di figure congruenti è equivalente, ma non vale il viceversa.
Ad esempio un rettangolo $8 \times 2$ e un quadrato di lato $4$ hanno entrambi area $16$: sono equivalenti ma non congruenti.
Per le figure equivalenti valgono le proprietà di una relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva. Inoltre, sommando o sottraendo figure equivalenti a figure equivalenti si ottengono figure equivalenti.
Un rettangolo ha base $12$ cm e altezza $5$ cm. Calcola il lato del quadrato ad esso equivalente.
Un rettangolo ha base $12$ cm e altezza $5$ cm. Calcola il lato del quadrato ad esso equivalente.
Dal parallelogramma al trapezio
Il punto di partenza è il rettangolo: area $= b \cdot h$. Da lì si ricavano le altre figure.
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Parallelogramma: spostando un triangolo da un lato all'altro diventa un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Quindi $A = b \cdot h$.
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Triangolo: due triangoli congruenti formano un parallelogramma. Quindi un triangolo è equivalente a un parallelogramma con la stessa altezza e base metà: $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$.
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Trapezio: è equivalente a un triangolo con la stessa altezza e base uguale alla somma delle basi. $A = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$.
Un triangolo ha base $14$ cm e altezza $6$ cm. Trova l'altezza di un parallelogramma di base $7$ cm equivalente al triangolo.
Un triangolo ha base $14$ cm e altezza $6$ cm. Trova l'altezza di un parallelogramma di base $7$ cm equivalente al triangolo.
Un trapezio ha basi $10$ cm e $6$ cm e altezza $5$ cm. Determina il lato di un quadrato equivalente e la base di un rettangolo equivalente di altezza $4$ cm.
Un trapezio ha basi $10$ cm e $6$ cm e altezza $5$ cm. Determina il lato di un quadrato equivalente e la base di un rettangolo equivalente di altezza $4$ cm.
Un terreno a forma di triangolo rettangolo a Lecce ha cateti $30$ m e $40$ m. Si vuole sostituirlo con un terreno rettangolare equivalente con un lato di $15$ m. Calcola…
Un terreno a forma di triangolo rettangolo a Lecce ha cateti $30$ m e $40$ m. Si vuole sostituirlo con un terreno rettangolare equivalente con un lato di $15$ m. Calcola l'altro lato e confronta i perimetri.
Cerchio e quadrato equivalente
Il cerchio di raggio $r$ ha area $\pi r^2$. Il quadrato equivalente ha lato $\ell$ con
$$\ell^2 = \pi r^2 \quad\Rightarrow\quad \ell = r\sqrt{\pi}.$$Per $r = 5$ cm: $\ell = 5\sqrt{\pi} \approx 5 \cdot 1{,}7725 \approx 8{,}86$ cm.
Un cerchio ha raggio $4$ cm. Calcola il lato del quadrato equivalente, in funzione di $\pi$ e con approssimazione a due cifre decimali.
Un cerchio ha raggio $4$ cm. Calcola il lato del quadrato equivalente, in funzione di $\pi$ e con approssimazione a due cifre decimali.
Pitagora ed Euclide come equivalenze
I teoremi sui triangoli rettangoli si possono leggere come equivalenze di aree.
Perché vale? I triangoli $ABC$ e $ABH$ (con $H$ piede dell'altezza, $BH = p$) sono simili: da $BC : AB = AB : BH$, cioè $c : a = a : p$, segue $a^2 = c \cdot p$. Sommando i due teoremi per i due cateti ($a^2 = c\,p$ e $b^2 = c\,q$, con $p + q = c$) si ottiene $a^2 + b^2 = c(p+q) = c^2$: Pitagora.
In un triangolo rettangolo $ABC$ di ipotenusa $BC$, i quadrati costruiti sui cateti hanno area $36$ cm$^2$ e $64$ cm$^2$. Calcola l'area del quadrato sull'ipotenusa e…
In un triangolo rettangolo $ABC$ di ipotenusa $BC$, i quadrati costruiti sui cateti hanno area $36$ cm$^2$ e $64$ cm$^2$. Calcola l'area del quadrato sull'ipotenusa e spiega il legame con il primo teorema di Euclide.
In un triangolo rettangolo, dimostra con il primo teorema di Euclide che il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa…
In un triangolo rettangolo, dimostra con il primo teorema di Euclide che il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
Dimostrare equivalenze
Per dimostrare che due figure sono equivalenti si usano di solito tre strumenti:
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triangoli con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area (sono equivalenti);
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somme e differenze di figure equivalenti;
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formule di area.
Dimostra che un triangolo e un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza non sono equivalenti, ma lo diventano se la base del parallelogramma è la metà.
Dimostra che un triangolo e un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza non sono equivalenti, ma lo diventano se la base del parallelogramma è la metà.
Dimostra che in un trapezio le due parti in cui è diviso dalle diagonali, formate dai triangoli adiacenti ai lati obliqui, sono equivalenti.
Dimostra che in un trapezio le due parti in cui è diviso dalle diagonali, formate dai triangoli adiacenti ai lati obliqui, sono equivalenti.
Torna all'inizio: per il quadrato equivalente all'aiuola di Giulia si calcola l'area del rettangolo e se ne fa la radice quadrata.
In sintesi
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Figure equivalenti = stessa area (non necessariamente congruenti).
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Parallelogramma $b\cdot h$; triangolo $\frac{b\cdot h}{2}$; trapezio $\frac{(B+b)h}{2}$; cerchio $\pi r^2$.
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Quadrato equivalente a una figura di area $A$: lato $\sqrt{A}$.
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Pitagora ed Euclide I sono equivalenze tra quadrati e rettangoli.
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Per dimostrare: stessa base e altezza, somme e differenze di figure equivalenti.