Proprietà delle potenze

Esprimi come un'unica potenza di base $5$ applicando le proprietà delle potenze: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calcola il valore della seguente potenza ed esprimi il risultato sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Riduci a una sola potenza usando le proprietà opportune: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Scrivi come un'unica potenza applicando le proprietà delle operazioni con potenze aventi lo stesso esponente: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Indica se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta mediante le proprietà delle potenze: «Il doppio di $2^8$ è $4^8$».

Matteo deve semplificare l'espressione $2^4 \cdot 5^4$. Nella sua verifica scrive il seguente procedimento:

e giustifica la risposta dicendo: «Moltiplico le basi ($2 \cdot 5 = 10$) e sommo gli esponenti ($4 + 4 = 8$)».

1. a) Spiega in dettaglio perché il ragionamento di Matteo contraddice il significato di potenza come prodotto ripetuto di fattori e quale regola ha confuso per errore.
2. b) Correggi l'esercizio applicando la proprietà adeguata e calcola il valore numerico finale.

Semplifica la seguente espressione algebrica lasciando il risultato con esponenti positivi: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, usando le proprietà delle potenze e lasciando il risultato senza esponenti negativi: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Semplifica la seguente espressione scomponendo prima in fattori le basi e applicando le proprietà delle potenze. Esprimi il risultato come prodotto di potenze di basi prime: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Prima di fare qualsiasi calcolo con carta e penna, stima quale di questi due numeri ritieni sia maggiore: $A = 2^{30}$ o $B = 3^{20}$. Giustifica brevemente la tua intuizione iniziale tenendo conto che $A$ ha esponente maggiore ma base minore rispetto a $B$.

Poi verifica la tua previsione in modo rigoroso senza calcolatrice: usa la proprietà della potenza di una potenza, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, per riscrivere entrambi i numeri in modo che abbiano lo stesso esponente esterno e concludi quale sia maggiore.

Senza usare la calcolatrice, determina quale delle seguenti quantità è maggiore: $3^{50}$ o $9^{20}$. Giustifica la risposta trasformando una delle potenze in modo che entrambe abbiano la stessa base.

Uno studente ha eseguito il seguente sviluppo algebrico per semplificare un'espressione:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Individua se c'è qualche errore nel suo ragionamento, spiegalo in dettaglio e fornisci il risultato corretto applicando rigorosamente le proprietà delle potenze.

Una voce in una scuola si diffonde raddoppiando ogni ora il numero di persone che la conoscono. Se inizialmente la conoscono $1000$ persone, esprimi sotto forma di prodotto con una potenza il numero di persone che la conosceranno dopo $12$ ore e calcola il suo valore finale.

Risolvi la seguente equazione esponenziale esprimendo tutti i termini come potenze della stessa base e operando con i loro esponenti: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capitale viene investito a interesse composto annuo in modo tale che ogni anno il denaro si moltiplica per $1,05$. Se l'investimento iniziale è di $2000$ €, scrivi in forma di potenza l'espressione che calcola il capitale dopo $t$ anni. Quanto denaro ci sarà dopo $4$ anni?

Trova i valori di $x$ e $y$ che soddisfano simultaneamente le seguenti uguaglianze, utilizzando le proprietà delle potenze per trasformare il sistema in un sistema di equazioni lineari:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$