Parabola e risoluzione grafica
Un pallone calciato in un campo a Bologna sale, si ferma un istante e ricade. Qual è la forma della sua traiettoria? E come si trova il punto più alto senza provare tanti valori? La risposta è nella parabola, il grafico delle funzioni di secondo grado.
La funzione quadratica e la sua parabola
Una funzione del tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$ si chiama funzione quadratica. Il suo grafico, nel piano cartesiano, è una parabola di equazione $y = ax^2 + bx + c$.
Il segno di $a$ decide la concavità: se $a > 0$ la parabola è rivolta verso l'alto, se $a < 0$ verso il basso. Il coefficiente $c$ è l'ordinata dell'intersezione con l'asse $y$, perché per $x = 0$ si ha $y = c$.
Muovi i cursori e osserva: che cosa cambia quando $a$ passa da positivo a negativo?
Perché proprio quel valore? La parabola è simmetrica rispetto all'asse, quindi il vertice sta a metà tra le due intersezioni con l'asse $x$ (quando esistono), che valgono $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$: la loro media è $-\frac{b}{2a}$. L'ordinata si ottiene sostituendo.
Data la funzione $f(x) = x^2 - 4x + 3$: a) determina le coordinate del vertice; b) scrivi l'equazione dell'asse di simmetria; c) trova le intersezioni con gli assi…
Data la funzione $f(x) = x^2 - 4x + 3$:
- a) determina le coordinate del vertice;
- b) scrivi l'equazione dell'asse di simmetria;
- c) trova le intersezioni con gli assi cartesiani.
Data la parabola $y = -x^2 + 2x + 8$, stabilisci se rivolge la concavità verso l'alto o verso il basso, trova il vertice e le intersezioni con l'asse $x$.
Data la parabola $y = -x^2 + 2x + 8$, stabilisci se rivolge la concavità verso l'alto o verso il basso, trova il vertice e le intersezioni con l'asse $x$.
Disegnare la parabola per punti
Per tracciare la parabola bastano pochi passi:
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concavità dal segno di $a$;
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vertice e asse;
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intersezioni con gli assi, se esistono;
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qualche punto in più, usando la simmetria rispetto all'asse.
Nota: le soluzioni dell'equazione $x^2 - 2x - 3 = 0$ sono proprio le ascisse dei punti in cui la parabola incontra l'asse $x$. È la risoluzione grafica dell'equazione: risolvere $ax^2+bx+c=0$ significa cercare dove $y = 0$.
Disegna per punti la parabola $y = x^2 - 2x - 3$ e usa il grafico per risolvere l'equazione $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Disegna per punti la parabola $y = x^2 - 2x - 3$ e usa il grafico per risolvere l'equazione $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Determina l'equazione della parabola $y = ax^2 + bx + c$ che passa per i punti $A(0; 3)$, $B(1; 0)$ e $C(3; 0)$ e trova il suo vertice.
Determina l'equazione della parabola $y = ax^2 + bx + c$ che passa per i punti $A(0; 3)$, $B(1; 0)$ e $C(3; 0)$ e trova il suo vertice.
Parabola per tre punti
I coefficienti $a$, $b$, $c$ sono tre incognite: servono tre condizioni, per esempio tre punti per cui la parabola passa. Sostituendo le coordinate di ogni punto in $y = ax^2+bx+c$ si ottiene un sistema.
Se due dei punti sono sull'asse $x$, in $x_1$ e $x_2$, puoi usare la forma $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ e trovare $a$ con il terzo punto.
Disequazioni di secondo grado e grafico
La disequazione $ax^2 + bx + c > 0$ chiede: per quali $x$ la parabola sta sopra l'asse $x$? Con $<0$: dove sta sotto.
