Posizione reciproca di due rette
Due strade di una città possono non incontrarsi mai (parallele), incrociarsi in un solo punto (incidenti) oppure essere, in realtà, la stessa strada chiamata con due nomi diversi (coincidenti). Due rette del piano possono trovarsi solo in una di queste tre situazioni: vediamo come riconoscerla dalle equazioni, senza nemmeno disegnarle.
Le tre posizioni possibili
Scrivi la posizione reciproca delle rette $r: y = 3x - 5$ e $s: y = -2x + 4$ giustificando la risposta a partire dai loro coefficienti angolari.
Scrivi la posizione reciproca delle rette $r: y = 3x - 5$ e $s: y = -2x + 4$ giustificando la risposta a partire dai loro coefficienti angolari.
Il criterio dei coefficienti
Se le rette sono scritte in forma esplicita $y = mx + q$, basta confrontare i coefficienti angolari:
-
$m_1 = m_2$ e $q_1 \ne q_2$: rette parallele;
-
$m_1 = m_2$ e $q_1 = q_2$: rette coincidenti;
-
$m_1 \ne m_2$: rette incidenti.
Con la forma implicita si confrontano i coefficienti dell'equazione.
Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 4y + 6 = 0$ e $s: -x + 2y - 3 = 0$ confrontando i loro coefficienti.
Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 4y + 6 = 0$ e $s: -x + 2y - 3 = 0$ confrontando i loro coefficienti.
Calcola il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: 3x + ky - 2 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$ siano parallele.
Calcola il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: 3x + ky - 2 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$ siano parallele.
Marco deve determinare in classe la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 6 = 0$ e $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Sul quaderno scrive: «Calcolo il rapporto dei…
Marco deve determinare in classe la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 6 = 0$ e $s: 4x - 6y - 10 = 0$. Sul quaderno scrive:
«Calcolo il rapporto dei coefficienti: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Poiché il risultato è lo stesso, le due rette hanno esattamente gli stessi punti e quindi sono coincidenti».
- a) Individua l'errore concettuale commesso da Marco e spiega quale verifica ha dimenticato di fare.
- b) Correggi la sua risoluzione determinando la posizione reciproca corretta mediante il criterio dei coefficienti.
- c) Quale valore dovrebbe avere il termine noto della retta $s$ perché la conclusione di Marco fosse davvero corretta? Giustifica la risposta.
Trovare il punto di intersezione
Se le rette sono incidenti, le coordinate del loro punto comune soddisfano entrambe le equazioni: si trovano risolvendo il sistema lineare formato dalle due equazioni (per sostituzione, confronto o riduzione). Graficamente, la soluzione del sistema è il punto in cui le rette si incontrano.
Un caso utile: l'intersezione con un asse. Sull'asse $x$ si pone $y = 0$, sull'asse $y$ si pone $x = 0$.
Calcola le coordinate del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 5 = 0$.
Calcola le coordinate del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 5 = 0$.
Trova il punto di intersezione della retta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con l'asse delle ascisse (asse X).
Trova il punto di intersezione della retta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con l'asse delle ascisse (asse X).
Due tubature principali di irrigazione in un campo coltivato seguono i percorsi delle rette $r: 5x + 3y - 15 = 0$ e $s: 2x - y + 5 = 0$. Scopri se si incrociano e, in…
Due tubature principali di irrigazione in un campo coltivato seguono i percorsi delle rette $r: 5x + 3y - 15 = 0$ e $s: 2x - y + 5 = 0$. Scopri se si incrociano e, in caso affermativo, trova le coordinate esatte del punto di collegamento.
Rette in altre forme e rette perpendicolari
Se la retta è data in forma esplicita, parametrica o continua, puoi passare alla forma implicita, oppure ricavare il coefficiente angolare. Nella forma continua $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{k}$ il coefficiente angolare è $m = \frac{k}{l}$. Nella forma parametrica $x = x_0 + lt,\ y = y_0 + kt$ si ottiene lo stesso $m = \frac{k}{l}$ (eliminando $t$).
