Sistemi di equazioni lineari
Al bar, 3 caffè e 2 cornetti costano 7,50 €, mentre 1 caffè e 4 cornetti costano 6,50 €. Quanto costa ciascuno? Due informazioni, due incognite: serve un sistema di equazioni lineari.
Che cos'è un sistema lineare
Un sistema lineare 2×2 in forma normale è $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$. La soluzione è una coppia ordinata $(x; y)$ che verifica entrambe le equazioni. Per controllare una coppia, sostituisci i suoi valori in tutte e due le equazioni.
Verifica se la coppia di valori $(x, y) = (2, -1)$ è soluzione del seguente sistema di equazioni lineari: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Verifica se la coppia di valori $(x, y) = (2, -1)$ è soluzione del seguente sistema di equazioni lineari:
$3x + 2y = 4$
$x - 4y = 6$
I metodi di risoluzione
Sostituzione: ricavi un'incognita da un'equazione e la sostituisci nell'altra. Confronto: ricavi la stessa incognita da entrambe e le uguagli. Riduzione: sommi o sottrai le equazioni, dopo aver moltiplicato se serve, per eliminare un'incognita.
Metodo di Cramer: calcola $D = a_1b_2 - a_2b_1$, $D_x = c_1b_2 - c_2b_1$, $D_y = a_1c_2 - a_2c_1$. Se $D \neq 0$, $x = D_x/D$ e $y = D_y/D$.
Prima di risolvere: parentesi e denominatori
Se il sistema ha parentesi o frazioni, portalo prima in forma normale. Elimina le parentesi con la proprietà distributiva. Per togliere i denominatori moltiplica ogni equazione per il m.c.m. dei suoi denominatori, moltiplicando tutti i termini. Poi riduci i termini simili.
Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione:
$x = 2y + 5$
$3x - 4y = 11$
Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di riduzione: $5x + 3y = 21$ $2x - 3y = 0$
Risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di riduzione:
$5x + 3y = 21$
$2x - 3y = 0$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, eseguendo prima le operazioni per eliminare le parentesi: $2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$ $x - 4(y + 2) = -10$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, eseguendo prima le operazioni per eliminare le parentesi:
$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$
$x - 4(y + 2) = -10$
Risolvi il seguente sistema eliminando prima i denominatori: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Risolvi il seguente sistema eliminando prima i denominatori:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, semplificando prima le espressioni con frazioni e parentesi: $\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$…
Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, semplificando prima le espressioni con frazioni e parentesi:
$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$
Significato grafico e classificazione
Ogni equazione è una retta nel piano cartesiano. La soluzione è il punto di intersezione. Rette incidenti: sistema determinato. Rette parallele: impossibile. Rette coincidenti: indeterminato. Senza risolvere, se $D\neq 0$ il sistema è determinato; se $D=0$ i rapporti $a_1/a_2$ e $b_1/b_2$ sono uguali: se anche $c_1/c_2$ è uguale a essi, indeterminato; se $c_1/c_2$ è diverso, impossibile. Se qualche coefficiente è nullo e un rapporto non ha senso, usa $D_x$ e $D_y$: entrambi nulli, indeterminato; altrimenti impossibile.
Osserva la rappresentazione grafica di due rette che formano un sistema di equazioni lineari. Indica qual è la soluzione del sistema e classificalo in base al numero di…
Osserva la rappresentazione grafica di due rette che formano un sistema di equazioni lineari. Indica qual è la soluzione del sistema e classificalo in base al numero di soluzioni (determinato, indeterminato o impossibile).
Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema di equazioni sia impossibile (cioè le rette che lo rappresentano siano parallele): $kx + 3y = 5$…
Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema di equazioni sia impossibile (cioè le rette che lo rappresentano siano parallele):
$kx + 3y = 5$
$4x - 2y = 7$
Problemi
Per risolvere un problema scegli due incognite, traduci i dati in due equazioni, risolvi il sistema e controlla il risultato nel contesto.
In un bar, per $3$ caffè e $2$ cornetti ci hanno fatto pagare $7,50$ €. Se compriamo $1$ caffè e $4$ cornetti dello stesso tipo, il prezzo è di $6,50$ €. Quanto costano…
In un bar, per $3$ caffè e $2$ cornetti ci hanno fatto pagare $7,50$ €. Se compriamo $1$ caffè e $4$ cornetti dello stesso tipo, il prezzo è di $6,50$ €. Quanto costano un caffè e un cornetto?
Il perimetro di un terreno rettangolare misura $120$ metri. Se la lunghezza del terreno misura $10$ metri in più della larghezza, quali sono le dimensioni del terreno?
Il perimetro di un terreno rettangolare misura $120$ metri. Se la lunghezza del terreno misura $10$ metri in più della larghezza, quali sono le dimensioni del terreno?