Quindi: disegna la parabola associata, trova le intersezioni con l'asse $x$ e leggi gli intervalli.
| $\Delta$ | $a>0$, $ax^2+bx+c>0$ | $a>0$, $ax^2+bx+c<0$ |
|---|---|---|
| $\Delta>0$ | $x |
$x1 |
| $\Delta=0$ | $x \neq x_1$ | nessuna soluzione |
| $\Delta<0$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ | nessuna soluzione |
Se $a<0$ conviene moltiplicare per $-1$ cambiando il verso della disequazione.
Risolvi graficamente la disequazione $x^2 - 5x + 4 < 0$, tracciando la parabola associata e indicando l'insieme delle soluzioni. Verifica poi il risultato per via…
Risolvi graficamente la disequazione $x^2 - 5x + 4 < 0$, tracciando la parabola associata e indicando l'insieme delle soluzioni. Verifica poi il risultato per via algebrica.
Applicazioni: massimi, minimi e parametri
Il vertice è il punto di massimo o di minimo: ecco perché serve nei problemi di ottimizzazione.
Parametri. Nel discutere il numero di soluzioni di $x^2 + bx + c = px + k$ conviene portare tutto a sinistra e studiare $\Delta$ in funzione del parametro. Graficamente: una retta mobile $y = px + k$ interseca la parabola in 0, 1 o 2 punti (esterna, tangente, secante).
Se vuoi che $ax^2+bx+c>0$ sia vera per ogni $x$, devi avere $a>0$ e $\Delta<0$: la parabola sta tutta sopra l'asse $x$.
Un pallone viene calciato da un campo a Bologna e la sua altezza in metri dopo $t$ secondi è $h(t) = -5t^2 + 20t$. a) Dopo quanti secondi il pallone raggiunge la massima…
Un pallone viene calciato da un campo a Bologna e la sua altezza in metri dopo $t$ secondi è $h(t) = -5t^2 + 20t$.
- a) Dopo quanti secondi il pallone raggiunge la massima altezza e quanto vale?
- b) Dopo quanti secondi tocca di nuovo terra?
- c) Per quanto tempo l'altezza supera $15$ m?
Data la parabola $y = x^2 - 4x + 5$ e la retta $y = x + k$, discuti graficamente e algebricamente, al variare di $k \in \mathbb{R}$, il numero di soluzioni reali…
Data la parabola $y = x^2 - 4x + 5$ e la retta $y = x + k$, discuti graficamente e algebricamente, al variare di $k \in \mathbb{R}$, il numero di soluzioni reali dell'equazione $x^2 - 4x + 5 = x + k$.
Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$. Giustifica il procedimento collegandolo…
Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$. Giustifica il procedimento collegandolo alla posizione della parabola rispetto all'asse $x$.
Un rettangolo ha perimetro $40$ m. a) Esprimi l'area in funzione della base $x$ e riconosci il tipo di funzione. b) Determina le dimensioni del rettangolo di area…
Un rettangolo ha perimetro $40$ m.
- a) Esprimi l'area in funzione della base $x$ e riconosci il tipo di funzione.
- b) Determina le dimensioni del rettangolo di area massima, motivando con il vertice della parabola.
- c) Per quali valori di $x$ l'area è almeno $75$ m$^2$?
Torna all'inizio: la traiettoria del pallone è una parabola con $a<0$, il punto più alto è il vertice e il tempo di volo si ottiene dalle intersezioni con l'asse $t$.
In sintesi
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$y = ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) ha per grafico una parabola: concavità verso l'alto se $a>0$, verso il basso se $a<0$.
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Vertice $V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$, asse $x = -\frac{b}{2a}$, intersezione con l'asse $y$ in $(0; c)$.
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Le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ sono le ascisse delle intersezioni con l'asse $x$: il segno di $\Delta$ dice quante sono.
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$ax^2+bx+c>0$ ($<0$): parti della parabola sopra (sotto) l'asse $x$.
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Il vertice dà il massimo o il minimo; per $ax^2+bx+c>0$ $\forall x$ servono $a>0$ e $\Delta<0$.