Per trovare la retta parallela a $r$ passante per $P(x_0; y_0)$ si usa $y - y_0 = m(x - x_0)$ con $m$ uguale al coefficiente angolare di $r$; per la perpendicolare si usa $m' = -\frac{1}{m}$.
Per la retta passante per due punti $A(x_1; y_1)$ e $B(x_2; y_2)$ si usa $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Per le rette incidenti vale un caso speciale: sono perpendicolari se $m_1 \cdot m_2 = -1$; in forma implicita, se $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
Per riflettere una retta rispetto all'asse $x$ si sostituisce $y$ con $-y$ (il simmetrico di $(x; y)$ è $(x; -y)$). Il raggio riflesso da uno specchio sull'asse $x$ passa per il punto di incidenza e ha il coefficiente angolare opposto.
Trova l'equazione esplicita della retta parallela a $r: y = -4x + 1$ che passa per il punto $P(0, 3)$.
Trova l'equazione esplicita della retta parallela a $r: y = -4x + 1$ che passa per il punto $P(0, 3)$.
Trova le coordinate del punto simmetrico di $A(2, 5)$ rispetto alla retta $r: x - 2y + 3 = 0$.
Trova le coordinate del punto simmetrico di $A(2, 5)$ rispetto alla retta $r: x - 2y + 3 = 0$.
Un raggio di luce segue la traiettoria della retta $r: x - y + 2 = 0$ e incide su uno specchio piano posto lungo l'asse X. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale…
Un raggio di luce segue la traiettoria della retta $r: x - y + 2 = 0$ e incide su uno specchio piano posto lungo l'asse X. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione rispetto alla normale, trova l'equazione generale della retta che descrive il raggio riflesso.
Verifica se le rette date in forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ sono parallele o incidenti.
Verifica se le rette date in forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ sono parallele o incidenti.
Calcola il valore del parametro $m$ affinché le rette $r: mx + 2y - 5 = 0$ e $s: 3x - y + 1 = 0$ siano perpendicolari.
Calcola il valore del parametro $m$ affinché le rette $r: mx + 2y - 5 = 0$ e $s: 3x - y + 1 = 0$ siano perpendicolari.
Applicazioni: incroci, traiettorie e figure
Con questi strumenti si trovano i vertici di un poligono i cui lati stanno su rette date: ogni vertice è l'intersezione di due rette.
Una strada rettilinea segue l'equazione $2x - y + 4 = 0$. Un ripetitore telefonico si trova nel punto $P(5, 1)$. Trova l'equazione generale della linea di cablaggio più…
Una strada rettilinea segue l'equazione $2x - y + 4 = 0$. Un ripetitore telefonico si trova nel punto $P(5, 1)$. Trova l'equazione generale della linea di cablaggio più corta (che deve essere perpendicolare) che collega il ripetitore alla strada.
Tre strade formano un parco triangolare nel centro di una città. Le equazioni delle strade sono $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcola le…
Tre strade formano un parco triangolare nel centro di una città. Le equazioni delle strade sono $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcola le coordinate esatte dei tre vertici del parco.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: kx + y - 3 = 0$ e $s: 4x + ky - 6 = 0$ al variare del parametro $k$.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: kx + y - 3 = 0$ e $s: 4x + ky - 6 = 0$ al variare del parametro $k$.
Fasci di rette
L'insieme delle rette che passano per uno stesso punto $P(x_0; y_0)$ è un fascio proprio di centro $P$: $y - y_0 = m(x - x_0)$ al variare di $m$, a cui si aggiunge la retta verticale $x = x_0$. L'insieme delle rette parallele a una direzione data è un fascio improprio: $y = mx + q$ con $m$ fissato e $q$ variabile (se la direzione è verticale, le rette $x = k$ con $k$ variabile). Due rette di un fascio proprio sono incidenti in $P$; due rette di un fascio improprio sono parallele.
Vuoi tornare al punto di partenza? Le due strade dell'inizio sono parallele, incidenti o coincidenti a seconda di come si confrontano i coefficienti delle loro equazioni: ora sai farlo.